Eulerscher Polyedersatz

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welche Gleichung ist der eulersche Polyedersatz für ein konvexes Polyeder?
1. a) $E + K + F = 2$
2. b) $E - K + F = 2$
3. c) $E + K - F = 2$
4. d) $E - K - F = 2$
Lösung: $E - K + F = 2$
Ecken und Flächen werden addiert, Kanten subtrahiert: $E - K + F = 2$ . Beim Würfel: $8 - 12 + 6 = 2$ .
2.
Ein Würfel hat $8$ Ecken, $12$ Kanten und $6$ Flächen. Berechne $E - K + F$ .
Lösung: 2
$8 - 12 + 6 = -4 + 6 = 2$ , genau wie der eulersche Polyedersatz vorhersagt.
3.
Ein dreiseitiges Prisma hat $6$ Ecken und $5$ Flächen. Bestimme mit dem eulerschen Polyedersatz die Anzahl der Kanten.
Lösung: 9
$6 - K + 5 = 2$ ergibt $11 - K = 2$ , also $K = 9$ . Probe: je $3$ Kanten an den Dreiecken und $3$ verbindende Kanten, $3 + 3 + 3 = 9$ .
4.
Welcher dieser Körper ist KEIN Polyeder?
1. a)Oktaeder
2. b)Würfel
3. c)Zylinder
4. d)Quadratische Pyramide
Lösung: Zylinder
Ein Zylinder hat eine gekrümmte Mantelfläche und kreisförmige Grundflächen, die keine Vielecke sind. Er ist also kein Polyeder, und der Polyedersatz gilt für ihn nicht.
5.
Ein konvexes Polyeder hat $20$ Flächen und $30$ Kanten. Wie viele Ecken hat es?
Lösung: 12
$E = 2 + K - F = 2 + 30 - 20 = 12$ . Probe: $12 - 30 + 20 = 2$ .
6.
Zähle Ecken, Kanten und Flächen eines fünfseitigen Prismas und überprüfe den eulerschen Polyedersatz.
Lösung: 2
1. Wie viele Ecken? (oberes und unteres Fünfeck) 10
2. Wie viele Kanten? (oben, unten und senkrecht) 15
3. Wie viele Flächen? (2 Grundflächen und die rechteckigen Seiten) 7
4. Berechne $E - K + F$ 2
7.
Zähle Ecken, Kanten und Flächen einer quadratischen Pyramide und überprüfe den eulerschen Polyedersatz.
Lösung: 2
1. Wie viele Ecken? (Ecken der Grundfläche und die Spitze) 5
2. Wie viele Kanten? (um die Grundfläche und zur Spitze) 8
3. Wie viele Flächen? (Grundfläche und Dreiecke) 5
4. Berechne $E - K + F$ 2
8.
Welche Anzahlen können zu einem konvexen Polyeder gehören?
1. a) $E = 8$ , $K = 12$ , $F = 7$
2. b) $E = 9$ , $K = 14$ , $F = 6$
3. c) $E = 6$ , $K = 10$ , $F = 6$
4. d) $E = 7$ , $K = 12$ , $F = 6$
Lösung: $E = 6$ , $K = 10$ , $F = 6$
$6 - 10 + 6 = 2$ (eine fünfseitige Pyramide), während $7 - 12 + 6 = 1$ , $8 - 12 + 7 = 3$ und $9 - 14 + 6 = 1$ den Polyedersatz verletzen.
9.
Ein Prisma hat $27$ Kanten. Wie viele Flächen hat es?
Lösung: 11
$3n = 27$ ergibt $n = 9$ , also $F = 9 + 2 = 11$ . Probe: $E = 18$ und $18 - 27 + 11 = 2$ .
10.
Ein Polyeder hat $4$ dreieckige und $4$ sechseckige Flächen. Bestimme die Anzahl seiner Kanten und Ecken.
Lösung: 12
1. Wie viele Flächenseiten gibt es insgesamt? 36
2. Wie viele Kanten? 18
3. Wie viele Flächen? 8
4. Wie viele Ecken? ( $E = 2 + K - F$ ) 12
11.
