Leitfaden für Lehrer: Kontraposition

Lerne, wie du die Kontraposition einer Wenn-dann-Aussage bildest, warum sie immer denselben Wahrheitswert wie die ursprüngliche Aussage hat und wie du damit über Zahlen schlussfolgerst.

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Für Lehrer

Lernziele

Die Kontraposition einer Wenn-dann-Aussage durch Vertauschen und Verneinen beider Teile bilden
Mit einer Wahrheitstabelle zeigen, dass eine Aussage und ihre Kontraposition logisch äquivalent sind
Ursprüngliche Aussage, Umkehrung, Inversion und Kontraposition nebeneinander aufschreiben und erkennen, welche Paare übereinstimmen
Aussagen korrekt verneinen, auch Ungleichungen und doppelte Verneinungen
Die Kontraposition nutzen, um über Zahlen zu schlussfolgern, etwa über Teilbarkeit und gerade oder ungerade Zahlen

Voraussetzungen

• Wenn-dann-Aussagen: Voraussetzung, Folgerung und wann eine Implikation wahr ist (Lektion Wenn-dann-Aussagen)
• Umkehrung und Inversion einer Wenn-dann-Aussage (Lektion Umkehrung und Inversion)
• Wahrheitstabellen und die Verneinung NICHT (Lektionen Wahrheitstabellen und Die NICHT-Verknüpfung)
• Teilbarkeitsregeln für 3, 9 und 10 sowie gerade und ungerade Zahlen

Diskussionsstarter

1. "Wenn du in Paris wohnst, dann wohnst du in Frankreich." Was kannst du über jemanden sagen, der nicht in Frankreich wohnt?
2. Warum bleibt die Bedeutung einer Aussage erhalten, wenn man vertauscht UND verneint, während nur eines von beiden sie verändern kann?
3. Findest du eine wahre Aussage, deren Umkehrung auch wahr ist? Widerspricht das der Regel, dass die Umkehrung nicht äquivalent ist?
4. Warum könnte eine Mathematikerin lieber mit der Kontraposition arbeiten als mit der ursprünglichen Aussage?

Häufige Missverständnisse

Kontraposition und Inversion sind dasselbe, weil beide "nicht" verwenden

Abhilfe: Stelle beide mit demselben Beispiel (Quadrate und Rechtecke) nebeneinander und lass die Lernenden ein Gegenbeispiel zur Inversion finden. Betone, dass die Reihenfolge der Teile wichtig ist.

Eine Aussage, die für viele Beispiele stimmt, hat eine wahre Umkehrung

Abhilfe: Nutze Zahlenbeispiele wie "Wenn $x = 4$ , dann $x^2 = 16$ " und lass nach einem Gegenbeispiel zur Umkehrung suchen. Ein einziges Gegenbeispiel genügt, um sie zu widerlegen.

Die Verneinung von "größer als" ist "kleiner als"

Abhilfe: Zeichne einen Zahlenstrahl und markiere $x > 5$ . Frage, was unmarkiert bleibt: alles bis einschließlich $5$ , also ist die Verneinung $x \le 5$ .

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Mit Alltagsaussagen (Regen und nasse Straßen) beginnen, bevor Symbole verwendet werden
• Eine Vorlage geben: Wenn nicht ___, dann nicht ___, und zuerst die Folgerung eintragen lassen
• Voraussetzung und Folgerung farbig markieren, damit das Vertauschen sichtbar wird

Für Schüler auf Niveau:

• Alle vier verwandten Aussagen zu Teilbarkeitsregeln aufschreiben und entscheiden, welche wahr sind
• Wahrheitstabellen für p impliziert q, die Umkehrung, die Inversion und die Kontraposition ausfüllen
• Mit Kontrapositionen Zahlen in Teilbarkeitsrätseln ausschließen

Für fortgeschrittene Schüler:

• Mit der Kontraposition erklären, warum aus n Quadrat gerade folgt, dass n gerade ist
• Kontrapositionen von Aussagen mit und und oder mithilfe der Gesetze von De Morgan bilden
• Die Kontraposition und den Widerspruchsbeweis an derselben Aussage vergleichen

Standardausrichtung

MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Tragfähige Argumente aufbauen und die Argumentation anderer kritisch prüfen
MP6 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP6)
Auf Genauigkeit achten
HSG.CO.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.C.9)
Sätze über Geraden und Winkel beweisen (diese Beweise bauen auf Wenn-dann-Aussagen auf)

