Zahlen in wissenschaftlicher Notation vergleichen

Lerne, Zahlen in wissenschaftlicher Notation zu vergleichen und zu ordnen: erst die Exponenten, dann die Koeffizienten, und wievielmal so groß eine Zahl ist.

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Definition

Um Zahlen in wissenschaftlicher Notation a×10na \times 10^n (mit 1≤a<101 \le a < 10) zu vergleichen, musst du fast nie alle Nullen ausschreiben. Geh in drei Schritten vor:
  1. 1.Normiere beide Zahlen, sodass jeder Koeffizient zwischen 11 und 1010 liegt. Zum Beispiel 45×103=4,5×10445 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4.
  2. 2.Vergleiche die Exponenten. Die Zahl mit dem größeren Exponenten ist die größere Zahl: 3,1×106>9,8×1053{,}1 \times 10^6 > 9{,}8 \times 10^5, weil 6>56 > 5.
  3. 3.Wenn die Exponenten gleich sind, vergleiche die Koeffizienten: 4,7×108>4,2×1084{,}7 \times 10^8 > 4{,}2 \times 10^8, weil 4,7>4,24{,}7 > 4{,}2.
Der Exponent entscheidet zuerst, weil jede Stufe nach oben die Zahl mit 1010 multipliziert, und das kann ein Koeffizient nie ausgleichen: Selbst 9,99×1059{,}99 \times 10^5 ist kleiner als 1×1061 \times 10^6.
Negative Exponenten folgen derselben Regel, du vergleichst sie einfach wie negative Zahlen: −3>−5-3 > -5, also 10−3>10−510^{-3} > 10^{-5} (0,001>0,000010{,}001 > 0{,}00001).
Wievielmal so groß? Wenn die Koeffizienten gleich sind, teilst du die Zehnerpotenzen, indem du die Exponenten subtrahierst:
108105=108−5=103=1000\frac{10^8}{10^5} = 10^{8-5} = 10^3 = 1000
Jeder Unterschied von 11 im Exponenten ist eine Größenordnung (ein Faktor 1010).

Probier es gleich aus

Welche Zahl ist größer: 8,9×1068{,}9 \times 10^6 oder 5,2×1075{,}2 \times 10^7?

Lösungsbeispiele

Welche Zahl ist größer: 3,1×1063{,}1 \times 10^6 oder 9,8×1059{,}8 \times 10^5?
1

Prüfe, ob beide normiert sind

Beide Koeffizienten, 3,13{,}1 und 9,89{,}8, liegen zwischen 11 und 1010 → Bereit zum Vergleichen
2

Vergleiche die Exponenten

6>56 > 5 → 10610^6 ist das Zehnfache von 10510^5
3

Entscheide (die Koeffizienten spielen hier keine Rolle)

3,1×106=3.100.0003{,}1 \times 10^6 = 3.100.000 und 9,8×105=980.0009{,}8 \times 10^5 = 980.000 → 3,1×106>9,8×1053{,}1 \times 10^6 > 9{,}8 \times 10^5

Häufige Fehler

Zuerst die Koeffizienten vergleichen: 9,8×105>3,1×1069{,}8 \times 10^5 > 3{,}1 \times 10^6 denken, weil 9,8>3,19{,}8 > 3{,}1

Warum es falsch ist: Die Zehnerpotenz bestimmt die Größe. 10610^6 ist das Zehnfache von 10510^5, und kein Koeffizient unter 1010 kann das ausgleichen.

Richtig: Zuerst die Exponenten vergleichen: 6>56 > 5, also 3,1×106>9,8×1053{,}1 \times 10^6 > 9{,}8 \times 10^5. Die Koeffizienten schaust du nur an, wenn die Exponenten gleich sind.

Ohne Normieren vergleichen: 45×103>4,6×10445 \times 10^3 > 4{,}6 \times 10^4 denken, weil 45>4,645 > 4{,}6

Warum es falsch ist: 45×10345 \times 10^3 steht nicht in wissenschaftlicher Notation, also verrät sein Exponent nicht die wirkliche Größe.

Richtig: Zuerst normieren: 45×103=4,5×10445 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4. Dann gilt 4,5<4,64{,}5 < 4{,}6, also 45×103<4,6×10445 \times 10^3 < 4{,}6 \times 10^4.

10−5>10−310^{-5} > 10^{-3} denken, weil 5>35 > 3

Warum es falsch ist: Negative Exponenten vergleicht man wie negative Zahlen: −5-5 ist kleiner als −3-3.

Richtig: 10−5=0,0000110^{-5} = 0{,}00001 und 10−3=0,00110^{-3} = 0{,}001, also 10−3>10−510^{-3} > 10^{-5}. Der Exponent näher an null gewinnt.

