Leitfaden für Lehrer: Prozentgleichung

Löse jede Prozentaufgabe mit einer Gleichung: Prozentwert = Prozentsatz · Grundwert. Finde Prozentwert, Grundwert oder Prozentsatz, auch über 100 % und unter 1 %.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Prozentrechnung. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Sätze mit Prozentangaben in Gleichungen übersetzen, mit "ist" als = und "von" als ·
Prozentwert = Prozentsatz · Grundwert mit dem Prozentsatz als Dezimalzahl anwenden
Nach Grundwert und Prozentsatz auflösen und den Prozentsatz in Prozent angeben
Mit Prozentsätzen über 100 % und unter 1 % rechnen
Die Prozentformel mit der Verhältnisgleichung (Dreisatz) vergleichen

Voraussetzungen

• Einführung in Prozentrechnung: Prozente in Dezimalzahlen umwandeln
• Prozent einer Zahl berechnen: einen Grundwert mit einem Prozentsatz multiplizieren
• Einschrittige Gleichungen lösen, zum Beispiel $0{,}25x = 30$
• Prozentrechnung mit Verhältnisgleichung: $\frac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}} = \frac{p}{100}$ (hilfreich für den Vergleich)

Diskussionsstarter

1. Welche Zahl ist in "30 ist 25 % von welcher Zahl?" der Prozentwert und welche fehlt? Woran erkennst du das?
2. Können 150 % einer Zahl kleiner sein als die Zahl selbst? Warum oder warum nicht?
3. Warum sind 0,4 % nicht dasselbe wie 0,4? Was würde in einer Rechnung schiefgehen?
4. Du hast dieselbe Aufgabe mit der Formel und mit der Verhältnisgleichung gelöst. Was war leichter und warum?
5. Wo kennst du im Alltag den Prozentwert und den Prozentsatz, aber nicht den Grundwert?

Häufige Missverständnisse

Die größere Zahl ist immer der Grundwert

Abhilfe: Zeige "42 sind 150 % von welcher Zahl?": Der Prozentwert 42 ist größer als der Grundwert 28. Die Lernenden sollen den Grundwert am Wort "von" erkennen, nicht an der Größe.

Der Prozentsatz darf in der Gleichung als Prozentzahl stehen bleiben (25 statt 0,25)

Abhilfe: Löse mit der Klasse $30 = 25x$ und erhalte $x = 1{,}2$ . Frage, ob 30 wirklich 25 % von 1,2 sein kann. Löse dann $30 = 0{,}25x$ und mache die Probe mit $0{,}25 \cdot 120 = 30$ .

Ein Prozentsatz unter 1 % ist dasselbe wie eine Dezimalzahl unter 1

Abhilfe: Schreibe $40\,\%$ , $4\,\%$ , $0{,}4\,\%$ untereinander und teile jeweils durch 100: $0{,}4$ , $0{,}04$ , $0{,}004$ . Verbinde es mit Geld: 0,4 % von 1000 € sind nur 4 €.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Gib eine Vorlage "___ ist ___ % von ___" vor; die Lernenden tragen zwei Zahlen ein und markieren die Unbekannte
• Beginne mit einfachen Prozentsätzen (10 %, 25 %, 50 %) vor Werten wie 35 % oder 0,4 %
• Lass jedes Ergebnis durch Einsetzen in Prozentwert = Prozentsatz · Grundwert prüfen

Für Schüler auf Niveau:

• Mische Aufgaben, die nach Prozentwert, Grundwert oder Prozentsatz fragen, in einer Serie
• Nimm Textaufgaben zu Anzahlungen, Testergebnissen und Zinsen dazu
• Löse zwei Aufgaben mit der Formel und mit der Verhältnisgleichung und vergleiche

Für fortgeschrittene Schüler:

• Arbeite mit Prozentsätzen wie 0,25 % und 260 % und erkläre, was sie bedeuten
• Schreibe zu jeder gesuchten Größe eine eigene Textaufgabe
• Finde den Grundwert, wenn der Prozentwert ein erhöhter Preis ist, zum Beispiel 72 sind 120 % des Vorjahrespreises

