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Leitfaden für Lehrer: Regelmäßige Vielecke

Lerne, wann ein Vieleck regelmäßig ist, wie du Innenwinkel, Außenwinkel und Mittelpunktswinkel, Umfang und Flächeninhalt berechnest und welche regelmäßigen Vielecke eine Fläche lückenlos füllen.

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10 Fragen zu Polygone. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele
  • Entscheiden, ob ein Vieleck regelmäßig ist, indem man Seiten und Winkel prüft
  • Innenwinkel, Außenwinkel und Mittelpunktswinkel eines regelmäßigen Vielecks berechnen
  • Die Eckenzahl eines regelmäßigen Vielecks aus einem Innen- oder Außenwinkel bestimmen
  • Umfang und Flächeninhalt eines regelmäßigen Vielecks mit dem Inkreisradius berechnen
  • Begründen, warum unter den regelmäßigen Vielecken nur Dreiecke, Quadrate und Sechsecke die Ebene parkettieren
Voraussetzungen
  • • Namen von Vielecken nach der Seitenzahl (Einführung in Vielecke, Polygone klassifizieren)
  • • Die Innenwinkelsumme (n−2)⋅180°(n-2) \cdot 180° (Winkelsummenformel für Vielecke)
  • • Außenwinkel und ihre Summe von 360°360° (Außenwinkel von Vielecken)
  • • Flächeninhalt eines Dreiecks 12⋅g⋅h\frac{1}{2} \cdot g \cdot h und der Satz des Pythagoras
Diskussionsstarter
  • 1. Ist das Quadrat das einzige regelmäßige Viereck? Wie würdest du eine Freundin oder einen Freund davon überzeugen?
  • 2. Warum bauen Bienen wohl Sechsecke und keine Quadrate oder Dreiecke?
  • 3. Was passiert mit dem Innenwinkel, wenn ein regelmäßiges Vieleck immer mehr Seiten bekommt? Kann er jemals 180°180° erreichen?
  • 4. Warum ist es leichter, die Eckenzahl aus dem Außenwinkel zu bestimmen als aus dem Innenwinkel?
Häufige Missverständnisse

Gleich lange Seiten reichen für ein regelmäßiges Vieleck

Abhilfe: Drücke ein Quadrat aus 4 gleichen Stäbchen zu einer Raute zusammen: Die Seiten bleiben gleich, die Winkel ändern sich. Zeige dann ein Rechteck: gleiche Winkel, ungleiche Seiten. Regelmäßig braucht beides.

Inkreisradius und Umkreisradius sind gleich lang

Abhilfe: Zeichne beide in ein Sechseck: Der Umkreisradius endet in einer Ecke, der Inkreisradius in der Mitte einer Seite. Der Inkreisradius ist eine Kathete und der Umkreisradius die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, also ist der Umkreisradius immer länger.

Jedes regelmäßige Vieleck kann einen Boden parkettieren, wenn man es geschickt anordnet

Abhilfe: Lass die Klasse es mit Papierfünfecken versuchen. Rechne dann 360°108°≈3,33\frac{360°}{108°} \approx 3{,}33: Die Winkel um einen Punkt müssen genau 360°360° ergeben, also muss die Anzahl ganzzahlig sein.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

  • • Eine Tabelle mit n, Winkelsumme und Innenwinkel für n = 3 bis 6 schon begonnen vorgeben
  • • Mit Papiervielecken und Geodreieck Winkel messen, bevor Formeln verwendet werden
  • • Bei jeder Flächenaufgabe den Inkreisradius angeben

Für Schüler auf Niveau:

  • • n aus Innen- und Außenwinkeln bestimmen
  • • Flächen regelmäßiger Vielecke mit gegebenem Inkreisradius berechnen
  • • Mit Winkeln begründen, welche regelmäßigen Vielecke die Ebene parkettieren

Für fortgeschrittene Schüler:

  • • Den Inkreisradius eines Sechsecks oder Quadrats nur aus der Seitenlänge bestimmen
  • • Das Muster aus Achtecken und Quadraten untersuchen: Warum funktioniert 135°+135°+90°=360°135° + 135° + 90° = 360°?
  • • Zeigen, dass sich die Fläche eines regelmäßigen n-Ecks mit wachsendem n der Kreisfläche nähert
Standardausrichtung
  • 7.G.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.7.G.B.5)

    Eigenschaften von Nebenwinkeln und benachbarten Winkeln nutzen, um Gleichungen für einen unbekannten Winkel aufzustellen und zu lösen

  • 7.G.B.6 (CCSS.MATH.CONTENT.7.G.B.6)

