Leitfaden für Lehrer: Zahlen in wissenschaftlicher Notation vergleichen

Lerne, Zahlen in wissenschaftlicher Notation zu vergleichen und zu ordnen: erst die Exponenten, dann die Koeffizienten, und wievielmal so groß eine Zahl ist.

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10 Fragen zu Wissenschaftliche Notation. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Zwei Zahlen in wissenschaftlicher Notation über ihre Exponenten vergleichen
Koeffizienten vergleichen, wenn die Exponenten gleich sind
Eine Zahl vor dem Vergleich normieren
Zahlen mit negativen Exponenten vergleichen und ordnen
Mit Zehnerpotenzen abschätzen, wievielmal so groß eine Zahl wie eine andere ist

Voraussetzungen

• Grundlagen der wissenschaftlichen Notation: die Form $a \times 10^n$ (Lektion Wissenschaftliche Notation)
• Zahlen in wissenschaftlicher Notation schreiben (Lektion Zahlen in wissenschaftlicher Notation schreiben)
• Negative Zahlen auf dem Zahlenstrahl vergleichen
• Dezimalzahlen wie 4,5 und 4,6 vergleichen

Diskussionsstarter

1. Warum kannst du $3{,}1 \times 10^6$ und $9{,}8 \times 10^5$ vergleichen, ohne eine einzige Null auszuschreiben?
2. Ist $9{,}99 \times 10^5$ oder $1 \times 10^6$ größer? Wie würdest du einen Freund überzeugen?
3. Warum ist $10^{-3}$ größer als $10^{-5}$ , obwohl $5 > 3$ ?
4. Eine Forscherin sagt, ein Stern sei drei Größenordnungen heller als ein anderer. Was bedeutet das in Zahlen?

Häufige Missverständnisse

Die Zahl mit dem größeren Koeffizienten ist größer

Abhilfe: Schreibe $9{,}8 \times 10^5$ und $3{,}1 \times 10^6$ nebeneinander in Dezimalschreibweise (ausgeschrieben): $980.000$ und $3.100.000$ . Frage, an welcher Stelle jede Zahl beginnt.

Ein negativer Exponent mit größerem Betrag bedeutet eine größere Zahl

Abhilfe: Trage $10^{-1}$ , $10^{-2}$ , $10^{-3}$ als $0{,}1$ , $0{,}01$ , $0{,}001$ auf einem Zahlenstrahl ein und lass die Lernenden sehen, wie die Werte schrumpfen, wenn der Exponent sinkt.

Zahlen wie $45 \times 10^3$ kann man direkt über ihre Exponenten vergleichen

Abhilfe: Zeige, dass $45 \times 10^3$ und $4{,}5 \times 10^4$ dieselbe Zahl sind. Mach "zuerst normieren" zur ersten Zeile jedes Vergleichs.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Mit Paaren beginnen, die denselben Koeffizienten und verschiedene Exponenten haben
• Beide Zahlen in Dezimalschreibweise ausschreiben lassen, um jeden Vergleich zu prüfen
• Eine Leiter der Zehnerpotenzen nutzen, um jede Zahl vor dem Vergleich einzuordnen

Für Schüler auf Niveau:

• Paare mit negativen Exponenten und mit gleichen Exponenten vergleichen
• Zahlen wie $38 \times 10^5$ oder $0{,}7 \times 10^{-3}$ vor dem Vergleich normieren
• Listen mit vier bis sechs echten Messwerten ordnen

Für fortgeschrittene Schüler:

• Abschätzen, wievielmal so groß eine Größe ist, auch bei ungleichen Koeffizienten
• Herausfinden, welche Paare echter Größen (Atom, Zelle, Erde, Sonne) sich um mehr als zehn Größenordnungen unterscheiden
• Begründen, warum eine normierte Zahl mit Exponent $n$ immer zwischen $10^n$ und $10^{n+1}$ liegt

Standardausrichtung

8.EE.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.3)
Zahlen in der Form einstellige Zahl mal ganzzahlige Zehnerpotenz nutzen, um sehr große oder sehr kleine Größen abzuschätzen und anzugeben, wievielmal so groß eine Größe wie eine andere ist
8.EE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.4)
Mit Zahlen in wissenschaftlicher Notation rechnen und von Technik erzeugte wissenschaftliche Notation deuten

