Leitfaden für Lehrer: Logikgatter

Lerne, wie UND-, ODER-, NICHT-, XOR-, NAND- und NOR-Gatter aus Einsen und Nullen Entscheidungen machen und wie du den Ausgang einer kleinen Schaltung findest.

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10 Fragen zu Boolesche Logik. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Erklären, was ein Logikgatter ist und wofür die Eingänge und Ausgänge 1 und 0 stehen
Die Wahrheitstabellen der UND-, ODER-, NICHT-, XOR-, NAND- und NOR-Gatter wiedergeben
Den Ausgang einer Schaltung mit 2 oder 3 Gattern für gegebene Eingänge bestimmen
Den booleschen Ausdruck einer in Worten beschriebenen Schaltung aufstellen
Reale Anwendungen von Logikgattern beschreiben, etwa Alarmanlagen und den Halbaddierer

Voraussetzungen

• Die Operationen UND, ODER und NICHT und ihre Wahrheitstabellen (Die UND-Operation, Die ODER-Verknüpfung, Die NICHT-Verknüpfung)
• Wahrheitstabellen für 2 und 3 Variablen aufstellen (Wahrheitstabellen)
• Boolesche Ausdrücke mit Klammern auswerten (Zusammengesetzte boolesche Aussagen, Boolesche Ausdrücke)

Diskussionsstarter

1. Wo wird bei dir zu Hause eine Entscheidung mit UND getroffen (zwei Dinge müssen beide stimmen)? Wo mit ODER?
2. Ein Licht im Treppenhaus kann oben und unten geschaltet werden. Welches Gatter beschreibt das, und warum?
3. Warum könnte eine Fabrik lieber jeden Chip aus nur einer Gattersorte bauen?
4. Wie kann eine Maschine, die nur 1 und 0 kennt, Zahlen wie 25 + 17 addieren?

Häufige Missverständnisse

ODER bedeutet das eine oder das andere, aber nicht beides

Abhilfe: Im Alltag meint oder oft entweder oder. Stelle die ODER- und die XOR-Spalte nebeneinander und zeige auf die Zeile mit den Eingängen 1, 1. Nimm eine Klingel mit einem Knopf an der Haustür und einem an der Hintertür: Drücken beide gleichzeitig, klingelt es trotzdem (ODER).

$1 + 1 = 2$ gilt auch für Gatter

Abhilfe: Erinnere daran, dass der Ausgang eines Gatters eine einzige Leitung ist, die nur an oder aus sein kann. Schreibe $1 + 1 = 1$ (ODER) neben $1 + 1 = 10_2$ (binäre Addition mit dem Halbaddierer) und besprecht den Unterschied.

In einer Schaltung arbeitet jedes Gatter mit den ursprünglichen Eingängen

Abhilfe: Lass die Lernenden jede Leitung Gatter für Gatter mit ihrem Wert beschriften, wie bei einem Staffellauf, bei dem jeder Läufer den Stab nur vom vorherigen bekommt.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Nur mit UND, ODER und NICHT beginnen und das Bild eines Lichtschalters nutzen (an = 1, aus = 0)
• Eine gedruckte Gattertabelle zum Nachschlagen beim Auswerten von Schaltungen bereitstellen
• Schaltungen mit nur 2 Gattern verwenden, bei denen die Eingänge schon eingetragen sind

Für Schüler auf Niveau:

• Schaltungen mit 3 Gattern für mehrere Eingangskombinationen auswerten
• Boolesche Ausdrücke für in Worten beschriebene Schaltungen aufstellen und umgekehrt
• Die Tabelle des Halbaddierers aufstellen und das XOR- und das UND-Gatter erkennen

Für fortgeschrittene Schüler:

• Zeigen, wie NICHT, UND und ODER nur aus NAND-Gattern gebaut werden können
• Eine Mehrheitsschaltung für drei Eingänge entwerfen und ihre Zeilen mit Ausgang 1 zählen
• Den Volladdierer recherchieren und wie 4 davon zwei 4-Bit-Zahlen addieren

Standardausrichtung

CCSS.MATH.PRACTICE.MP4 (MP4)
Mit Mathematik modellieren
CCSS.MATH.PRACTICE.MP6 (MP6)
Auf Genauigkeit achten
CCSS.MATH.PRACTICE.MP7 (MP7)
Strukturen erkennen und nutzen