    Sachaufgaben zum Flächeninhalt von Figuren lösen, die aus Dreiecken und Vielecken zusammengesetzt sind

  • HSG.CO.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.A.3)

    Die Drehungen und Spiegelungen beschreiben, die ein regelmäßiges Vieleck auf sich selbst abbilden

Lektionsressourcen
  • visualRegelmäßige Vielecke erkunden

    Verändere die Eckenzahl mit dem Schieberegler und beobachte, wie sich Mittelpunkts-, Innen- und Außenwinkel, Inkreisradius, Umfang und Fläche live ändern

  • activityParkettierungstest

    Die Schülerinnen und Schüler versuchen, ein Blatt mit Papierdreiecken, Quadraten, Fünfecken, Sechsecken und Achtecken auszulegen, und notieren, welche Lücken lassen

  • worksheetTabelle der regelmäßigen Vielecke

    Für n = 3 bis 12 eine Tabelle mit Innen-, Außen- und Mittelpunktswinkeln ausfüllen und nach Mustern suchen

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Ein regelmäßiges Vieleck hat alle Seiten gleich lang UND alle Winkel gleich groß. Beide Bedingungen sind nötig:
  • Eine Raute hat vier gleich lange Seiten, aber ihre Winkel sind nicht alle gleich (zum Beispiel 60°60° und 120°120°), also ist sie nicht regelmäßig.
  • Ein Rechteck hat vier gleich große Winkel (90°90°), aber seine Seiten sind nicht alle gleich lang, also ist es nicht regelmäßig.
  • Ein Quadrat hat beides, es ist ein regelmäßiges Viereck.
Jedes regelmäßige Vieleck hat einen Mittelpunkt MM, der von allen Ecken gleich weit entfernt ist. Die Strecken vom Mittelpunkt zu den Ecken zerlegen ein regelmäßiges nn-Eck in nn kongruente gleichschenklige Dreiecke.
**Winkel eines regelmäßigen nn-Ecks** (die Winkelsumme (n−2)⋅180°(n-2) \cdot 180° kennst du aus der Lektion zur Winkelsumme):
Innenwinkel=(n−2)⋅180°nAußenwinkel=360°nMittelpunktswinkel=360°n\text{Innenwinkel} = \frac{(n-2) \cdot 180°}{n} \qquad \text{Außenwinkel} = \frac{360°}{n} \qquad \text{Mittelpunktswinkel} = \frac{360°}{n}
Der Mittelpunktswinkel ist der Winkel am Mittelpunkt zwischen den Strecken zu zwei benachbarten Ecken. Bei einem regelmäßigen Vieleck ist er genauso groß wie der Außenwinkel.
Längen: Der Umkreisradius rr geht vom Mittelpunkt zu einer Ecke, der Inkreisradius aa (auch Apothem genannt) geht vom Mittelpunkt zur Mitte einer Seite und steht senkrecht auf ihr.
Umfang und Flächeninhalt (Seitenlänge ss):
u=n⋅sA=12⋅u⋅au = n \cdot s \qquad A = \frac{1}{2} \cdot u \cdot a
Parkettierung: Ein regelmäßiges Vieleck füllt eine Fläche allein nur dann lückenlos, wenn sein Innenwinkel ein Teiler von 360°360° ist. Das klappt bei genau drei: beim gleichseitigen Dreieck (60°60°), beim Quadrat (90°90°) und beim regelmäßigen Sechseck (120°120°).

Lösungsbeispiele

Entscheide, welche Figuren regelmäßige Vielecke sind: eine Raute mit Winkeln von 70°70° und 110°110°, ein Rechteck mit 3 cm mal 5 cm und ein gleichseitiges Dreieck.
1

Prüfe die Raute

Alle 4 Seiten sind gleich lang, aber die Winkel sind 70°70° und 110°110° → Winkel nicht gleich: nicht regelmäßig
2

Prüfe das Rechteck

Alle 4 Winkel sind 90°90°, aber die Seiten sind 3 cm und 5 cm lang → Seiten nicht gleich: nicht regelmäßig
3

Prüfe das gleichseitige Dreieck

Alle 3 Seiten sind gleich lang und alle 3 Winkel sind 60°60° → Regelmäßig

Häufige Fehler

Eine Raute regelmäßig nennen, weil alle Seiten gleich lang sind

Warum es falsch ist: Gleiche Seiten sind nur die halbe Definition. Eine Raute kann Winkel von 60°60° und 120°120° haben.

Richtig: Ein Vieleck ist nur dann regelmäßig, wenn alle Seiten UND alle Winkel gleich sind. Prüfe immer beides.