Lektionsressourcen

visualInteraktive Wahrheitstabelle
Die Lernenden erkunden die Tabellen für NICHT und WENN-DANN und bilden damit die Spalte für nicht q impliziert nicht p, die sie mit p impliziert q vergleichen
activityKartensortierung: Vier Aussagen
Gruppen sortieren Karten in Aussage, Umkehrung, Inversion und Kontraposition und markieren jede als wahr oder falsch
worksheetZahlendetektiv mit Kontraposition
Mit Kontrapositionen von Teilbarkeitsregeln Zahlen ausschließen, ohne zu dividieren

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Die Kontraposition einer Wenn-dann-Aussage "Wenn

p

, dann

q

" (

p \to q

) ist die Aussage "Wenn nicht

q

, dann nicht

p

\neg q \to \neg p

Um sie zu bilden, machst du zwei Dinge: Du vertauschst Voraussetzung und Folgerung, und du verneinst beide.

Wichtige Tatsache: Eine Aussage und ihre Kontraposition sind logisch äquivalent. Sie sind immer beide wahr oder beide falsch. Die Wahrheitstabelle zeigt es Zeile für Zeile (W = wahr, F = falsch):

\begin{array}{c|c|c|c|c|c} p & q & \neg p & \neg q & p \to q & \neg q \to \neg p \\ \hline W & W & F & F & W & W \\ W & F & F & W & F & F \\ F & W & W & F & W & W \\ F & F & W & W & W & W \end{array}

Die letzten beiden Spalten sind gleich, also schreiben wir

p \to q \equiv \neg q \to \neg p

. (Die interaktive Tabelle in dieser Lektion prüft das für dich: Ihre letzte Spalte,

(p \to q) \leftrightarrow (\neg q \to \neg p)

, ist in jeder Zeile W.)

Die vier verwandten Aussagen zu

p \to q

Ursprüngliche Aussage: $p \to q$
Umkehrung: $q \to p$ (nur vertauschen)
Inversion: $\neg p \to \neg q$ (nur verneinen)
Kontraposition: $\neg q \to \neg p$ (vertauschen und verneinen)

Die ursprüngliche Aussage und die Kontraposition stimmen immer überein. Auch die Umkehrung und die Inversion stimmen immer miteinander überein, denn die Inversion ist die Kontraposition der Umkehrung.

Lösungsbeispiele

Schreibe die Kontraposition von: "Wenn eine Zahl durch $10$ teilbar ist, dann endet sie auf $0$ ."

Bestimme die Voraussetzung $p$ und die Folgerung $q$

$p$ : Eine Zahl ist durch $10$ teilbar. $q$ : Sie endet auf $0$ . → Zwei Teile gefunden

Verneine beide Teile

$\neg p$ : Die Zahl ist nicht durch $10$ teilbar. $\neg q$ : Sie endet nicht auf $0$ . → Beide Teile verneint

Vertausche die Reihenfolge und schreibe $\neg q \to \neg p$

Setze die verneinte Folgerung nach vorne und die verneinte Voraussetzung nach hinten. → Wenn eine Zahl nicht auf $0$ endet, dann ist sie nicht durch $10$ teilbar.

Antwort: Wenn eine Zahl nicht auf $0$ endet, dann ist sie nicht durch $10$ teilbar. Wie die ursprüngliche Aussage ist auch diese wahr: Zum Beispiel endet $73$ nicht auf $0$ , und $73 \div 10 = 7{,}3$ ist keine ganze Zahl.

Häufige Fehler

Nur die Teile vertauschen und $q \to p$ für die Kontraposition halten

Warum es falsch ist: Vertauschen ohne Verneinen ergibt die Umkehrung, und die kann falsch sein, obwohl die ursprüngliche Aussage wahr ist.

Richtig: Vertausche und verneine beide Teile: Die Kontraposition von $p \to q$ ist $\neg q \to \neg p$ .

" $x > 5$ " als " $x < 5$ " verneinen

Warum es falsch ist: Dabei geht der Fall $x = 5$ verloren. Jede Zahl ist entweder größer als $5$ oder nicht größer als $5$ , und "nicht größer" schließt die $5$ selbst ein.

Richtig: Die Verneinung von $x > 5$ ist $x \le 5$ , und die Verneinung von $x \ge 5$ ist $x < 5$ .

