Kontraposition

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Wie lautet die Kontraposition von $p \to q$ ?
1. a) $\neg q \to \neg p$
2. b) $q \to p$
3. c) $\neg p \to \neg q$
4. d) $\neg p \to q$
Lösung: $\neg q \to \neg p$
Die Kontraposition vertauscht und verneint: $\neg q \to \neg p$ . Die Antwort $q \to p$ ist die Umkehrung, und $\neg p \to \neg q$ ist die Inversion.
2.
Regel: Wenn eine Zahl ein Vielfaches von $4$ ist, dann ist sie gerade. Die Kontraposition sagt: Wenn eine Zahl nicht gerade ist, dann ist sie kein Vielfaches von $4$ . Welche der Zahlen $12$ , $15$ , $20$ , $28$ kannst du allein mit der Kontraposition ausschließen?
Lösung: 15
$15$ ist die einzige ungerade Zahl in der Liste. Sie ist nicht gerade, also ist sie nach der Kontraposition kein Vielfaches von $4$ . Die anderen drei sind gerade, über sie sagt die Kontraposition nichts (tatsächlich sind $12$ , $20$ und $28$ alle Vielfache von $4$ ).
3.
Regel: Wenn eine Zahl durch $10$ teilbar ist, dann ist ihre letzte Ziffer $0$ . Entscheide mit der Kontraposition, ob $7345$ durch $10$ teilbar ist.
Lösung: 5
1. Wie lautet die letzte Ziffer von $7345$ ? 5
2. Die letzte Ziffer ist nicht $0$ , also ist $7345$ nach der Kontraposition nicht durch $10$ teilbar. Welcher Rest bleibt bei $7345 \div 10$ ? 5
4.
Welche Aussage ist die Kontraposition von "Wenn eine Zahl auf $5$ endet, dann ist sie durch $5$ teilbar"?
1. a)Wenn eine Zahl nicht durch $5$ teilbar ist, dann endet sie nicht auf $5$ .
2. b)Wenn eine Zahl durch $5$ teilbar ist, dann endet sie auf $5$ .
3. c)Wenn eine Zahl nicht auf $5$ endet, dann ist sie durch $5$ teilbar.
4. d)Wenn eine Zahl nicht auf $5$ endet, dann ist sie nicht durch $5$ teilbar.
Lösung: Wenn eine Zahl nicht durch $5$ teilbar ist, dann endet sie nicht auf $5$ .
Vertauschen und verneinen: "Wenn eine Zahl nicht durch $5$ teilbar ist, dann endet sie nicht auf $5$ ." Die erste Antwort ist die Umkehrung, die zweite die Inversion (falsch: $10$ endet nicht auf $5$ , ist aber durch $5$ teilbar).
5.
Eine Wenn-dann-Aussage ist wahr. Wie viele der drei anderen verwandten Aussagen (Umkehrung, Inversion, Kontraposition) sind außer der Aussage selbst garantiert auch wahr?
Lösung: 1
Nur die Kontraposition ist garantiert wahr, die Antwort ist also $1$ . Umkehrung und Inversion können wahr oder falsch sein; sie stimmen immer miteinander überein, aber nicht unbedingt mit der ursprünglichen Aussage.
6.
Aussage: Wenn $x = 3$ , dann $2x = 6$ . Ihre Kontraposition lautet: Wenn $2x \ne 6$ , dann $x \ne 3$ . Du weißt, dass $2x = 14$ gilt. Zeige, dass $x$ nicht $3$ ist, und bestimme $x$ .
Lösung: 7
1. Was ist $2 \times 3$ ? 6
2. $14 \ne 6$ , also ist nach der Kontraposition $x \ne 3$ . Löse $2x = 14$ : Wie groß ist $x$ ? 7
7.
Von einer Wenn-dann-Aussage $p \to q$ weiß man, dass sie wahr ist. Welche verwandte Aussage muss dann auch wahr sein?
1. a)Die Inversion $\neg p \to \neg q$
2. b)Die Kontraposition $\neg q \to \neg p$
3. c)Die Umkehrung $q \to p$
4. d)Keine davon
Lösung: Die Kontraposition $\neg q \to \neg p$
Die Kontraposition ist zur ursprünglichen Aussage logisch äquivalent, also muss sie wahr sein. Umkehrung und Inversion können falsch sein, zum Beispiel bei "Wenn eine Figur ein Quadrat ist, dann hat sie vier rechte Winkel".
8.
Schreibe $1$ für wahr und $0$ für falsch. Bestimme in der Zeile der Wahrheitstabelle mit $p = 1$ und $q = 0$ die Werte der Kontraposition und der ursprünglichen Aussage.
Lösung: 0
1. Welchen Wert hat $\neg q$ ? 1
2. Welchen Wert hat $\neg p$ ? 0
3. Welchen Wert hat $\neg q \to \neg p$ ? 0
4. Welchen Wert hat $p \to q$ ? 0
9.
Eine Wahrheitstabelle für $\neg q \to \neg p$ hat $4$ Zeilen. In wie vielen dieser Zeilen ist $\neg q \to \neg p$ wahr?
Lösung: 3
$\neg q \to \neg p$ ist nur falsch, wenn $\neg q$ wahr und $\neg p$ falsch ist, also wenn $p$ wahr und $q$ falsch ist. Das ist $1$ Zeile, also ist sie in $3$ Zeilen wahr, genau wie $p \to q$ .
10.
Schreibe $1$ für wahr und $0$ für falsch. In der Zeile mit $p = 0$ und $q = 1$ ist die ursprüngliche Aussage $p \to q$ gleich $1$ . Bestimme in dieser Zeile die Kontraposition und die Umkehrung.