Lektionsressourcen

visualInteraktive Gattertabelle
Die Lernenden wechseln zwischen den sechs Gattern, lesen jede Wahrheitstabelle und sehen das Gattersymbol für UND, ODER, NICHT und XOR
activityMenschliche Schaltung
Die Lernenden spielen Gatter, halten Karten mit 1 oder 0 hoch und geben ihren Ausgang an die nächste Person in der Schaltung weiter
worksheetVerfolge die Schaltung
In Worten beschriebene Schaltungen mit 2 und 3 Gattern: Ausgang bestimmen und booleschen Ausdruck aufstellen

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Ein Logikgatter ist eine winzige elektronische Schaltung mit einem oder zwei Eingängen und einem Ausgang. Jeder Eingang und jeder Ausgang ist entweder 1 oder 0:

1 = Spannung an (hoch), das bedeutet wahr
0 = Spannung aus (niedrig), das bedeutet falsch

Jedes Gatter führt eine boolesche Operation aus. Gatter sind die Hardware-Version von UND, ODER und NICHT aus den früheren Lektionen.

Die Gatter mit zwei Eingängen (Eingänge

A

und

B

, die Zeilen beginnen mit

0, 0

$A$	$B$	UND	ODER	XOR	NAND	NOR
0	0	0	0	0	1	1
0	1	0	1	1	1	0
1	0	0	1	1	1	0
1	1	1	1	0	0	0

Das NICHT-Gatter (auch Inverter genannt) hat nur einen Eingang und kehrt ihn um: Eingang 0 ergibt Ausgang 1, Eingang 1 ergibt Ausgang 0.

So merkst du sie dir:

UND (AND): Ausgang 1 nur, wenn beide Eingänge 1 sind
ODER (OR): Ausgang 1, wenn mindestens ein Eingang 1 ist
XOR (exklusives ODER): Ausgang 1, wenn die Eingänge verschieden sind
NAND (NICHT UND): das Gegenteil von UND, Ausgang 0 nur, wenn beide Eingänge 1 sind
NOR (NICHT ODER): das Gegenteil von ODER, Ausgang 1 nur, wenn beide Eingänge 0 sind

Schreibweise: In der Technik schreibt man oft

A \cdot B

für UND,

A + B

für ODER und

\overline{A}

für NICHT. Das bedeutet genau dasselbe wie

A \land B

A \lor B

und

\neg A

. XOR schreibt man

A \oplus B

, NAND ist

\overline{A \cdot B}

und NOR ist

\overline{A + B}

. Vorsicht: Hier gilt

1 + 1 = 1

, denn

+

bedeutet ODER.

Eine Schaltung verbindet Gatter: Der Ausgang eines Gatters wird zum Eingang des nächsten. Um den Endausgang zu finden, gehst du von den Eingängen zum Ausgang, ein Gatter nach dem anderen.

Die interaktive Tabelle in dieser Lektion nennt die Eingänge

A

und

B

und schreibt 1 und 0. Sie zeigt das Symbol jedes Gatters, auch für NAND und NOR.

Lösungsbeispiele

Die Eingänge sind $A = 1$ und $B = 0$ . Bestimme den Ausgang eines UND-, ODER-, XOR-, NAND- und NOR-Gatters.

UND-Gatter

UND braucht zwei Einsen, aber $B = 0$ → UND: $0$

ODER-Gatter

ODER braucht mindestens eine 1, und $A = 1$ → ODER: $1$

XOR-Gatter

Die Eingänge $1$ und $0$ sind verschieden → XOR: $1$

NAND-Gatter

NAND ist das Gegenteil von UND: UND ergab $0$ , also umkehren → NAND: $1$

NOR-Gatter

NOR ist das Gegenteil von ODER: ODER ergab $1$ , also umkehren → NOR: $0$

Antwort: UND $= 0$ , ODER $= 1$ , XOR $= 1$ , NAND $= 1$ , NOR $= 0$ . NAND und NOR sind immer das Gegenteil von UND und ODER.

Häufige Fehler

Zu glauben, ein ODER-Gatter liefere $0$ , wenn beide Eingänge $1$ sind

Warum es falsch ist: Das ist das XOR-Gatter. ODER ist 1, wenn mindestens ein Eingang 1 ist, und dazu gehört auch der Fall, dass beide 1 sind.

Richtig: ODER: $1 \lor 1 = 1$ . XOR: $1 \oplus 1 = 0$ . Nur XOR verlangt, dass die Eingänge verschieden sind.

$A + B$ als gewöhnliche Addition lesen und $1 + 1 = 2$ schreiben

Warum es falsch ist: In der Gatterschreibweise bedeutet $+$ ODER, und der Ausgang eines Gatters kann nur 0 oder 1 sein.

Richtig: Bei Gattern gilt $1 + 1 = 1$ (ODER). Der Wert 2 tritt nur beim Addieren von Binärzahlen auf und wird dann als $10$ mit einer Übertragsziffer geschrieben.