Annehmen, dass die Umkehrung einer wahren Aussage auch wahr ist

Warum es falsch ist: "Wenn $x = 4$ , dann $x^2 = 16$ " ist wahr, aber "Wenn $x^2 = 16$ , dann $x = 4$ " ist falsch, denn auch $x = -4$ passt.

Richtig: Nur die Kontraposition hat garantiert denselben Wahrheitswert wie die ursprüngliche Aussage. Die Umkehrung musst du extra prüfen.

Sich in doppelten Verneinungen verlieren

Warum es falsch ist: Bei "Wenn es nicht regnet, dann gehe ich zu Fuß zur Schule" schreiben manche "Wenn ich nicht zu Fuß gehe, dann regnet es nicht nicht" oder lassen aus Versehen eine Verneinung weg.

Richtig: Die Verneinung von "es regnet nicht" ist "es regnet". Die Kontraposition lautet: "Wenn ich nicht zu Fuß zur Schule gehe, dann regnet es."

Warum es wichtig ist

Die Kontraposition gibt dir eine zweite Tür in dieselbe Aussage, und manchmal lässt sich diese Tür viel leichter öffnen:

Zahlen: Um zu zeigen, dass $2750$ nicht durch $6$ teilbar ist, genügt es zu sehen, dass die Zahl nicht durch $3$ teilbar ist
Kontrolle: Wenn eine richtige Lösung eine ganze Zahl sein muss und du $4{,}5$ erhältst, weißt du, dass etwas schiefgelaufen ist
Computerprogramme: "Wenn das Passwort stimmt, öffnet sich die Tür." Die Tür blieb zu, also war das Passwort falsch
Beweise: Später beweist du Aussagen wie "Wenn $n^2$ gerade ist, dann ist $n$ gerade", indem du stattdessen die Kontraposition beweist

Wer weiß, welche verwandten Aussagen übereinstimmen, schützt sich auch vor einem sehr häufigen Fehler: anzunehmen, dass die Umkehrung einer wahren Aussage auch wahr sein muss.

Anwendungen im echten Leben

Teilbarkeitsproben und Prüfziffern

Viele Codes und schnelle Kopfrechenproben beruhen auf Teilbarkeitsregeln, und die Kontraposition erlaubt es, eine Zahl ohne Division auszusortieren.

Beispiel:

Regel: Wenn eine Zahl durch $9$ teilbar ist, dann ist ihre Quersumme durch $9$ teilbar. Die Quersumme von $5812$ ist $16$ , also kann $5812$ nicht durch $9$ teilbar sein.

1Probiere es selbst

Regel: Wenn eine Zahl durch $9$ teilbar ist, dann ist ihre Quersumme durch $9$ teilbar. Ein Angestellter prüft die Codenummer $4372$ .

Ist $4372$ durch $9$ teilbar?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Quersumme von $4372$ als Addition:

Regeln für kostenlosen Versand

Onlineshops haben oft Regeln wie "Wenn deine Bestellung 50 € oder mehr kostet, ist der Versand kostenlos." Die Kontraposition sagt dir, was Versandkosten auf deiner Rechnung bedeuten.

Beispiel:

Kontraposition: Wenn du Versandkosten bezahlt hast, dann lag deine Bestellung unter 50 €. Eine Rechnung mit Versandkosten beweist, dass die Bestellung unter der Grenze lag.

2Probiere es selbst

Regel: Wenn eine Bestellung insgesamt 50 € oder mehr kostet, ist der Versand kostenlos. Anna hat Versandkosten bezahlt. In ihrem Warenkorb lagen ein Buch für 18 € und eine Lampe für 27 €.

Wie hoch war ihre Bestellsumme, und wie viel hätte ihr für kostenlosen Versand noch gefehlt?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Bestellsumme als Addition:

Tabellen im Sport lesen

Sportfans nutzen die Kontraposition, um anhand der Punktetabelle etwas auszuschließen, ohne jedes Spiel zu sehen.

Beispiel:

In einer Liga mit $3$ Punkten für einen Sieg, $1$ für ein Unentschieden und $0$ für eine Niederlage gilt: Wenn eine Mannschaft alle $5$ Spiele gewonnen hat, hat sie $15$ Punkte. Eine Mannschaft mit weniger als $15$ Punkten hat nicht jedes Spiel gewonnen.

3Probiere es selbst

Regel: Wenn eine Mannschaft alle $5$ Spiele gewinnt, dann hat sie $15$ Punkte ( $3$ pro Sieg, $1$ pro Unentschieden, $0$ pro Niederlage). Team Blau hat nach $5$ Spielen $13$ Punkte.