Lösung: 0
1. Welchen Wert hat $\neg q$ ? 0
2. Welchen Wert hat $\neg p$ ? 1
3. Welchen Wert hat die Kontraposition $\neg q \to \neg p$ ? 1
4. Welchen Wert hat die Umkehrung $q \to p$ ? 0
11.
Welche Werte haben $p \to q$ und $\neg q \to \neg p$ in der Zeile der Wahrheitstabelle, in der $p$ wahr und $q$ falsch ist?
1. a)Beide sind falsch
2. b) $p \to q$ ist wahr, $\neg q \to \neg p$ ist falsch
3. c) $p \to q$ ist falsch, $\neg q \to \neg p$ ist wahr
4. d)Beide sind wahr
Lösung: Beide sind falsch
$p \to q$ geht von wahr nach falsch, ist also falsch. $\neg q$ ist wahr und $\neg p$ ist falsch, also geht auch $\neg q \to \neg p$ von wahr nach falsch und ist falsch. Beide sind falsch.
12.
Regel: Wenn eine Zahl ein Vielfaches von $6$ ist, dann ist sie ein Vielfaches von $3$ . Um mit der Kontraposition zu zeigen, dass $50$ kein Vielfaches von $6$ ist, prüfst du, dass $50$ kein Vielfaches von $3$ ist. Welcher Rest bleibt, wenn man $50$ durch $3$ teilt?
Lösung: 2
$50 = 3 \times 16 + 2$ , der Rest ist also $2$ . Da $50$ kein Vielfaches von $3$ ist, sagt uns die Kontraposition, dass es auch kein Vielfaches von $6$ ist.
13.
Regel: Wenn eine Zahl durch $3$ teilbar ist, dann ist ihre Quersumme durch $3$ teilbar. Entscheide mit der Kontraposition, ob $2471$ durch $3$ teilbar ist.
Lösung: 2
1. Wie groß ist die Quersumme von $2471$ ? 14
2. Welcher Rest bleibt, wenn man $14$ durch $3$ teilt? 2
3. Die Quersumme ist nicht durch $3$ teilbar, also ist $2471$ nicht durch $3$ teilbar. Welcher Rest bleibt bei $2471 \div 3$ ? 2
14.
Ursprüngliche Aussage: "Wenn $x = 4$ , dann $x^2 = 16$ ." Welche der vier verwandten Aussagen (ursprüngliche Aussage, Umkehrung, Inversion, Kontraposition) sind wahr?
1. a)Alle vier
2. b)Die ursprüngliche Aussage und die Kontraposition
3. c)Die Umkehrung und die Inversion
4. d)Die ursprüngliche Aussage und die Umkehrung
Lösung: Die ursprüngliche Aussage und die Kontraposition
Die ursprüngliche Aussage ist wahr, also ist die Kontraposition "Wenn $x^2 \ne 16$ , dann $x \ne 4$ " wahr. Die Umkehrung "Wenn $x^2 = 16$ , dann $x = 4$ " ist wegen $x = -4$ falsch, und ebenso die Inversion "Wenn $x \ne 4$ , dann $x^2 \ne 16$ ", mit demselben Gegenbeispiel.
15.
Die Aussage "Wenn $3x + 2 > 20$ , dann $x > 6$ " ist wahr. Ihre Kontraposition lautet "Wenn $x \le 6$ , dann $3x + 2 \le 20$ ." Prüfe die Kontraposition für $x = 6$ und $x = 5$ .
Lösung: 17
1. Bestimme den Grenzwert: Löse $3x + 2 = 20$ . Wie groß ist $x$ ? 6
2. Was ergibt $3x + 2$ für $x = 6$ ? 20
3. Was ergibt $3x + 2$ für $x = 5$ ? 17
16.
Die Kontraposition von "Wenn $n^2$ gerade ist, dann ist $n$ gerade" lautet "Wenn $n$ ungerade ist, dann ist $n^2$ ungerade." Prüfe sie für $n = 13$ : Schreibe $13^2$ in der Form $2m + 1$ . Wie groß ist $m$ ?
Lösung: 84
$13^2 = 169 = 2 \times 84 + 1$ , also $m = 84$ , und $169$ ist ungerade. Mit $n = 2k + 1$ und $k = 6$ liefert die allgemeine Formel ebenfalls $m = 2k^2 + 2k = 72 + 12 = 84$ .
17.
Um zu sehen, warum "Wenn $n^2$ gerade ist, dann ist $n$ gerade" gilt, prüfe die Kontraposition "Wenn $n$ ungerade ist, dann ist $n^2$ ungerade" für $n = 9$ mit der Form $n = 2k + 1$ .
Lösung: 40
1. Schreibe $9 = 2k + 1$ . Wie groß ist $k$ ? 4
2. Was ist $n^2$ für $n = 9$ ? 81
3. Schreibe $81 = 2m + 1$ . Wie groß ist $m$ ? 40
18.
Für ganze Zahlen $a, b \ge 0$ : "Wenn $a + b \ge 10$ , dann $a \ge 5$ oder $b \ge 5$ ." Die Kontraposition lautet "Wenn $a < 5$ und $b < 5$ , dann $a + b < 10$ ." Bestimme den größtmöglichen Wert von $a + b$ , wenn $a < 5$ und $b < 5$ gilt.
Lösung: 8
1. Welches ist die größte ganze Zahl $a$ mit $a < 5$ ? 4
2. Welches ist die größte ganze Zahl $b$ mit $b < 5$ ? 4
3. Wie groß ist der größtmögliche Wert von $a + b$ ? 8