SSS-Kongruenz

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welche Angaben reichen aus, um mit SSS zu beweisen, dass zwei Dreiecke kongruent sind?
1. a)Zwei Paare gleich langer Seiten
2. b)Drei Paare gleicher Winkel
3. c)Drei Paare gleich langer Seiten
4. d)Gleicher Umfang
Lösung: Drei Paare gleich langer Seiten
SSS braucht drei Paare kongruenter Seiten. Gleicher Umfang oder zwei Seitenpaare reichen nicht, und drei gleiche Winkel beweisen nur Ähnlichkeit.
2.
Es gilt $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ nach SSS. $AB = 7$ , $BC = 9$ und $CA = 4$ . Wie lang ist $EF$ ?
Lösung: 9
Buchstaben an denselben Stellen entsprechen einander: $B \leftrightarrow E$ und $C \leftrightarrow F$ . Also ist $EF = BC = 9$ .
3.
Ein Dreieck hat die Seiten 5 cm, 6 cm und 8 cm. Ein anderes hat die Seiten 6 cm, 8 cm und 5 cm. Sind sie kongruent?
1. a)Nur wenn beide rechtwinklig sind
2. b)Nein, die Seiten stehen in anderer Reihenfolge
3. c)Nein, man braucht auch einen Winkel
4. d)Ja, nach SSS
Lösung: Ja, nach SSS
Beide Dreiecke haben die Seiten 5, 6 und 8, nur in anderer Reihenfolge aufgezählt. Drei Paare gleich langer Seiten, also sind sie nach SSS kongruent.
4.
Bestimme die Länge der Seite von $A(1, 2)$ bis $B(4, 6)$ .
Lösung: 5
$AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ .
5.
Im $\triangle ABC$ : $AB = 6$ , $BC = 10$ , $CA = 8$ . Im $\triangle PQR$ : $PQ = 8$ , $QR = 10$ , $RP = 6$ . Prüfe, ob die Dreiecke nach SSS kongruent sind.
Lösung: 3
1. Wie lang ist die kürzeste Seite von $\triangle ABC$ ? 6
2. Wie lang ist die kürzeste Seite von $\triangle PQR$ ? 6
3. Wie lang ist die längste Seite in beiden Dreiecken? 10
4. Wie viele Paare gleich langer Seiten gibt es? 3
6.
Es gilt $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ nach SSS. $DE = 12$ , $EF = 15$ und $FD = 9$ . Wie groß ist der Umfang von $\triangle ABC$ ?
Lösung: 36
$AB = 12$ , $BC = 15$ , $CA = 9$ , also ist der Umfang $12 + 15 + 9 = 36$ .
7.
Im $\triangle KLM$ : $KL = 6$ , $LM = 10$ , $MK = 7$ . Im $\triangle STU$ : $ST = 10$ , $TU = 7$ , $US = 6$ . Welche Kongruenzaussage ist richtig?
1. a) $\triangle KLM \cong \triangle STU$
2. b) $\triangle KLM \cong \triangle SUT$
3. c) $\triangle KLM \cong \triangle UST$
4. d) $\triangle KLM \cong \triangle TUS$
Lösung: $\triangle KLM \cong \triangle UST$
Paare: $KL = US = 6$ , $MK = TU = 7$ , $LM = ST = 10$ . $K$ (Seiten 6 und 7) entspricht $U$ , $L$ (Seiten 6 und 10) entspricht $S$ , $M$ (Seiten 7 und 10) entspricht $T$ . Also $\triangle KLM \cong \triangle UST$ .
8.
Eine Dreiecksseite geht von $C(-2, 3)$ bis $D(4, -5)$ . Wie lang ist sie?
Lösung: 10
$CD = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ .
9.
$\triangle ABC$ hat $A(0, 0)$ , $B(3, 0)$ , $C(0, 4)$ . $\triangle DEF$ hat $D(5, 1)$ , $E(5, 4)$ , $F(1, 1)$ . Prüfe SSS mit der Abstandsformel.
Lösung: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$
1. Wie lang ist $BC$ , von $(3, 0)$ bis $(0, 4)$ ? 5
2. Wie lang ist $DE$ , von $(5, 1)$ bis $(5, 4)$ ? 3
3. Wie lang ist $DF$ , von $(5, 1)$ bis $(1, 1)$ ? 4
4. Wie lang ist $EF$ , von $(5, 4)$ bis $(1, 1)$ ? 5
10.
Es gilt $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ nach SSS. $AB = 3x - 4$ , $DE = x + 6$ , $BC = 2y + 1$ und $EF = 15$ . Bestimme $x$ , $AB$ und $y$ .
Lösung: $x = 5$ , $AB = 11$ , $y = 7$
1. Löse $3x - 4 = x + 6$ . Wie groß ist $x$ ? 5
2. Wie lang ist $AB$ ? 11
3. Löse $2y + 1 = 15$ . Wie groß ist $y$ ? 7
11.
Ein Quadrat und eine Raute haben beide vier Seiten der Länge 4, sind aber nicht kongruent. Warum widerspricht das SSS nicht?