Das Teilen durch nn vergessen: (n−2)⋅180°(n-2) \cdot 180° als einen Innenwinkel angeben

Warum es falsch ist: (n−2)⋅180°(n-2) \cdot 180° ist die SUMME aller Innenwinkel, beim Sechseck 720°720°, viel zu groß für einen Winkel.

Richtig: Ein Innenwinkel des regelmäßigen nn-Ecks ist (n−2)⋅180°n\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}, beim Sechseck 720°6=120°\frac{720°}{6} = 120°.

Die Eckenzahl durch 360°360° geteilt durch den INNENWINKEL bestimmen

Warum es falsch ist: Bei einem Innenwinkel von 144°144° ergibt das 360144=2,5\frac{360}{144} = 2{,}5 Seiten, was unmöglich ist. Nur der Außenwinkel passt zu 360°n\frac{360°}{n}.

Richtig: Bestimme zuerst den Außenwinkel 180°−144°=36°180° - 144° = 36°, dann n=360°36°=10n = \frac{360°}{36°} = 10.

Die Seite oder den Umkreisradius statt des Inkreisradius in A=12uaA = \frac{1}{2} u a einsetzen

Warum es falsch ist: Der Umkreisradius geht zu einer Ecke und ist länger als der Inkreisradius. Nur der Inkreisradius steht senkrecht auf der Seite und ist damit die Höhe jedes Dreiecks.

Richtig: Nimm den Inkreisradius: den senkrechten Abstand vom Mittelpunkt zur Mitte einer Seite.

Warum es wichtig ist

Regelmäßige Vielecke sind die Formen, die man wählt, wenn alles gleichmäßig, stabil oder leicht wiederholbar sein soll:
  • Natur: Bienen bauen sechseckige Waben. Sechsecke füllen den Raum lückenlos und brauchen am wenigsten Wachs für die Wände.
  • Verkehrszeichen: Das Stoppschild ist ein regelmäßiges Achteck, so erkennen Autofahrer es sogar von hinten.
  • Böden und Wände: Fliesen sind Quadrate, Dreiecke oder Sechsecke, die einzigen regelmäßigen Vielecke, die einen Boden ohne Lücken bedecken.
  • Technik: Muttern und Schraubenköpfe sind regelmäßige Sechsecke, damit ein Schraubenschlüssel aus sechs Richtungen passt.
  • Gestaltung und Bau: Pavillons, Tische und Fenster haben die Form regelmäßiger Achtecke und Fünfecke; der Mittelpunktswinkel sagt dem Tischler, wie er jedes Teil zuschneiden muss.
Mit den Formeln dieser Lektion findest du jeden Winkel, den Umfang und den Flächeninhalt eines regelmäßigen Vielecks, wenn du nur die Eckenzahl und eine Länge kennst.

Anwendungen im echten Leben

Bienenwaben und Sechseckfliesen

Bienen und Fliesenhersteller nutzen regelmäßige Sechsecke, weil genau drei davon ohne Lücke um einen Punkt passen.

Beispiel:

Quadrate passen zu viert um einen Punkt (4⋅90°=360°4 \cdot 90° = 360°), gleichseitige Dreiecke zu sechst (6⋅60°=360°6 \cdot 60° = 360°).

1Probiere es selbst

Ein Fliesenleger will einen Badezimmerboden nur mit regelmäßigen Sechsecken auslegen.

Wie viele Sechsecke treffen sich an jedem Eckpunkt?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Teile den vollen Winkel um einen Punkt durch einen Innenwinkel:

Stoppschilder

Ein Stoppschild ist ein regelmäßiges Achteck. Schilderhersteller nutzen den Flächeninhalt, um zu wissen, wie viel Reflexfolie jedes Schild braucht.

Beispiel:

Ein regelmäßiges Achteck mit Seite 25 cm hat einen Inkreisradius von etwa 30,2 cm.

2Probiere es selbst

Ein Stoppschild ist ein regelmäßiges Achteck mit Seiten von 25 cm und einem Inkreisradius von 30,2 cm.

Wie viele Quadratzentimeter Reflexfolie bedecken das ganze Schild?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Nutze A=12⋅u⋅aA = \frac{1}{2} \cdot u \cdot a:

Der Boden eines Pavillons

Der Boden eines achteckigen Pavillons besteht aus 8 gleichen dreieckigen Holzteilen, die sich im Mittelpunkt treffen.

Beispiel:

Jedes Teil hat an seiner Spitze im Mittelpunkt den Mittelpunktswinkel 360°8=45°\frac{360°}{8} = 45°.