Standardausrichtung

7.RP.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.7.RP.A.3)
Proportionale Zusammenhänge nutzen, um mehrschrittige Verhältnis- und Prozentaufgaben zu lösen
6.RP.A.3c (CCSS.MATH.CONTENT.6.RP.A.3.C)
Einen Prozentsatz einer Größe als Anteil pro 100 bestimmen; den Grundwert aus Prozentwert und Prozentsatz berechnen
7.EE.B.4a (CCSS.MATH.CONTENT.7.EE.B.4.A)
Textaufgaben lösen, die zu Gleichungen der Form px + q = r und p(x + q) = r führen

Lektionsressourcen

visualGleichungslöser Schritt für Schritt
Die Lernenden lösen Prozentgleichungen wie $0{,}25x = 30$ Schritt für Schritt
visualProzentstreifen
Ein Streifen, aufgeteilt in 25 % und 75 %, zeigt, wie ein Prozentwert von 30 zu einem Grundwert von 120 gehört
activityÜbersetze den Satz
Karten mit Sätzen zu Prozenten; die Lernenden kreisen "ist" und "von" ein und schreiben die passende Gleichung
worksheetFinde das fehlende Stück
Eine Tabelle mit Prozentwert, Prozentsatz und Grundwert, in jeder Zeile fehlt ein Wert, auch mit Prozentsätzen über 100 % und unter 1 %

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Die Prozentgleichung (auch Prozentformel) verbindet drei Größen mit einer einzigen Multiplikation:

\text{Prozentwert} = \text{Prozentsatz} \cdot \text{Grundwert}

Der Grundwert ist das Ganze, von dem du einen Prozentsatz nimmst (100 %).
Der Prozentsatz ist der Anteil in Prozent; in der Gleichung schreibst du ihn als Dezimalzahl: $25\,\% = 0{,}25$ , $150\,\% = 1{,}5$ , $0{,}4\,\% = 0{,}004$ .
Der Prozentwert ist der Anteil, den der Prozentsatz beschreibt.

Wörter in die Gleichung übersetzen:

"ist" wird zu $=$
"von" wird zu $\cdot$
"welche Zahl" oder "wie viel Prozent" wird zur Unbekannten $x$

Aus "30 ist 25 % von welcher Zahl?" wird also

30 = 0{,}25x

Wenn du zwei der drei Größen kennst, findest du immer die dritte:

Prozentwert: multiplizieren, $\text{Prozentwert} = \text{Prozentsatz} \cdot \text{Grundwert}$
Grundwert: dividieren, $\text{Grundwert} = \text{Prozentwert} : \text{Prozentsatz}$
Prozentsatz: dividieren, $\text{Prozentsatz} = \text{Prozentwert} : \text{Grundwert}$ , dann mal 100 für die Angabe in Prozent

Lösungsbeispiele

Welche Zahl sind 35 % von 80?

Übersetze die Wörter

"Welche Zahl" ist $x$ , "sind" ist $=$ , "von" ist $\cdot$ → $x = 35\,\% \cdot 80$

Schreibe den Prozentsatz als Dezimalzahl

$35\,\% = 35 : 100 = 0{,}35$ → $x = 0{,}35 \cdot 80$

Multipliziere

$0{,}35 \cdot 80 = 28$ → $x = 28$

Antwort: 28 sind 35 % von 80.

Häufige Fehler

Die Prozentzahl statt der Dezimalzahl verwenden: $30 = 25x$ schreiben und $x = 1{,}2$ erhalten

Warum es falsch ist: Der Prozentsatz in der Gleichung muss eine Dezimalzahl sein. 25 % heißt 25 von hundert, also $0{,}25$ , nicht $25$ .

Richtig: Teile die Prozentzahl zuerst durch 100: $30 = 0{,}25x$ , also $x = 120$ .

Prozentwert und Grundwert verwechseln: bei "30 ist 25 % von welcher Zahl?" $0{,}25 \cdot 30 = 7{,}5$ rechnen

Warum es falsch ist: Die Zahl nach "von" ist der Grundwert. Hier ist der Grundwert unbekannt und 30 ist der Prozentwert, also steht 30 links vom Gleichheitszeichen.

Richtig: Übersetze Wort für Wort: $30 = 0{,}25 \cdot x$ , also $x = 120$ .

Beim Prozentsatz das Malnehmen mit 100 vergessen: "0,4 %" als Antwort auf "18 sind wie viel Prozent von 45?"