Lektionsressourcen

visualVergleicher für wissenschaftliche Notation
Normieren, Exponenten und dann Koeffizienten vergleichen und Größen im Universum auf einer Leiter der Zehnerpotenzen ordnen
activityGrößenleine des Universums
Die Lernenden ordnen Karten mit Größen von Atomen bis Galaxien, in wissenschaftlicher Notation geschrieben, an einer Leine an der Wand
worksheetVergleichen und Ordnen
Paare und Listen zum Vergleichen, darunter Zahlen, die zuerst normiert werden müssen, und negative Exponenten

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Um Zahlen in wissenschaftlicher Notation

a \times 10^n

(mit

1 \le a < 10

) zu vergleichen, musst du fast nie alle Nullen ausschreiben. Geh in drei Schritten vor:

1.Normiere beide Zahlen, sodass jeder Koeffizient zwischen $1$ und $10$ liegt. Zum Beispiel $45 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4$ .
2.Vergleiche die Exponenten. Die Zahl mit dem größeren Exponenten ist die größere Zahl: $3{,}1 \times 10^6 > 9{,}8 \times 10^5$ , weil $6 > 5$ .
3.Wenn die Exponenten gleich sind, vergleiche die Koeffizienten: $4{,}7 \times 10^8 > 4{,}2 \times 10^8$ , weil $4{,}7 > 4{,}2$ .

Der Exponent entscheidet zuerst, weil jede Stufe nach oben die Zahl mit

10

multipliziert, und das kann ein Koeffizient nie ausgleichen: Selbst

9{,}99 \times 10^5

ist kleiner als

1 \times 10^6

Negative Exponenten folgen derselben Regel, du vergleichst sie einfach wie negative Zahlen:

-3 > -5

, also

10^{-3} > 10^{-5}

(

0{,}001 > 0{,}00001

Wievielmal so groß? Wenn die Koeffizienten gleich sind, teilst du die Zehnerpotenzen, indem du die Exponenten subtrahierst:

\frac{10^8}{10^5} = 10^{8-5} = 10^3 = 1000

Jeder Unterschied von

1

im Exponenten ist eine Größenordnung (ein Faktor

10

Lösungsbeispiele

Welche Zahl ist größer:

3{,}1 \times 10^6

oder

9{,}8 \times 10^5

Prüfe, ob beide normiert sind

Beide Koeffizienten,

3{,}1

und

9{,}8

, liegen zwischen

1

und

10

→ Bereit zum Vergleichen

Vergleiche die Exponenten

6 > 5

→

10^6

ist das Zehnfache von

10^5

Entscheide (die Koeffizienten spielen hier keine Rolle)

3{,}1 \times 10^6 = 3.100.000

und

9{,}8 \times 10^5 = 980.000

→

3{,}1 \times 10^6 > 9{,}8 \times 10^5

Antwort: $3{,}1 \times 10^6$ ist größer, obwohl sein Koeffizient kleiner ist.

Häufige Fehler

Zuerst die Koeffizienten vergleichen: $9{,}8 \times 10^5 > 3{,}1 \times 10^6$ denken, weil $9{,}8 > 3{,}1$

Warum es falsch ist: Die Zehnerpotenz bestimmt die Größe. $10^6$ ist das Zehnfache von $10^5$ , und kein Koeffizient unter $10$ kann das ausgleichen.

Richtig: Zuerst die Exponenten vergleichen: $6 > 5$ , also $3{,}1 \times 10^6 > 9{,}8 \times 10^5$ . Die Koeffizienten schaust du nur an, wenn die Exponenten gleich sind.

Ohne Normieren vergleichen: $45 \times 10^3 > 4{,}6 \times 10^4$ denken, weil $45 > 4{,}6$

Warum es falsch ist: $45 \times 10^3$ steht nicht in wissenschaftlicher Notation, also verrät sein Exponent nicht die wirkliche Größe.

Richtig: Zuerst normieren: $45 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4$ . Dann gilt $4{,}5 < 4{,}6$ , also $45 \times 10^3 < 4{,}6 \times 10^4$ .