3Probiere es selbst

Ein Tischler schneidet die 8 gleichschenkligen Dreiecke für den Boden eines regelmäßigen achteckigen Pavillons zu.

In welchem Winkel muss er jede der beiden Basisecken eines Dreiecks schneiden?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Ziehe den Mittelpunktswinkel von 180°180° ab und teile den Rest gleichmäßig auf:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Ein regelmäßiges Vieleck hat alle Seiten gleich lang UND alle Winkel gleich groß; Raute und Rechteck sind nicht regelmäßig
  • 2Innenwinkel des regelmäßigen nn-Ecks: (n−2)⋅180°n\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}
  • 3Außenwinkel und Mittelpunktswinkel sind beide 360°n\frac{360°}{n}
  • 4Um nn aus einem Innenwinkel zu bestimmen, nimm zuerst den Außenwinkel 180°−Innenwinkel180° - \text{Innenwinkel}, dann n=360°Außenwinkeln = \frac{360°}{\text{Außenwinkel}}
  • 5Umfang u=n⋅su = n \cdot s und Flächeninhalt A=12⋅u⋅aA = \frac{1}{2} \cdot u \cdot a, wobei der Inkreisradius aa vom Mittelpunkt zur Mitte einer Seite geht
  • 6Nur gleichseitiges Dreieck, Quadrat und regelmäßiges Sechseck parkettieren eine Fläche allein, weil 60°60°, 90°90° und 120°120° Teiler von 360°360° sind

Häufig gestellte Fragen

Ist jedes Dreieck mit drei gleich langen Seiten regelmäßig?

Ja. Bei Dreiecken erzwingen gleiche Seiten gleiche Winkel, also hat jedes gleichseitige Dreieck drei Winkel von 60°60°. Ab vier Seiten gilt das nicht mehr: Eine Raute hat gleiche Seiten, kann aber ungleiche Winkel haben.

Warum sind Außenwinkel und Mittelpunktswinkel gleich groß?

Beide teilen die vollen 360°360° gleichmäßig auf nn Teile auf: Die Außenwinkel sind die nn Drehungen bei einem Rundgang um das Vieleck, die Mittelpunktswinkel sind die nn Stücke um den Mittelpunkt. Also sind beide 360°n\frac{360°}{n}.

Warum kann ein regelmäßiges Fünfeck keinen Boden parkettieren?

Sein Innenwinkel ist 108°108°. Drei davon ergeben 324°324° und lassen eine Lücke von 36°36°, vier ergäben 432°432° und würden sich überlappen. Da 360108\frac{360}{108} keine ganze Zahl ist, können Fünfecke nicht lückenlos zusammenpassen.

Wie viele Symmetrieachsen hat ein regelmäßiges Vieleck?

Ein regelmäßiges nn-Eck hat nn Symmetrieachsen, ein regelmäßiges Sechseck zum Beispiel 6. Die Lektion Symmetrie bei Vielecken behandelt diese Achsen und die Drehungen genauer.

Glossar

Regelmäßiges Vieleck
Ein Vieleck, bei dem alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß sind.
Mittelpunkt
Der Punkt im Inneren eines regelmäßigen Vielecks, der von allen Ecken gleich weit entfernt ist.
Mittelpunktswinkel
Der Winkel am Mittelpunkt zwischen den Strecken zu zwei benachbarten Ecken: 360°n\frac{360°}{n}.
Umkreisradius
Der Abstand vom Mittelpunkt eines regelmäßigen Vielecks zu einer Ecke.
Inkreisradius (Apothem)
Der senkrechte Abstand vom Mittelpunkt eines regelmäßigen Vielecks zur Mitte einer Seite.
Parkettierung
Ein Muster aus Figuren, das eine ebene Fläche ohne Lücken und ohne Überlappungen bedeckt.

Formelkarte

Innenwinkel

(n−2)⋅180°n\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}

Ein Winkel im Inneren eines regelmäßigen Vielecks mit $n$ Seiten

Außenwinkel und Mittelpunktswinkel

360°n\frac{360°}{n}

Die Drehung an jeder Ecke und der Winkel am Mittelpunkt für eine Seite

Eckenzahl

n=360°Außenwinkeln = \frac{360°}{\text{Außenwinkel}}

Außenwinkel $= 180° - $ Innenwinkel

Umfang

u=n⋅su = n \cdot s

Anzahl der Seiten mal Seitenlänge

Flächeninhalt

A=12⋅u⋅aA = \frac{1}{2} \cdot u \cdot a

Halber Umfang mal Inkreisradius $a$

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