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Leitfaden für Lehrer: SSS-Kongruenz

Lerne, mit dem Kongruenzsatz SSS (Seite-Seite-Seite) zu beweisen, dass Dreiecke kongruent sind, entsprechende Seiten zuzuordnen und SSS im Koordinatensystem zu prüfen.

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10 Fragen zu Kongruenz & Ähnlichkeit. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele
  • Den Kongruenzsatz SSS formulieren und erklären, warum er keine Winkel braucht
  • Entsprechende Seiten zuordnen und eine Kongruenzaussage mit den Ecken in richtiger Reihenfolge schreiben
  • Mit der Abstandsformel SSS für Dreiecke im Koordinatensystem prüfen
  • Einen Beweis in zwei Spalten mit SSS schreiben, auch mit gemeinsamer Seite und Reflexivität
  • Nach SSS entsprechende Winkel folgern und erklären, warum SSS für Vierecke nicht gilt
Voraussetzungen
  • • Einführung in die Kongruenz: was kongruente Figuren sind und das Zeichen ≅\cong
  • • Kongruente Dreiecke: entsprechende Teile und die fünf Kongruenzsätze
  • • WSW- und WWS-Kongruenz: wie man einen Kongruenzsatz in einem Beweis verwendet
  • • Der Satz des Pythagoras oder die Abstandsformel im Koordinatensystem
Diskussionsstarter
  • 1. Warum verwenden Brücken und Kräne Dreiecke statt Quadrate?
  • 2. Wenn zwei Dreiecke denselben Umfang haben, sind sie dann immer kongruent? Finde ein Beispiel.
  • 3. Wie kannst du sicher sein, welche Ecke des einen Dreiecks zu welcher Ecke des anderen gehört?
  • 4. Warum braucht SSS deiner Meinung nach keine Winkel, während WSW und WWS zwei brauchen?
Häufige Missverständnisse

In der Kongruenzaussage dürfen die Ecken in beliebiger Reihenfolge stehen

Abhilfe: Zeige △PQR\triangle PQR und △XYZ\triangle XYZ, bei denen PP zu YY gehört. Lass die Lernenden aus der falschen Aussage △PQR≅△XYZ\triangle PQR \cong \triangle XYZ die entsprechenden Seiten ablesen und prüfen: PQ=8PQ = 8, aber XY=9XY = 9, also ist die Aussage falsch.

Gleiche Seiten bedeuten bei jedem Vieleck gleiche Formen

Abhilfe: Lass die Lernenden aus vier Strohhalmen ein Quadrat bauen und dagegen drücken. Es wird zu einer Raute mit denselben Seiten. Dann kommt ein Strohhalm als Diagonale dazu, und die Figur bewegt sich nicht mehr.

Eine gemeinsame Seite zählt nicht, weil sie zu beiden Dreiecken gehört

Abhilfe: Färbe die beiden Dreiecke eines Drachenvierecks unterschiedlich und fahre die Diagonale in beiden Farben nach. Sie ist eine Seite jedes Dreiecks und ergibt das Paar AC‾≅AC‾\overline{AC} \cong \overline{AC}.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

  • • Zuerst Seitenlängen in passender Reihenfolge geben, dann die Reihenfolge mischen
  • • Farbige Markierungsstriche nutzen, um die Seiten vor dem Schreiben der Aussage zuzuordnen
  • • Mit Dreiecken auf Karopapier beginnen, deren Seiten waagrecht oder senkrecht liegen

Für Schüler auf Niveau:

  • • SSS mit der Abstandsformel für schräge Seiten prüfen
  • • Beweise in zwei Spalten mit gemeinsamer Seite schreiben
  • • Unbekannte in kongruenten Dreiecken mit Algebra bestimmen

Für fortgeschrittene Schüler:

  • • Mit einer Zirkelkonstruktion erklären, warum drei Seiten nur ein Dreieck ergeben
  • • Mit SSS und entsprechenden Teilen beweisen, dass die Diagonale einer Raute ihre Winkel halbiert
  • • Herausfinden, wie viele Diagonalen einen Fünfeckrahmen starr machen
Standardausrichtung
  • HSG-CO.B.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.B.8)

    Erklären, wie die Kongruenzsätze für Dreiecke (WSW, SWS und SSS) aus der Definition der Kongruenz durch Kongruenzabbildungen folgen