Denken, 10610^6 sei das Doppelte von 10310^3 oder 33 mehr als 10310^3

Warum es falsch ist: Die Exponenten unterscheiden sich um 33, aber jede Stufe im Exponenten multipliziert mit 1010, sie addiert nichts.

Richtig: 106103=106−3=103\frac{10^6}{10^3} = 10^{6-3} = 10^3, also ist 10610^6 das 10001000-Fache von 10310^3.

Interaktive Visualisierung

Welche Zahl ist größer? Erst normieren, dann Exponenten, dann Koeffizienten vergleichen

Vergleichen
45×10345 \times 10^{3}?4,6×1044{,}6 \times 10^{4}

Welches Zeichen gehört in das Kästchen?

10⁴10⁵10⁶AB
Zehnerpotenzen: Jeder Schritt nach rechts ist 10-mal so groß.

Größen im Universum: tippe von der kleinsten zur größten (Meter)

Vergleichen

Tippe die Zahlen von der kleinsten bis zur größten an.

Manche sind noch nicht in wissenschaftlicher Schreibweise: Normiere sie zuerst.

10⁻²10⁰10²10⁴10⁶10⁸10¹⁰10¹²BDAC
Zehnerpotenzen: Jeder Schritt nach rechts ist 10-mal so groß.

Zum Vergleich der Größen

10⁻⁵10⁻³10⁻¹10¹10³10⁵10⁷10⁹1234
Zehnerpotenzen: Jeder Schritt nach rechts ist 10-mal so groß.
1Virus (m):1×10−71 \times 10^{-7}= 0,0000001
2menschliches Haar, Dicke (m):8×10−58 \times 10^{-5}= 0,00008
3Mount Everest, Höhe (m):8,85×1038{,}85 \times 10^{3}= 8850
4Erde bis Mond (m):3,84×1083{,}84 \times 10^{8}= 384000000

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Aufgabe 1 von 18
Einfach
Welche Zahl ist größer: 8,9×1068{,}9 \times 10^6 oder 5,2×1075{,}2 \times 10^7?

Warum es wichtig ist

Die Naturwissenschaften sind voller Zahlen, die zu groß oder zu klein sind, um sie mit bloßem Auge zu vergleichen:
  • Weltraum: Die Erde ist etwa 1,27×1071{,}27 \times 10^7 m breit, die Entfernung von der Erde zur Sonne beträgt etwa 1,5×10111{,}5 \times 10^{11} m. Die Exponenten zeigen dir sofort, dass die Entfernung etwa 10410^4-mal (zehntausendmal) größer ist.
  • Biologie: Ein rotes Blutkörperchen (7×10−67 \times 10^{-6} m) ist viel größer als ein Wasserstoffatom (1×10−101 \times 10^{-10} m), weil −6>−10-6 > -10.
  • Computer: Ein Terabyte (101210^{12} Byte) fasst 10001000-mal so viel wie ein Gigabyte (10910^9 Byte).
  • Medizin: Dosen und Konzentrationen wie 5×10−45 \times 10^{-4} g oder 8×10−68 \times 10^{-6} g dürfen niemals verwechselt werden.
Zuerst die Exponenten zu vergleichen ist schnell und sicher. Nullen in 0,00000700{,}0000070 und 0,000000010{,}00000001 zu zählen ist langsam und fehleranfällig.

Anwendungen im echten Leben

Biologie: Bakterien und Viren

Mikrobiologen vergleichen winzige Längen mit negativen Exponenten, um das passende Mikroskop zu wählen.

Beispiel:

Ein Lichtmikroskop zeigt Dinge bis etwa 2×10−72 \times 10^{-7} m. Ein Bakterium mit 2×10−62 \times 10^{-6} m ist größer (−6>−7-6 > -7), also sieht man es. Die meisten Viren sind kleiner, für sie braucht man ein Elektronenmikroskop.

1Probiere es selbst

Ein Bakterium ist 2×10−62 \times 10^{-6} m lang. Ein Virus hat einen Durchmesser von 1×10−71 \times 10^{-7} m.

Wievielmal so lang wie das Virus ist das Bakterium?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Vergleiche die Zehnerpotenzen und nimm dann die Koeffizienten dazu:

Computer: Speichergrößen

Speicher wird in Byte gemessen: Ein Gigabyte sind $10^9$ Byte, ein Terabyte $10^{12}$ Byte. Der Vergleich der Exponenten zeigt dir, wie viele Dateien passen.

Beispiel:

Ein Foto mit 3×1063 \times 10^6 Byte ist viel kleiner als ein Video mit 3×1093 \times 10^9 Byte: gleicher Koeffizient, die Exponenten unterscheiden sich um 33, also ist das Video 10001000-mal so groß.

2Probiere es selbst

Eine Festplatte fasst 2×10122 \times 10^{12} Byte. Eine Filmdatei hat 2×1092 \times 10^9 Byte.