NAND als NICHT A UND NICHT B behandeln, also als $\overline{A} \cdot \overline{B}$

Warum es falsch ist: NAND kehrt den Ausgang von UND um, nicht die Eingänge. Für $A = 1$ , $B = 0$ : NAND ergibt $\overline{1 \cdot 0} = 1$ , aber $\overline{1} \cdot \overline{0} = 0 \cdot 1 = 0$ .

Richtig: NAND $= \overline{A \cdot B}$ : zuerst UND, dann NICHT. Der Strich steht über dem ganzen Produkt.

Die ursprünglichen Eingänge in das letzte Gatter einer Schaltung einsetzen

Warum es falsch ist: In einer Schaltung bekommt jedes Gatter nur die Leitungen, die mit ihm verbunden sind. Das letzte Gatter bekommt meist die Ausgänge früherer Gatter, nicht A, B und C.

Richtig: Arbeite von den Eingängen zum Ausgang, schreibe den Ausgang jedes Gatters daneben und verwende diese Werte für das nächste Gatter.

Warum es wichtig ist

Jedes digitale Gerät, das du besitzt, ist aus Logikgattern gebaut:

Computerchips: Ein Prozessor enthält Milliarden von Transistoren, die zu Gattern verschaltet sind, und alles, was er tut (addieren, vergleichen, speichern), läuft auf UND, ODER und NICHT mit Einsen und Nullen hinaus
Zahlen addieren: Zwei Gatter, ein XOR und ein UND, reichen aus, um zwei Binärziffern zu addieren, und Ketten solcher Schaltungen addieren ganze Zahlen
Alarmanlagen und Sicherheitssysteme: Ein Alarm ertönt, wenn er scharf geschaltet ist UND eine Tür ODER ein Fenster offen ist
Autos und Maschinen: Eine Gurtwarnung leuchtet, wenn der Motor läuft UND der Gurt NICHT angelegt ist; eine Presse arbeitet nur, wenn beide Hände zwei Knöpfe drücken (UND)
Licht im Haus: Ein Licht, das von zwei Stellen geschaltet werden kann (Treppe, Flur), ist eine XOR-Schaltung

In den vorherigen Lektionen hast du boolesche Ausdrücke auf Papier geschrieben. Logikgatter sind dieselben Ausdrücke als Hardware gebaut. Wer eine Schaltung lesen kann, versteht also die Sprache der Computer.

Anwendungen im echten Leben

Alarmanlagen

Eine Alarmanlage ist eine kleine Logikschaltung: Sensoren liefern 1 oder 0, Gatter entscheiden, ob die Sirene eine 1 bekommt.

Beispiel:

Mit dem Schalter für scharf $A$ , dem Türsensor $D$ und dem Fenstersensor $W$ ertönt der Alarm, wenn $Y = A \land (D \lor W) = 1$ .

1Probiere es selbst

Eine Alarmanlage verwendet $Y = A \land (D \lor W)$ : $A = 1$ , wenn die Anlage scharf ist, $D = 1$ , wenn die Tür offen ist, $W = 1$ , wenn das Fenster offen ist.

Bei wie vielen aller möglichen Eingangskombinationen ertönt der Alarm?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Anzahl der Eingangskombinationen als Zweierpotenz:

Zahlen im Chip addieren

Jede Addition eines Computers ist aus Halbaddierern und Volladdierern aufgebaut, die aus Gattern bestehen.

Beispiel:

Ein Halbaddierer berechnet die Summenziffer $S = A \oplus B$ und die Übertragsziffer $C = A \land B$ zweier Binärziffern.

2Probiere es selbst

Ein Halbaddierer bekommt die Eingänge $A = 1$ und $B = 1$ . Er gibt $S = A \oplus B$ und $C = A \land B$ aus, und das Ergebnis wird als Binärzahl $CS$ gelesen.

Was sind S und C, und für welche gewöhnliche Zahl steht das Ergebnis?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Addition, die die Schaltung ausführt:

Chips aus NAND-Gattern bauen

Chiphersteller mögen NAND-Gatter, weil sich jedes andere Gatter allein aus NAND-Gattern bauen lässt.

Beispiel:

Verbinde beide Eingänge eines NAND-Gatters mit demselben Signal $A$ : Der Ausgang ist $\overline{A \cdot A} = \overline{A}$ , es arbeitet also als NICHT-Gatter.

3Probiere es selbst

Ein kleiner Chipbaustein enthält 4 NAND-Gatter. Ein NICHT-Gatter braucht 1 NAND-Gatter, ein UND-Gatter braucht 2 (ein NAND, gefolgt von einem NAND als NICHT). Eine Entwicklerin braucht 3 UND-Gatter und 2 NICHT-Gatter.