  • HSG-SRT.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.SRT.B.5)

    Kongruenz- und Ähnlichkeitssätze für Dreiecke nutzen, um Probleme zu lösen und Beziehungen in geometrischen Figuren zu beweisen

  • 8.G.B.8 (CCSS.MATH.CONTENT.8.G.B.8)

    Den Satz des Pythagoras anwenden, um den Abstand zwischen zwei Punkten in einem Koordinatensystem zu bestimmen

Lektionsressourcen
  • visualSSS-Dreieckspaar

    Zwei kongruente Dreiecke, eines gedreht und gespiegelt, mit allen drei markierten Seiten

  • activityStrohhalme und Stecknadeln

    Die Lernenden bauen ein Dreieck und ein Viereck aus Strohhalmen und testen, welches seine Form ändern kann

  • worksheetSSS-Beweise mit Koordinaten

    Seitenlängen mit der Abstandsformel berechnen und über Kongruenz entscheiden

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Der Kongruenzsatz SSS (Seite-Seite-Seite) besagt: Wenn die drei Seiten eines Dreiecks zu den drei Seiten eines anderen Dreiecks kongruent sind, dann sind die beiden Dreiecke kongruent.
Wenn AB‾≅DE‾,BC‾≅EF‾,CA‾≅FD‾\text{Wenn } \overline{AB} \cong \overline{DE}, \quad \overline{BC} \cong \overline{EF}, \quad \overline{CA} \cong \overline{FD}
Dann △ABC≅△DEF\text{Dann } \triangle ABC \cong \triangle DEF
Du musst keinen einzigen Winkel messen. Drei Seitenlängen legen ein Dreieck vollständig fest: Das nennt man die Starrheit des Dreiecks. Sobald die drei Seiten gewählt sind, ergeben sich die Winkel zwangsläufig. Jedes Dreieck mit diesen Seiten ist also dasselbe Dreieck, nur verschoben, gedreht oder gespiegelt.
Seiten zuordnen: Die Reihenfolge der Buchstaben in △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF zeigt, welche Teile einander entsprechen: A↔DA \leftrightarrow D, B↔EB \leftrightarrow E, C↔FC \leftrightarrow F. Ordne die kürzeste Seite der kürzesten zu, die mittlere der mittleren und die längste der längsten, und schreibe dann die Ecken in der passenden Reihenfolge.
Im Koordinatensystem berechnest du jede Seite mit der Abstandsformel:
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Lösungsbeispiele

Im △ABC\triangle ABC gilt: AB=5AB = 5 cm, BC=7BC = 7 cm, CA=6CA = 6 cm. Im △DEF\triangle DEF gilt: DE=5DE = 5 cm, EF=7EF = 7 cm, FD=6FD = 6 cm. Sind die Dreiecke kongruent?
1

Vergleiche das erste Seitenpaar

AB=DE=5AB = DE = 5 cm → AB‾≅DE‾\overline{AB} \cong \overline{DE}
2

Vergleiche das zweite Paar

BC=EF=7BC = EF = 7 cm → BC‾≅EF‾\overline{BC} \cong \overline{EF}
3

Vergleiche das dritte Paar

CA=FD=6CA = FD = 6 cm → CA‾≅FD‾\overline{CA} \cong \overline{FD}
4

Wende SSS an

Alle drei Seitenpaare sind kongruent → △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF nach SSS

Häufige Fehler

Die Ecken in der falschen Reihenfolge schreiben, etwa △PQR≅△XYZ\triangle PQR \cong \triangle XYZ, obwohl PP zu YY gehört

Warum es falsch ist: Eine Kongruenzaussage verspricht, dass die ersten Buchstaben einander entsprechen, ebenso die zweiten und die dritten. Alphabetische Reihenfolge ist nicht dasselbe wie passende Reihenfolge.

Richtig: Ordne zuerst die Seiten nach Länge zu und suche dann, in welchen Ecken sich die passenden Seiten treffen. Schreibe die Ecken in dieser Reihenfolge: △PQR≅△YZX\triangle PQR \cong \triangle YZX.

Glauben, dass SSS auch für Vierecke gilt

Warum es falsch ist: Ein Quadrat mit Seitenlänge 4 und eine schmale Raute mit Seitenlänge 4 haben vier gleiche Seitenpaare, sind aber nicht kongruent. Vier Seiten legen die Winkel nicht fest.

