Regelmäßige Vielecke

Lösung: Ein Quadrat

Nur das Quadrat hat 4 gleich lange Seiten und 4 gleich große Winkel von $90°$. Das Rechteck hat ungleiche Seiten, die Raute ungleiche Winkel, und ein rechtwinkliges Dreieck kann keine drei gleichen Winkel haben.

Lösung: 36

Außenwinkel $= \frac{360°}{10} = 36°$.

Lösung: 108

1. Wie groß ist die Innenwinkelsumme, $(5-2) \cdot 180°$? 540
2. Teile die Summe durch 5. Wie groß ist jeder Winkel? 108

Lösung: $120°$

$\frac{(6-2) \cdot 180°}{6} = \frac{720°}{6} = 120°$. $720°$ ist die Summe aller sechs Winkel, $60°$ ist der Außen- und Mittelpunktswinkel.

Lösung: 56

$u = 8 \cdot 7 = 56$ cm

Lösung: 140

1. Wie groß ist der Außenwinkel, $\frac{360°}{9}$? 40
2. Wie groß ist der Innenwinkel, $180° - 40°$? 140

Lösung: Regelmäßiges Sechseck

Der Innenwinkel des Sechsecks ist $120°$ und $3 \cdot 120° = 360°$. Fünfeck ($108°$), Achteck ($135°$) und Zehneck ($144°$) haben Winkel, die $360°$ nicht teilen.

Lösung: 150

$\frac{(12-2) \cdot 180°}{12} = \frac{1800°}{12} = 150°$ (oder $180° - \frac{360°}{12} = 180° - 30° = 150°$).

Lösung: 5

1. Wie groß ist der Mittelpunktswinkel eines regelmäßigen Sechsecks in Grad? 60
2. Jedes Dreieck ist gleichschenklig. Wie groß ist jeder Basiswinkel, $\frac{180° - 60°}{2}$? 60
3. Alle Winkel sind $60°$, also sind die Dreiecke gleichseitig. Wie lang ist der Umkreisradius (Mittelpunkt bis Ecke) in cm? 5

Lösung: $12$

$n = \frac{360°}{30°} = 12$: ein regelmäßiges Zwölfeck.

Lösung: 9

Außenwinkel $180° - 140° = 40°$, also $n = \frac{360°}{40°} = 9$.

Lösung: 15

1. Wie groß ist der Außenwinkel, $180° - 156°$? 24
2. Wie viele Seiten: $n = \frac{360°}{24°}$? 15

Lösung: 482,8

1. Wie groß ist der Umfang in cm? 80
2. Wie groß ist der Flächeninhalt in cm², $\frac{1}{2} \cdot 80 \cdot 12{,}07$? 482.8

Lösung: $2\sqrt{3} \approx 3{,}46$ cm

Jedes Dreieck ist gleichseitig mit Seite 4 cm. Seine Höhe teilt die Grundseite in 2 cm und 2 cm: $a = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46$ cm. 4 cm ist der Umkreisradius, nicht der Inkreisradius.

Lösung: 247.8

$A = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 8{,}26 = 30 \cdot 8{,}26$ = 247,8 cm²

Lösung: 166,32

1. Der Inkreisradius ist die Höhe eines Dreiecks: $\sqrt{8^2 - 4^2}$. Runde auf 2 Nachkommastellen (cm). 6.93
2. Fläche eines Dreiecks: $\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6{,}93$ (cm²)? 27.72
3. Fläche des Sechsecks: 6 Dreiecke zu je 27,72 cm² (cm²)? 166.32

Lösung: 90

1. Wie groß ist der Innenwinkel eines regelmäßigen Achtecks in Grad? 135
2. Wie viele ganze Achtecke passen ohne Überlappung um einen Punkt? 2
3. Wie viel Grad bleiben als Lücke, $360° - 2 \cdot 135°$? 90

Lösung: 10

1. Nenne den Außenwinkel $e$. Dann gilt $4e + e = 180°$. Wie groß ist $e$ in Grad? 36
2. Wie groß ist der Innenwinkel, $4 \cdot 36°$? 144
3. Wie viele Seiten: $n = \frac{360°}{36°}$? 10