Wie viele NAND-Gatter und wie viele Chipbausteine braucht sie?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Anzahl der NAND-Gatter als eine Rechnung:

Wichtige Erkenntnisse

1Ein Logikgatter bekommt Eingänge, die 1 (Spannung an) oder 0 (Spannung aus) sind, und liefert einen Ausgang, ebenfalls 1 oder 0
2UND liefert 1 nur, wenn beide Eingänge 1 sind; ODER liefert 1, wenn mindestens ein Eingang 1 ist; NICHT kehrt seinen einzigen Eingang um
3XOR liefert 1, wenn die Eingänge verschieden sind; NAND und NOR sind das Gegenteil von UND und ODER
4Gatterschreibweise: $A \cdot B$ (UND), $A + B$ (ODER), $\overline{A}$ (NICHT), $A \oplus B$ (XOR), und hier gilt $1 + 1 = 1$
5Um den Ausgang einer Schaltung zu finden, gehst du von den Eingängen zum Ausgang und notierst den Ausgang jedes Gatters
6Benenne den Ausgang jedes Gatters als Ausdruck, dann erhältst du den booleschen Ausdruck der ganzen Schaltung

Häufig gestellte Fragen

Warum verwenden Gatter 1 und 0 statt wahr und falsch?

In einem Chip gibt es nur Spannungen. Eine hohe Spannung steht für 1 (wahr), eine niedrige für 0 (falsch). Nur zwei Stufen machen Schaltungen schnell und zuverlässig, denn auch ein etwas schwächeres Signal wird noch eindeutig als 1 erkannt.

Was ist der Unterschied zwischen ODER und XOR?

Sie unterscheiden sich nur in einer Zeile: wenn beide Eingänge 1 sind. ODER liefert

1

(mindestens einer ist an), XOR liefert

0

(die Eingänge sind nicht verschieden). XOR ist das Entweder-oder-aber-nicht-beides-Gatter.

Warum sind NAND-Gatter so beliebt?

Jedes andere Gatter lässt sich allein aus NAND-Gattern bauen. Zum Beispiel ist ein NAND mit verbundenen Eingängen ein NICHT-Gatter. So kann eine Fabrik Chips aus einer einzigen Gattersorte herstellen. Die Algebra dahinter siehst du in der Lektion Boolesche Algebra.

Kann ich Gatter mit gewöhnlicher Rechnung prüfen?

Ja, mit 0 und 1: UND ist

A \times B

, NICHT ist

1 - A

, ODER ist

A + B - A \times B

und XOR ist

A + B - 2 \times A \times B

. Zum Beispiel ist ODER für

1, 1

gleich

1 + 1 - 1 = 1

. Probiere es im Taschenrechner aus.

Glossar

Logikgatter: Eine elektronische Schaltung, die eine boolesche Operation mit Eingängen aus 1 und 0 ausführt
Eingang / Ausgang: Die Signale, die in ein Gatter hineingehen, und das einzige Signal, das herauskommt
Schaltung: Durch Leitungen verbundene Gatter, bei denen der Ausgang eines Gatters ein Eingang eines anderen ist
Inverter: Ein anderer Name für das NICHT-Gatter, das 1 in 0 und 0 in 1 umkehrt
XOR (exklusives ODER): Ein Gatter, dessen Ausgang 1 ist, wenn seine Eingänge verschieden sind, geschrieben $A \oplus B$
Halbaddierer: Eine Schaltung aus einem XOR- und einem UND-Gatter, die zwei Binärziffern addiert: $S = A \oplus B$ , $C = A \land B$

Formelkarte

UND

Y = A \cdot B = A \land B

1 nur, wenn beide Eingänge 1 sind

ODER

Y = A + B = A \lor B

1, wenn mindestens ein Eingang 1 ist

NICHT

Y = \overline{A} = \neg A

Kehrt den Eingang um

XOR

Y = A \oplus B

1, wenn die Eingänge verschieden sind

NAND

Y = \overline{A \cdot B}

Gegenteil von UND: 0 nur, wenn beide Eingänge 1 sind

NOR

Y = \overline{A + B}

Gegenteil von ODER: 1 nur, wenn beide Eingänge 0 sind

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

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Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Alarmanlagen

Zahlen im Chip addieren

Chips aus NAND-Gattern bauen

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

UND

ODER

NICHT

XOR

NAND

NOR

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Einführung in die Boolesche Logik

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Die UND-Operation

Die ODER-Verknüpfung