Richtig: Seitenlängen allein legen nur die Form eines Dreiecks fest. Bei Vierecken brauchst du zusätzlich Winkel oder eine Diagonale.

Die gemeinsame Seite im Beweis vergessen

Warum es falsch ist: Wenn zwei Dreiecke eine Seite teilen, finden viele nur zwei Paare gleicher Seiten und hören auf, oder sie benutzen die Seite ohne Begründung.

Richtig: Schreibe die gemeinsame Seite als eigene Aussage, AC‾≅AC‾\overline{AC} \cong \overline{AC}, mit der Begründung Reflexivität. Sie zählt als drittes Paar.

Kongruenz aus gleichem Umfang folgern

Warum es falsch ist: Dreiecke mit den Seiten 3, 4, 5 und 4, 4, 4 haben beide den Umfang 12, aber verschiedene Formen.

Richtig: SSS braucht drei einzelne Paare gleich langer Seiten, nicht nur dieselbe Summe.

Warum es wichtig ist

SSS ist der Kongruenzsatz, den du nur mit einem Lineal prüfen kannst, und er erklärt, warum Dreiecke im Bauwesen überall vorkommen:
  • Brücken und Dächer: Ein Dreieck aus drei festen Balken kann seine Form nicht ändern, deshalb bestehen Fachwerke aus Dreiecken. Ein quadratischer Rahmen mit beweglichen Ecken kippt zu einer Raute, ein Dreieck nie
  • Fertigung: Um zu prüfen, ob ein dreieckiges Bauteil zur Schablone passt, messen Arbeiter nur die drei Seiten
  • Karten und Vermessung: Mit Koordinaten kannst du allein durch Abstände beweisen, dass zwei dreieckige Grundstücke gleich sind
  • Beweise: SSS ist oft der erste Schritt eines Beweises, danach liefert der Satz entsprechende Teile kongruenter Dreiecke sind kongruent die gleichen Winkel geschenkt
In den Lektionen über kongruente Dreiecke und über WSW und WWS hast du die anderen Kongruenzsätze kennengelernt. SSS ist der einzige, der überhaupt keinen Winkel braucht.

Anwendungen im echten Leben

Dachbinder

Zimmerleute bauen Dächer aus gleichen Dreiecken, weil sich ein Dreieck mit festen Seiten nicht aus der Form drücken lässt.

Beispiel:

Jeder Binder eines Gartenhauses besteht aus Balken von 3 m, 4 m und 5 m. Nach SSS sind alle Binder kongruent, deshalb ist das Dach auf der ganzen Länge gleich.

1Probiere es selbst

Ein Zimmermann baut 12 gleiche Dachbinder. Jeder Binder ist ein Dreieck aus Balken von 3 m, 4 m und 5 m.

Wie viele Meter Balken braucht der Zimmermann insgesamt?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Gesamtlänge der Balken in Metern:

Felder auf einem Kartenraster

Planer vergleichen Grundstücke mit Koordinaten und der Abstandsformel, ohne vor Ort zu sein.

Beispiel:

Feld 1 hat die Ecken (0,0)(0, 0), (6,0)(6, 0) und (0,8)(0, 8), Feld 2 hat die Ecken (10,2)(10, 2), (10,8)(10, 8) und (18,2)(18, 2). Beide haben Seiten von 6, 8 und 10 Rastereinheiten, also sind sie nach SSS kongruent.

2Probiere es selbst

Auf einer Karte entspricht eine Rastereinheit 10 m. Feld 2 hat die Ecken (10,2)(10, 2), (10,8)(10, 8) und (18,2)(18, 2).

Wie lang ist die schräge Grenze von Feld 2, von (10,8)(10, 8) bis (18,2)(18, 2), in Metern?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Länge in Metern:

Qualitätskontrolle von Fliesen

Eine Fliesenfabrik prüft dreieckige Fliesen an einer Schablone, indem sie die drei Seiten misst.

Beispiel:

Die Schablone hat Seiten von 12 cm, 15 cm und 20 cm. Eine Fliese mit 20 cm, 12 cm und 15 cm besteht die Prüfung: Die Reihenfolge beim Messen ist egal, es zählen nur die drei Paare.