Wie viele Filme passen auf die Festplatte?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Die Koeffizienten sind gleich, also vergleichst du nur die Zehnerpotenzen:

Physik: Wellenlängen von Lasern

Wellenlängen von Licht sind winzig und werden oft verschieden geschrieben, zum Beispiel in Nanometern ($10^{-9}$ m). Zum Vergleichen normierst du zuerst.

Beispiel:

Blaues Licht hat eine Wellenlänge von etwa 4,5×10−74{,}5 \times 10^{-7} m, rotes Licht etwa 7×10−77 \times 10^{-7} m. Gleicher Exponent, also zeigt 7>4,57 > 4{,}5, dass rotes Licht die größere Wellenlänge hat.

3Probiere es selbst

Auf einem Laborblatt steht ein roter Laser mit 650×10−9650 \times 10^{-9} m und ein grüner Laser mit 5,3×10−75{,}3 \times 10^{-7} m.

Welcher Laser hat die größere Wellenlänge?

Schritt 1: Wähle die richtige Antwort

Normiere 650×10−9650 \times 10^{-9} und vergleiche dann:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Zuerst normieren: Jeder Koeffizient muss 1≤a<101 \le a < 10 erfüllen (zum Beispiel 45×103=4,5×10445 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4)
  • 2Zuerst die Exponenten vergleichen: Der größere Exponent gehört zur größeren Zahl
  • 3Nur wenn die Exponenten gleich sind, vergleichst du die Koeffizienten
  • 4Negative Exponenten vergleichst du wie negative Zahlen: 10−3>10−510^{-3} > 10^{-5}, weil −3>−5-3 > -5
  • 5Um eine Liste zu ordnen, sortierst du nach dem Exponenten und bei gleichem Exponenten nach dem Koeffizienten
  • 6Bei gleichen Koeffizienten ist 10m10^m das 10m−n10^{m-n}-Fache von 10n10^n: Jede Stufe im Exponenten ist eine Größenordnung

Häufig gestellte Fragen

Ein normierter Koeffizient ist immer kleiner als 1010, während eine Stufe mehr im Exponenten mit 1010 multipliziert. Deshalb ist 9,99×105=999.0009{,}99 \times 10^5 = 999.000 immer noch kleiner als 1×106=1.000.0001 \times 10^6 = 1.000.000.
Ein normierter Koeffizient ist immer kleiner als 1010, während eine Stufe mehr im Exponenten mit 1010 multipliziert. Deshalb ist 9,99×105=999.0009{,}99 \times 10^5 = 999.000 immer noch kleiner als 1×106=1.000.0001 \times 10^6 = 1.000.000.
Normiere sie vor dem Vergleich. Verschiebe das Komma, bis der Koeffizient zwischen 11 und 1010 liegt, und passe den Exponenten an: 0,8×105=8×1040{,}8 \times 10^5 = 8 \times 10^4, 45×103=4,5×10445 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4.
Ja, bei positiven Zahlen. Eine normierte Zahl mit negativem Exponenten ist kleiner als 11 (zum Beispiel 9,9×10−1=0,999{,}9 \times 10^{-1} = 0{,}99), eine mit Exponent 00 oder mehr ist mindestens 11.
Es bedeutet etwa 102=10010^2 = 100-mal größer. Die Größenordnung ist ungefähr der Exponent, also bedeutet ein Unterschied von 22 in den Exponenten einen Faktor von etwa 100100.

Glossar

Wissenschaftliche Notation
Eine Zahl in der Form a×10na \times 10^n mit 1≤a<101 \le a < 10 und einer ganzen Zahl nn (auch wissenschaftliche Schreibweise genannt)
Koeffizient
Die Zahl aa vor der Zehnerpotenz (auch Vorfaktor oder Mantisse), zum Beispiel 4,64{,}6 in 4,6×1044{,}6 \times 10^4
Exponent
Die Hochzahl nn in 10n10^n; sie wird zuerst verglichen
Normieren
Eine Zahl so umschreiben, dass ihr Koeffizient zwischen 11 und 1010 liegt: 45×103=4,5×10445 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4
Größenordnung
Ein Faktor 1010; Zahlen, deren Exponenten sich um 33 unterscheiden, liegen etwa drei Größenordnungen (10310^3) auseinander

Formelkarte

Reihenfolge beim Vergleichen

normieren→Exponenten→Koeffizienten\text{normieren} \rightarrow \text{Exponenten} \rightarrow \text{Koeffizienten}

Sorge für $1 \le a < 10$, vergleiche die Exponenten und die Koeffizienten nur, wenn die Exponenten gleich sind.

Wievielmal so groß

10m10n=10m−n\frac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}

Bei gleichen Koeffizienten ist die größere Zahl das $10^{m-n}$-Fache der kleineren.

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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