Warum es falsch ist: Prozentwert durch Grundwert ergibt den Prozentsatz als Dezimalzahl ( $0{,}4$ ). In Prozent ist das diese Dezimalzahl mal 100.

Richtig: $18 : 45 = 0{,}4$ und $0{,}4 \cdot 100 = 40$ , die Antwort ist also $40\,\%$ .

Einen kleinen Prozentsatz falsch als Dezimalzahl schreiben: $0{,}4\,\% = 0{,}04$ oder $0{,}4\,\% = 0{,}4$

Warum es falsch ist: Jeder Prozentsatz wird durch 100 geteilt, auch kleine. Verschiebe das Komma um zwei Stellen nach links: $0{,}4 \to 0{,}004$ .

Richtig: $0{,}4\,\% = 0{,}004$ , also sind 0,4 % von 500 genau $0{,}004 \cdot 500 = 2$ .

Warum es wichtig ist

In der Lektion "Prozent einer Zahl berechnen" kanntest du immer den Grundwert und den Prozentsatz. Echte Aufgaben verstecken oft eine andere Unbekannte:

Einkaufen: Du zahlst 45 € Anzahlung, das sind 15 % des Preises. Wie hoch ist der volle Preis? (der Grundwert fehlt)
Noten: Du hast 34 von 40 Punkten. Wie viel Prozent sind das? (der Prozentsatz fehlt)
Sparen: Ein Konto bringt 0,8 % Zinsen pro Jahr. Wie viel musst du sparen, um 36 € zu bekommen? (ein Prozentsatz unter 1 %)
Wachstum: Eine Stadt hat heute 260 % ihrer früheren Einwohnerzahl. (ein Prozentsatz über 100 %)

Die Prozentformel löst all das mit derselben kurzen Zeile,

\text{Prozentwert} = \text{Prozentsatz} \cdot \text{Grundwert}

, und dem Gleichungslösen, das du schon kannst.

Anwendungen im echten Leben

Eine Anzahlung leisten

Geschäfte verlangen oft eine Anzahlung, die ein Prozentsatz des vollen Preises ist. Die Anzahlung ist der Prozentwert, der volle Preis der Grundwert, den du eventuell finden musst.

Beispiel:

60 € Anzahlung, die 20 % des Preises sind, bedeuten $60 = 0{,}2x$ , der Preis ist also $60 : 0{,}2 = 300$ €.

1Probiere es selbst

Mia zahlt für ein Fahrrad eine Anzahlung von 45 €. Die Anzahlung beträgt 15 % des vollen Preises.

Wie viel Euro kostet das Fahrrad insgesamt?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Teile den Prozentwert durch den Prozentsatz:

Testergebnisse und Freiwürfe

Lehrkräfte und Trainer machen aus "so viele von so vielen" einen Prozentsatz. Hier ist der Prozentsatz die Unbekannte.

Beispiel:

Eine Basketballspielerin trifft 34 von 40 Freiwürfen: $34 = r \cdot 40$ , $r = 0{,}85$ , sie trifft also $85\,\%$ ihrer Würfe.

2Probiere es selbst

In einem Test gibt es 80 Punkte. Leo erreicht 68 Punkte.

Wie viel Prozent der Punkte hat Leo erreicht? Gib die Zahl ohne %-Zeichen an.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Teile den Prozentwert durch den Grundwert und multipliziere mit 100:

Sparzinsen unter 1 %

Sparkonten zahlen oft weniger als 1 % Zinsen pro Jahr. Die Zinsen sind der Prozentwert, das Geld auf dem Konto ist der Grundwert.

Beispiel:

Bei 0,5 % Zinsen bringen 2400 € in einem Jahr $0{,}005 \cdot 2400 = 12$ €.

3Probiere es selbst

Ein Sparkonto zahlt 0,8 % Zinsen pro Jahr. Nach einem Jahr hat Sara 36 € Zinsen bekommen.