$10^{-5} > 10^{-3}$ denken, weil $5 > 3$

Warum es falsch ist: Negative Exponenten vergleicht man wie negative Zahlen: $-5$ ist kleiner als $-3$ .

Richtig: $10^{-5} = 0{,}00001$ und $10^{-3} = 0{,}001$ , also $10^{-3} > 10^{-5}$ . Der Exponent näher an null gewinnt.

Denken, $10^6$ sei das Doppelte von $10^3$ oder $3$ mehr als $10^3$

Warum es falsch ist: Die Exponenten unterscheiden sich um $3$ , aber jede Stufe im Exponenten multipliziert mit $10$ , sie addiert nichts.

Richtig: $\frac{10^6}{10^3} = 10^{6-3} = 10^3$ , also ist $10^6$ das $1000$ -Fache von $10^3$ .

Warum es wichtig ist

Die Naturwissenschaften sind voller Zahlen, die zu groß oder zu klein sind, um sie mit bloßem Auge zu vergleichen:

Weltraum: Die Erde ist etwa $1{,}27 \times 10^7$ m breit, die Entfernung von der Erde zur Sonne beträgt etwa $1{,}5 \times 10^{11}$ m. Die Exponenten zeigen dir sofort, dass die Entfernung etwa $10^4$ -mal (zehntausendmal) größer ist.
Biologie: Ein rotes Blutkörperchen ( $7 \times 10^{-6}$ m) ist viel größer als ein Wasserstoffatom ( $1 \times 10^{-10}$ m), weil $-6 > -10$ .
Computer: Ein Terabyte ( $10^{12}$ Byte) fasst $1000$ -mal so viel wie ein Gigabyte ( $10^9$ Byte).
Medizin: Dosen und Konzentrationen wie $5 \times 10^{-4}$ g oder $8 \times 10^{-6}$ g dürfen niemals verwechselt werden.

Zuerst die Exponenten zu vergleichen ist schnell und sicher. Nullen in

0{,}0000070

und

0{,}00000001

zu zählen ist langsam und fehleranfällig.

Anwendungen im echten Leben

Biologie: Bakterien und Viren

Mikrobiologen vergleichen winzige Längen mit negativen Exponenten, um das passende Mikroskop zu wählen.

Beispiel:

Ein Lichtmikroskop zeigt Dinge bis etwa $2 \times 10^{-7}$ m. Ein Bakterium mit $2 \times 10^{-6}$ m ist größer ( $-6 > -7$ ), also sieht man es. Die meisten Viren sind kleiner, für sie braucht man ein Elektronenmikroskop.

1Probiere es selbst

Ein Bakterium ist $2 \times 10^{-6}$ m lang. Ein Virus hat einen Durchmesser von $1 \times 10^{-7}$ m.

Wievielmal so lang wie das Virus ist das Bakterium?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Vergleiche die Zehnerpotenzen und nimm dann die Koeffizienten dazu:

Computer: Speichergrößen

Speicher wird in Byte gemessen: Ein Gigabyte sind $10^9$ Byte, ein Terabyte $10^{12}$ Byte. Der Vergleich der Exponenten zeigt dir, wie viele Dateien passen.

Beispiel:

Ein Foto mit $3 \times 10^6$ Byte ist viel kleiner als ein Video mit $3 \times 10^9$ Byte: gleicher Koeffizient, die Exponenten unterscheiden sich um $3$ , also ist das Video $1000$ -mal so groß.

2Probiere es selbst

Eine Festplatte fasst $2 \times 10^{12}$ Byte. Eine Filmdatei hat $2 \times 10^9$ Byte.

Wie viele Filme passen auf die Festplatte?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Die Koeffizienten sind gleich, also vergleichst du nur die Zehnerpotenzen:

Physik: Wellenlängen von Lasern

Wellenlängen von Licht sind winzig und werden oft verschieden geschrieben, zum Beispiel in Nanometern ($10^{-9}$ m). Zum Vergleichen normierst du zuerst.

Beispiel:

Blaues Licht hat eine Wellenlänge von etwa $4{,}5 \times 10^{-7}$ m, rotes Licht etwa $7 \times 10^{-7}$ m. Gleicher Exponent, also zeigt $7 > 4{,}5$ , dass rotes Licht die größere Wellenlänge hat.

