Bogenlänge

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Wie groß ist die Bogenlänge eines vollen Kreises mit Radius $5$ cm?
1. a) $10\pi$ cm
2. b) $20\pi$ cm
3. c) $25\pi$ cm
4. d) $5\pi$ cm
Lösung: $10\pi$ cm
Die Bogenlänge eines vollen Kreises entspricht dem Umfang: $U = 2\pi r = 2\pi \times 5 = 10\pi$ cm.
2.
Welche Formel wird verwendet, um die Bogenlänge zu finden, wenn der Winkel im Bogenmaß angegeben ist?
1. a) $s = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r$
2. b) $s = 2\pi r$
3. c) $s = \theta \times r$
4. d) $s = \pi r^2$
Lösung: $s = \theta \times r$
Wenn der Winkel im Bogenmaß angegeben ist, verwenden wir $s = \theta \times r$ . Dies ist einfacher, weil ein Radiant als der Winkel definiert ist, bei dem die Bogenlänge gleich dem Radius ist.
3.
Ein Halbkreis hat einen Radius von $6$ cm. Wie groß ist die Bogenlänge? Gib deine Antwort als Vielfaches von $\pi$ an.
Lösung: 6pi
Ein Halbkreis hat einen Zentriwinkel von $180°$ , das ist die Hälfte von $360°$ . Bogenlänge = $\frac{180}{360} \times 2\pi \times 6 = \frac{1}{2} \times 12\pi = 6\pi$ cm.
4.
Rechne $90°$ in Bogenmaß um. Gib deine Antwort als Vielfaches von $\pi$ an.
Lösung: pi/2
$90° \times \frac{\pi}{180} = \frac{90\pi}{180} = \frac{\pi}{2}$ Radiant.
5.
Berechne die Bogenlänge eines Sektors mit Zentriwinkel $45°$ und Radius $8$ cm.
1. a) $2\pi$ cm
2. b) $4\pi$ cm
3. c) $\pi$ cm
4. d) $8\pi$ cm
Lösung: $2\pi$ cm
$s = \frac{45}{360} \times 2\pi \times 8 = \frac{1}{8} \times 16\pi = 2\pi$ cm.
6.
Ein Kreis hat einen Radius von $10$ m. Berechne die Bogenlänge für einen Zentriwinkel von $\frac{\pi}{5}$ Radiant. Gib deine Antwort als Vielfaches von $\pi$ an.
Lösung: 2pi
Mit $s = \theta \times r = \frac{\pi}{5} \times 10 = \frac{10\pi}{5} = 2\pi$ m.
7.
Berechne die Bogenlänge eines Sektors mit Zentriwinkel $120°$ und Radius $9$ cm.
Lösung: 6pi
1. Welcher Anteil des vollen Kreises ist $120°$ ? 1/3
2. Wie groß ist der Umfang des vollen Kreises ( $2\pi r$ )? 18pi
3. Multipliziere den Bruch mit dem Umfang, um die Bogenlänge zu erhalten 6pi
8.
Der Minutenzeiger einer Uhr ist $15$ cm lang. Wie weit bewegt sich die Spitze in $20$ Minuten?
Lösung: 10pi
1. Welcher Anteil einer Stunde sind 20 Minuten? 1/3
2. Welchen Winkel überstreicht der Minutenzeiger in 20 Minuten? 120
3. Berechne die Bogenlänge mit $s = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r$ 10pi
9.
Wenn die Bogenlänge $4\pi$ cm und der Zentriwinkel $90°$ beträgt, wie groß ist der Radius?
1. a) $4$ cm
2. b) $8$ cm
3. c) $16$ cm
4. d) $2$ cm
Lösung: $8$ cm
$4\pi = \frac{90}{360} \times 2\pi r$ . Also $4\pi = \frac{1}{4} \times 2\pi r = \frac{\pi r}{2}$ . Daher $r = 8$ cm.
10.
Ein Bogen hat die Länge $5\pi$ m und der Radius beträgt $10$ m. Berechne den Zentriwinkel in Grad.
Lösung: 90
$\theta = \frac{5\pi \times 360}{2\pi \times 10} = \frac{5\pi \times 360}{20\pi} = \frac{5 \times 360}{20} = \frac{1800}{20} = 90°$ .
11.
Eine Laufbahn hat halbkreisförmige Kurven. Die innere Bahn hat einen Radius von $30$ m, die äußere Bahn einen Radius von $32$ m. Um wie viel ist die äußere Bahn in einer Kurve länger als die innere?
Lösung: 2pi
1. Wie groß ist die Bogenlänge des äußeren Halbkreises ( $r = 32$ m)? 32pi
2. Wie groß ist die Bogenlänge des inneren Halbkreises ( $r = 30$ m)? 30pi
3. Was ist die Differenz? 2pi
12.
Eine Pizza hat einen Radius von $14$ cm. Wenn ein Stück eine Bogenlänge von $7\pi$ cm entlang der Kruste hat, wie groß ist der Zentriwinkel des Stücks in Grad?
Lösung: 90
$\theta = \frac{7\pi \times 360}{2\pi \times 14} = \frac{7\pi \times 360}{28\pi} = \frac{7 \times 360}{28} = \frac{2520}{28} = 90°$ . Das Pizzastück ist ein Viertel der Pizza!
13.
Ein Auto fährt um eine kreisförmige Kurve mit Radius $50$ m. Wenn das Auto einen Bogen von $\frac{2\pi}{3}$ Radiant zurücklegt, wie weit fährt es? Rechne dann diesen Winkel in Grad um.
Lösung: 100pi/3
1. Verwende $s = \theta \times r$ . Wie groß ist die Bogenlänge? 100pi/3
2. Rechne $\frac{2\pi}{3}$ Radiant in Grad um 120
3. Berechne die Bogenlänge näherungsweise mit $\pi \approx 3{,}14$ und runde auf ganze Meter 105
14.
Zwei Kreise haben Radien $r$ und $2r$ . Wenn beide Bögen mit dem gleichen Zentriwinkel haben, wie ist das Verhältnis ihrer Bogenlängen?
1. a) $1:4$
2. b) $1:2$
3. c) $2:1$
4. d) $1:1$
Lösung: $1:2$
Aus $s = \theta \times r$ folgt: wenn $\theta$ konstant ist, dann ist $s$ direkt proportional zu $r$ . Also $s_1 : s_2 = r : 2r = 1:2$ .
15.
Ein Sektor hat eine Bogenlänge von $12\pi$ cm und einen Zentriwinkel von $\frac{3\pi}{4}$ Radiant. Berechne den Radius und dann die Fläche des Sektors.
Lösung: 96pi
1. Verwende $s = \theta r$ , um den Radius zu finden. Was ist $r$ ? 16
2. Rechne den Winkel in Grad um 135
3. Berechne die Sektorfläche mit $A = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2$ (als Vielfaches von pi) 96pi