Eine Pyramide hat eine Grundfläche mit $n$ Seiten. Wie viele Kanten hat sie?
1. a) $n + 1$
2. b) $2n$
3. c) $n + 2$
4. d) $3n$
Lösung: $2n$
Es gibt $n$ Kanten um die Grundfläche und $n$ Kanten von den Ecken der Grundfläche zur Spitze: $n + n = 2n$ . Bei der quadratischen Pyramide $2 \times 4 = 8$ .
12.
Eine Pyramide hat $9$ Flächen. Bestimme die Seitenzahl der Grundfläche, die Ecken und die Kanten und überprüfe dann den Polyedersatz.
Lösung: 2
1. Wie viele Seiten hat die Grundfläche? (Flächen $= n + 1$ ) 8
2. Wie viele Ecken? ( $n + 1$ ) 9
3. Wie viele Kanten? ( $2n$ ) 16
4. Berechne $E - K + F$ 2
13.
Ein konvexes Polyeder hat nur dreieckige Flächen und $12$ Ecken. Wie viele Flächen und Kanten hat es?
Lösung: 20
1. Jede Fläche hat 3 Seiten und jede Kante gehört zu 2 Flächen, also $K = \frac{3F}{2}$ . Dann wird $12 - \frac{3F}{2} + F = 2$ zu $12 - \frac{F}{2} = 2$ . Wie groß ist $\frac{F}{2}$ ? 10
2. Wie viele Flächen? 20
3. Wie viele Kanten? ( $\frac{3F}{2}$ ) 30
4. Probe: berechne $E - K + F$ 2
14.
Ein dreieckiger Bilderrahmen ist ein Körper mit einem dreieckigen durchgehenden Loch. Ober- und Unterseite sind in je $3$ Trapeze geteilt, sodass jede Fläche ein Viereck ist. Bestimme $E - K + F$ .
Lösung: 0
1. Wie viele Ecken? (äußere und innere Ecken, oben und unten) 12
2. Wie viele Flächen? (oben, unten, außen, innen) 12
3. Wie viele Kanten? (alle Flächen sind Vierecke) 24
4. Berechne $E - K + F$ 0
15.
Kann ein Polyeder genau $5$ Flächen haben, die alle Dreiecke sind?
1. a)Ja, es hat 7 Kanten
2. b)Nein, 15 Flächenseiten lassen sich nicht paarweise zu Kanten zusammenfassen
3. c)Ja, es ist eine quadratische Pyramide
4. d)Nein, es bräuchte 0 Ecken
Lösung: Nein, 15 Flächenseiten lassen sich nicht paarweise zu Kanten zusammenfassen
Fünf Dreiecke haben $5 \times 3 = 15$ Seiten. Jede Kante verbraucht genau zwei Seiten, also wäre $K = 7{,}5$ , keine ganze Zahl. Ein solches Polyeder gibt es nicht. Eine quadratische Pyramide hat nur $4$ Dreiecksflächen und ein Quadrat.
16.
Ein Prisma hat $30$ Ecken. Bestimme die Seitenzahl der Grundfläche, die Kanten und die Flächen und überprüfe dann den Polyedersatz.
Lösung: 2
1. Wie viele Seiten hat die Grundfläche? ( $2n = 30$ ) 15
2. Wie viele Kanten? ( $3n$ ) 45
3. Wie viele Flächen? ( $n + 2$ ) 17
4. Berechne $E - K + F$ 2
17.
Ein konvexes Polyeder hat $6$ quadratische und $8$ sechseckige Flächen. Wie viele Ecken hat es?
Lösung: 24
Flächenseiten: $6 \times 4 + 8 \times 6 = 72$ , also $K = 36$ . Mit $F = 14$ : $E = 2 + 36 - 14 = 24$ .
18.
Zähle Ecken, Kanten und Flächen einer dreiseitigen Pyramide (Tetraeder) und überprüfe den eulerschen Polyedersatz.
Lösung: 2
1. Wie viele Ecken? 4
2. Wie viele Kanten? 6
3. Wie viele Flächen? 4
4. Berechne $E - K + F$ 2