Hat Team Blau alle Spiele gewonnen, und wie viele Spiele kann es höchstens gewonnen haben?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Punkte für $5$ Siege als Multiplikation:

Wichtige Erkenntnisse

1Die Kontraposition von $p \to q$ ist $\neg q \to \neg p$ : Vertausche die beiden Teile und verneine beide
2Eine Aussage und ihre Kontraposition sind logisch äquivalent: Sie sind immer beide wahr oder beide falsch
3Die Wahrheitstabelle zeigt es: $p \to q$ und $\neg q \to \neg p$ sind nur in der Zeile $p$ wahr, $q$ falsch beide falsch
4Die Umkehrung $q \to p$ und die Inversion $\neg p \to \neg q$ stimmen miteinander überein, aber nicht unbedingt mit der ursprünglichen Aussage
5Verneine sorgfältig: Das Gegenteil von $x > 5$ ist $x \le 5$ , und das Gegenteil von ungerade ist gerade
6Wenn eine Aussage schwer direkt zu prüfen ist, prüfe stattdessen ihre Kontraposition, zum Beispiel "wenn $n$ ungerade ist, dann ist $n^2$ ungerade"

Häufig gestellte Fragen

Warum ist die Kontraposition immer wahr, wenn die ursprüngliche Aussage wahr ist?

Die Aussage

p \to q

sagt: Immer wenn

p

eintritt, tritt auch

q

ein. Wenn also

q

nicht eingetreten ist, kann auch

p

nicht eingetreten sein, sonst wäre

q

gefolgt. Genau das ist

\neg q \to \neg p

. Die Wahrheitstabelle bestätigt es in allen vier Fällen.

Was ist der Unterschied zwischen der Inversion und der Kontraposition?

Beide verneinen die zwei Teile, aber die Inversion behält die Reihenfolge bei (

\neg p \to \neg q

), während die Kontraposition sie zusätzlich vertauscht (

\neg q \to \neg p

). Die Kontraposition ist zur ursprünglichen Aussage äquivalent, die Inversion zur Umkehrung.

Wenn die ursprüngliche Aussage falsch ist, ist dann auch die Kontraposition falsch?

Ja. Die beiden sind äquivalent, also haben sie immer denselben Wahrheitswert. "Wenn eine Zahl gerade ist, dann ist sie durch

4

teilbar" ist falsch (

6

ist ein Gegenbeispiel), und ebenso "Wenn eine Zahl nicht durch

4

teilbar ist, dann ist sie nicht gerade", mit demselben Gegenbeispiel

6

Ist die Kontraposition dasselbe wie ein Widerspruchsbeweis?

Nein. Mit der Kontraposition beweist du direkt

\neg q \to \neg p

statt

p \to q

. Ein Widerspruchsbeweis nimmt an, dass die ganze Aussage falsch ist, und kommt zu einem unmöglichen Ergebnis. Beide Methoden kommen im Thema Beweise vor.

Glossar

Kontraposition: Die Aussage $\neg q \to \neg p$ , die aus $p \to q$ durch Vertauschen und Verneinen beider Teile entsteht
Umkehrung: Die Aussage $q \to p$ , die durch Vertauschen von Voraussetzung und Folgerung entsteht
Inversion: Die Aussage $\neg p \to \neg q$ , die durch Verneinen von Voraussetzung und Folgerung ohne Vertauschen entsteht
Verneinung (Negation): Das Gegenteil einer Aussage, geschrieben $\neg p$ ; sie ist genau dann wahr, wenn $p$ falsch ist
Logisch äquivalent: Zwei Aussagen, die in jeder Zeile einer Wahrheitstabelle denselben Wahrheitswert haben, geschrieben mit $\equiv$

Formelkarte

Kontraposition

p \to q \equiv \neg q \to \neg p

Beide Teile vertauschen und verneinen; immer äquivalent zur ursprünglichen Aussage

Umkehrung und Inversion

q \to p \equiv \neg p \to \neg q

Zueinander äquivalent, aber nicht unbedingt zur ursprünglichen Aussage

Ungleichungen verneinen

\neg(x > a) \iff x \le a

Die Verneinung von "größer als" ist "kleiner oder gleich"

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Teilbarkeitsproben und Prüfziffern

Regeln für kostenlosen Versand

Tabellen im Sport lesen

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Kontraposition

Umkehrung und Inversion

Ungleichungen verneinen

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