3Probiere es selbst

Auf einem Laborblatt steht ein roter Laser mit $650 \times 10^{-9}$ m und ein grüner Laser mit $5{,}3 \times 10^{-7}$ m.

Welcher Laser hat die größere Wellenlänge?

Schritt 1: Wähle die richtige Antwort

Normiere $650 \times 10^{-9}$ und vergleiche dann:

Wichtige Erkenntnisse

1Zuerst normieren: Jeder Koeffizient muss $1 \le a < 10$ erfüllen (zum Beispiel $45 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4$ )
2Zuerst die Exponenten vergleichen: Der größere Exponent gehört zur größeren Zahl
3Nur wenn die Exponenten gleich sind, vergleichst du die Koeffizienten
4Negative Exponenten vergleichst du wie negative Zahlen: $10^{-3} > 10^{-5}$ , weil $-3 > -5$
5Um eine Liste zu ordnen, sortierst du nach dem Exponenten und bei gleichem Exponenten nach dem Koeffizienten
6Bei gleichen Koeffizienten ist $10^m$ das $10^{m-n}$ -Fache von $10^n$ : Jede Stufe im Exponenten ist eine Größenordnung

Häufig gestellte Fragen

Warum zählt der Exponent mehr als der Koeffizient?

Ein normierter Koeffizient ist immer kleiner als

10

, während eine Stufe mehr im Exponenten mit

10

multipliziert. Deshalb ist

9{,}99 \times 10^5 = 999.000

immer noch kleiner als

1 \times 10^6 = 1.000.000

Was mache ich, wenn eine Zahl nicht richtig in wissenschaftlicher Notation steht?

Normiere sie vor dem Vergleich. Verschiebe das Komma, bis der Koeffizient zwischen

1

und

10

liegt, und passe den Exponenten an:

0{,}8 \times 10^5 = 8 \times 10^4

45 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4

Ist eine Zahl mit negativem Exponenten immer kleiner als eine mit positivem Exponenten?

Ja, bei positiven Zahlen. Eine normierte Zahl mit negativem Exponenten ist kleiner als

1

(zum Beispiel

9{,}9 \times 10^{-1} = 0{,}99

), eine mit Exponent

0

oder mehr ist mindestens

1

Was bedeutet "zwei Größenordnungen größer"?

Es bedeutet etwa

10^2 = 100

-mal größer. Die Größenordnung ist ungefähr der Exponent, also bedeutet ein Unterschied von

2

in den Exponenten einen Faktor von etwa

100

Glossar

Wissenschaftliche Notation: Eine Zahl in der Form $a \times 10^n$ mit $1 \le a < 10$ und einer ganzen Zahl $n$ (auch wissenschaftliche Schreibweise genannt)
Koeffizient: Die Zahl $a$ vor der Zehnerpotenz (auch Vorfaktor oder Mantisse), zum Beispiel $4{,}6$ in $4{,}6 \times 10^4$
Exponent: Die Hochzahl $n$ in $10^n$ ; sie wird zuerst verglichen
Normieren: Eine Zahl so umschreiben, dass ihr Koeffizient zwischen $1$ und $10$ liegt: $45 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4$
Größenordnung: Ein Faktor $10$ ; Zahlen, deren Exponenten sich um $3$ unterscheiden, liegen etwa drei Größenordnungen ( $10^3$ ) auseinander

Formelkarte

Reihenfolge beim Vergleichen

\text{normieren} \rightarrow \text{Exponenten} \rightarrow \text{Koeffizienten}

Sorge für $1 \le a < 10$, vergleiche die Exponenten und die Koeffizienten nur, wenn die Exponenten gleich sind.

Wievielmal so groß

\frac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}

Bei gleichen Koeffizienten ist die größere Zahl das $10^{m-n}$-Fache der kleineren.

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Biologie: Bakterien und Viren

Computer: Speichergrößen

Physik: Wellenlängen von Lasern

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Reihenfolge beim Vergleichen

Wievielmal so groß

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Von der wissenschaftlichen Notation in die Dezimalschreibweise

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