3Probiere es selbst

Die Schablone hat Seiten von 12 cm, 15 cm und 20 cm. Eine Testfliese hat Seiten von 15 cm, 20 cm und xx cm.

Wie groß muss xx sein, damit die Fliese zur Schablone kongruent ist?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Wert von x:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1SSS: Wenn drei Seiten eines Dreiecks zu drei Seiten eines anderen kongruent sind, sind die Dreiecke kongruent
  • 2Es werden keine Winkel gebraucht: Drei Seitenlängen legen ein Dreieck vollständig fest (Starrheit des Dreiecks)
  • 3Ordne die kürzeste der kürzesten, die mittlere der mittleren und die längste der längsten Seite zu und schreibe dann die Ecken in passender Reihenfolge
  • 4Im Koordinatensystem berechnest du jede Seite mit der Abstandsformel d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
  • 5Eine Seite, die zwei Dreiecke gemeinsam haben, ist zu sich selbst kongruent (Reflexivität) und zählt als ein Paar
  • 6Nach SSS sind auch die entsprechenden Winkel gleich; für Vierecke gilt SSS nicht

Häufig gestellte Fragen

Warum funktioniert SSS ganz ohne Winkel?

Versuche, aus drei Stäben fester Länge ein Dreieck zu bauen. Sobald die Enden verbunden sind, gibt es nur eine Form, du kannst die Winkel weder öffnen noch schließen. Jedes Dreieck mit diesen drei Seiten ist dasselbe Dreieck, höchstens gedreht oder gespiegelt. Deshalb reichen drei Seiten.

Warum gilt SSS nicht für Vierecke?

Vier Stäbe, die an den Ecken verbunden sind, lassen sich noch bewegen: Ein Quadrat mit Seitenlänge 4 lässt sich zu einer Raute mit Seitenlänge 4 drücken. Die Seiten bleiben gleich, die Winkel ändern sich. Eine Diagonale teilt die Figur in zwei Dreiecke und macht sie starr.

Spielt die Reihenfolge der Seiten eine Rolle?

Nicht für die Entscheidung, ob Kongruenz vorliegt: Seiten 5, 6, 8 und 8, 5, 6 ergeben kongruente Dreiecke. Für die Kongruenzaussage aber schon: Die Eckpunkte müssen in der passenden Reihenfolge stehen.

Was ist der Unterschied zwischen SSS-Kongruenz und SSS-Ähnlichkeit?

Für die SSS-Kongruenz brauchst du drei Paare gleich langer Seiten, die Dreiecke sind also gleich groß. Für die SSS-Ähnlichkeit müssen nur die drei Verhältnisse entsprechender Seiten gleich sein, ein Dreieck kann also eine vergrößerte Kopie des anderen sein.

Glossar

Kongruenzsatz SSS
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn ihre drei Paare entsprechender Seiten kongruent sind
Entsprechende Seiten
Seiten, die bei einer Kongruenz zusammengehören; sie stehen in der Kongruenzaussage an denselben Stellen
Starrheit des Dreiecks
Ein Dreieck mit festen Seitenlängen kann seine Form und seine Winkel nicht ändern
Reflexivität
Jede Strecke ist zu sich selbst kongruent; das nutzt man für eine Seite, die zwei Dreiecke gemeinsam haben
Entsprechende Teile kongruenter Dreiecke
Sind zwei Dreiecke kongruent, dann sind alle entsprechenden Seiten und Winkel gleich
Abstandsformel
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}, die Länge der Strecke zwischen zwei Punkten

Formelkarte

Kongruenzsatz SSS

AB=DE, BC=EF, CA=FD⇒△ABC≅△DEFAB = DE,\ BC = EF,\ CA = FD \Rightarrow \triangle ABC \cong \triangle DEF

Drei Paare kongruenter Seiten beweisen, dass die Dreiecke kongruent sind

Abstandsformel

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Länge einer Seite aus den Koordinaten ihrer Endpunkte

Reflexivität

AC‾≅AC‾\overline{AC} \cong \overline{AC}

Eine gemeinsame Seite ist zu sich selbst kongruent

Entsprechende Teile

△ABC≅△DEF⇒∠A≅∠D\triangle ABC \cong \triangle DEF \Rightarrow \angle A \cong \angle D

Entsprechende Teile kongruenter Dreiecke sind kongruent

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