Wie viel Euro waren auf Saras Konto?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Teile die Zinsen durch den Prozentsatz als Dezimalzahl:

Wichtige Erkenntnisse

1Die Prozentformel lautet $\text{Prozentwert} = \text{Prozentsatz} \cdot \text{Grundwert}$ , mit dem Prozentsatz als Dezimalzahl
2Übersetze Wort für Wort: "ist" wird zu $=$ , "von" wird zu $\cdot$ , "welche Zahl" wird zur Unbekannten
3Für den Grundwert dividierst du: $\text{Grundwert} = \text{Prozentwert} : \text{Prozentsatz}$
4Für den Prozentsatz teilst du den Prozentwert durch den Grundwert und multiplizierst mit 100
5Über 100 % ist der Prozentsatz größer als 1 ( $150\,\% = 1{,}5$ ) und der Prozentwert größer als der Grundwert; unter 1 % beginnt die Dezimalzahl mit $0{,}00$ ( $0{,}4\,\% = 0{,}004$ )
6Die Formel und die Verhältnisgleichung $\frac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}} = \frac{p}{100}$ liefern immer dasselbe Ergebnis

Häufig gestellte Fragen

Soll ich die Prozentformel oder die Verhältnisgleichung benutzen?

Beide liefern immer dasselbe Ergebnis. Die Formel

\text{Prozentwert} = \text{Prozentsatz} \cdot \text{Grundwert}

ist kürzer, wenn du den Prozentsatz leicht in eine Dezimalzahl umwandeln kannst. Die Verhältnisgleichung

\frac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}} = \frac{p}{100}

(Lektion "Prozentrechnung mit Verhältnisgleichung") lässt den Prozentsatz als ganze Zahl stehen und fühlt sich bei schwierigen Dezimalzahlen oft sicherer an. Nimm den Weg, der dir klarer ist.

Kann der Prozentwert größer als der Grundwert sein?

Ja, wenn der Prozentsatz über 100 % liegt. Zum Beispiel sind 150 % von 28 genau 42, und 42 ist größer als 28. Bei Wachstum, Preisen und Einwohnerzahlen kommt das oft vor.

Woran erkenne ich den Grundwert?

Achte auf das Wort "von": Der Grundwert steht meist direkt dahinter. In "18 sind wie viel Prozent von 45" ist 45 der Grundwert. Die Zahl bei "ist" oder "sind" ist meist der Prozentwert.

Warum multipliziere ich am Ende mit 100, wenn ich einen Prozentsatz suche?

Prozentwert durch Grundwert ergibt den Prozentsatz als Dezimalzahl, zum Beispiel

0{,}4

. Prozent heißt "von hundert", also gilt

0{,}4 = \frac{40}{100} = 40\,\%

Glossar

Prozentgleichung (Prozentformel): Die Gleichung $\text{Prozentwert} = \text{Prozentsatz} \cdot \text{Grundwert}$ , die einen Prozentsatz mit zwei Größen verbindet.
Grundwert: Das Ganze, von dem du einen Prozentsatz nimmst; er entspricht 100 %. Meist steht er nach dem Wort "von".
Prozentwert: Der Teil des Grundwerts, der dem Prozentsatz entspricht.
Prozentsatz: Der Anteil in Prozent, in der Gleichung als Dezimalzahl geschrieben, zum Beispiel $35\,\% = 0{,}35$ .
Unbekannte: Die fehlende Größe in der Gleichung, geschrieben mit einem Buchstaben wie $x$ oder $r$ .

Formelkarte

Prozentformel

\text{Prozentwert} = \text{Prozentsatz} \cdot \text{Grundwert}

Damit findest du den Prozentwert: Multipliziere den Prozentsatz (als Dezimalzahl) mit dem Grundwert.

Grundwert finden

\text{Grundwert} = \text{Prozentwert} : \text{Prozentsatz}

Teile den Prozentwert durch den Prozentsatz als Dezimalzahl, zum Beispiel $30 : 0{,}25 = 120$.

Prozentsatz finden

\text{Prozentsatz} = \text{Prozentwert} : \text{Grundwert}

Teile den Prozentwert durch den Grundwert und multipliziere dann mit 100, um den Wert in Prozent zu erhalten.

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Diese Lektion im Unterricht nutzen

Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Eine Anzahlung leisten

Testergebnisse und Freiwürfe

Sparzinsen unter 1 %

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Prozentformel

Grundwert finden

Prozentsatz finden

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Einführung in Prozentrechnung

Prozent einer Zahl berechnen

Prozentuale Zunahme und Abnahme

Prozentrechnung mit Verhältnisgleichung