1. a)Vierecke sind nicht starr: Gleiche Seiten legen die Winkel nicht fest
2. b)Ihre Seiten sind nicht wirklich gleich
3. c)SSS gilt nur für rechtwinklige Dreiecke
4. d)Eine Raute hat fünf Seiten
Lösung: Vierecke sind nicht starr: Gleiche Seiten legen die Winkel nicht fest
SSS ist ein Kongruenzsatz nur für Dreiecke. Ein Viereck ist nicht starr: Bei denselben vier Seiten können sich die Winkel noch ändern, deshalb lässt sich ein Quadrat zu einer Raute drücken.
12.
Im Parallelogramm $ABCD$ gilt $AB = CD = 7$ , $BC = DA = 8$ und für die Diagonale $AC = 13$ . $\angle ABC = 120°$ . Zeige, dass $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ gilt, und bestimme $\angle CDA$ .
Lösung: $\angle CDA = 120°$
1. Wie lang ist die Seite, die beide Dreiecke gemeinsam haben? 13
2. Wie viele Paare gleich langer Seiten haben $\triangle ABC$ und $\triangle CDA$ ? 3
3. Wie viel Grad hat $\angle CDA$ ? 120
13.
Es gilt $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ nach SSS, mit $D(1, 2)$ und $E(7, 10)$ . Wie lang ist $AB$ ?
Lösung: 10
$DE = \sqrt{(7 - 1)^2 + (10 - 2)^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$ . Da $AB$ und $DE$ entsprechende Seiten sind, ist $AB = 10$ .
14.
$\triangle ABC$ hat $A(1, 1)$ , $B(4, 2)$ , $C(2, 5)$ und $\triangle PQR$ hat $P(6, -1)$ , $Q(5, -4)$ , $R(2, -2)$ . Vergleiche die Quadrate der Seitenlängen, um zu entscheiden, ob $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ gilt.
Lösung: $\triangle ABC \cong \triangle PQR$
1. Wie groß ist $AB^2$ ? 10
2. Wie groß ist $BC^2$ ? 13
3. Wie groß ist $CA^2$ ? 17
4. Wie groß ist $PQ^2$ ? 10
5. Wie groß ist $QR^2$ ? 13
6. Wie groß ist $RP^2$ ? 17
15.
Welches Dreieck ist kongruent zum Dreieck mit den Ecken $(0, 0)$ , $(4, 0)$ und $(0, 3)$ ?
1. a) $(0, 0)$ , $(5, 0)$ , $(0, 3)$
2. b) $(0, 0)$ , $(6, 0)$ , $(0, 8)$
3. c) $(1, 1)$ , $(5, 1)$ , $(1, 5)$
4. d) $(2, 2)$ , $(2, 6)$ , $(5, 2)$
Lösung: $(2, 2)$ , $(2, 6)$ , $(5, 2)$
Das gegebene Dreieck hat die Seiten 4, 3 und $\sqrt{16 + 9} = 5$ . Das Dreieck $(2, 2)$ , $(2, 6)$ , $(5, 2)$ hat die Seiten 4, 3 und $\sqrt{9 + 16} = 5$ , ist also nach SSS kongruent. Die anderen haben die Seiten 6, 8, 10 (zu groß), 4, 4, $\sqrt{32}$ und 5, 3, $\sqrt{34}$ .
16.
Es gilt $\triangle PQR \cong \triangle STU$ nach SSS. $PQ = 2x + 3$ , $ST = 4x - 7$ , $QR = x + y$ , $TU = 12$ und $RP = SU = 10$ . Bestimme den Umfang von $\triangle PQR$ .
Lösung: 35
1. Löse $2x + 3 = 4x - 7$ . Wie groß ist $x$ ? 5
2. Wie lang ist $PQ$ ? 13
3. Nutze $QR = TU$ : $5 + y = 12$ . Wie groß ist $y$ ? 7
4. Wie groß ist der Umfang $PQ + QR + RP$ ? 35
17.
Im Drachenviereck $ABCD$ gilt $AB = AD$ und $CB = CD$ . $\angle BAD = 76°$ und $\angle ABC = 110°$ . Nutze SSS für $\triangle ABC$ und $\triangle ADC$ , um $\angle BAC$ und $\angle ADC$ zu bestimmen.
Lösung: $\angle BAC = 38°$ , $\angle ADC = 110°$
1. Wie viele Paare kongruenter Seiten haben $\triangle ABC$ und $\triangle ADC$ , mit der gemeinsamen Seite? 3
2. $\angle BAC + \angle DAC$ ist der ganze Winkel $\angle BAD$ . Wie viel Grad sind das? 76
3. Die beiden Winkel sind gleich (entsprechende Teile). Wie viel Grad hat $\angle BAC$ ? 38
4. Wie viel Grad hat $\angle ADC$ ? 110
18.
Ein quadratischer Rahmen mit 5 cm langen Seiten hat Gelenke an den Ecken. Er wird zu einer Raute mit einem $60°$ -Winkel gedrückt. Erkläre mit Zahlen, warum SSS für Vierecke nicht funktioniert und wie eine Strebe das behebt.
Lösung: $20$ cm, $5$ cm, $2$
1. Wie groß ist der Umfang des Quadrats in cm? 20
2. Wie groß ist der Umfang der Raute in cm? 20
3. Wie lang ist die kurze Diagonale der Raute in cm? 5
4. In wie viele Dreiecke teilt eine Strebe entlang einer Diagonale den Rahmen? 2