Häufige Fehlschlüsse

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Argument: Wenn es regnet, ist der Boden nass. Der Boden ist nass. Also hat es geregnet. Welcher Fehlschluss ist das?
1. a)Zirkelschluss
2. b)Verneinung des Antezedens
3. c)Strohmann-Argument
4. d)Bejahung des Konsequens
Lösung: Bejahung des Konsequens
Der Dann-Teil (das Konsequens, der Boden ist nass) ist gegeben, und das Argument folgert den Wenn-Teil. Das ist die Bejahung des Konsequens. Der Boden könnte wegen eines Rasensprengers nass sein.
2.
Eine Werbung sagt: 4 von 5 Nutzern haben ihre Noten verbessert! Wie viel Prozent sind 4 von 5?
Lösung: 80
$\frac{4}{5} \times 100 = 80$ , die Werbung behauptet also $80\,\%$ . Bevor du ihr glaubst, frag, wie viele Nutzer gefragt wurden: Wenn es nur 5 waren, ist es eine voreilige Verallgemeinerung.
3.
Argument: Wenn $x = 4$ , dann ist $x^2 = 16$ . Wir wissen, dass $x^2 = 16$ ist. Also ist $x = 4$ . Finde ein Gegenbeispiel.
Lösung: -4
1. Was ist $4^2$ ? 16
2. Welche andere Zahl hat ebenfalls das Quadrat 16? -4
3. Ist das Argument gültig? Gib 1 für gültig oder 0 für ungültig ein. 0
4.
Maya zeigt, dass $x = 5$ die Gleichung $2x + 3 = 13$ löst. Leo antwortet: Hör nicht auf sie, sie ist in der letzten Arbeit durchgefallen. Welchen Fehlschluss benutzt Leo?
1. a)Dammbruchargument
2. b)Falsches Dilemma
3. c)Autoritätsargument
4. d)Ad-hominem-Argument
Lösung: Ad-hominem-Argument
Leo greift Maya an statt ihrer Lösung: ein Ad-hominem-Argument. Die Lösung lässt sich leicht prüfen: $2 \times 5 + 3 = 13$ , sie hat also recht.
5.
Nachdem Tom 3, 5 und 7 geprüft hat, behauptet er: Jede ungerade Zahl größer als 1 ist eine Primzahl. Welches ist die kleinste ungerade Zahl größer als 1, die ihn widerlegt?
Lösung: 9
$9 = 3 \times 3$ ist ungerade, aber keine Primzahl. Drei Fälle waren eine voreilige Verallgemeinerung, und gleich die nächste ungerade Zahl ist ein Gegenbeispiel.
6.
Argument: Jede ganze Zahl ist entweder positiv oder negativ. Finde die Möglichkeit, die dieses falsche Dilemma weglässt.
Lösung: 0
1. Welche ganze Zahl ist weder positiv noch negativ? 0
2. Wie viele ganze Zahlen gibt es von $-3$ bis $3$ , beide eingeschlossen? 7
3. Wie viele davon sind positiv oder negativ? 6
7.
Ana: Wir sollten unser Ergebnis mit einer zweiten Methode prüfen. Ben: Du meinst also, man kann keiner Rechnung jemals trauen? Das ist lächerlich. Welchen Fehlschluss benutzt Ben?
1. a)Autoritätsargument
2. b)Strohmann-Argument
3. c)Verneinung des Antezedens
4. d)Voreilige Verallgemeinerung
Lösung: Strohmann-Argument
Ana hat nur eine zweite Kontrolle vorgeschlagen. Ben ersetzt ihre Aussage durch eine viel extremere (keiner Rechnung jemals trauen) und greift diese an: ein Strohmann-Argument.
8.
Eine Schule hat 500 Schülerinnen und Schüler, 450 davon nutzen die App StudyFast. 60 haben in Mathe eine Eins bekommen, 54 davon nutzen die App. Eine Werbung sagt: 90 % der Einser-Schüler nutzen StudyFast, also sorgt die App für Einsen! Wie viel Prozent der App-Nutzer haben eine Eins bekommen?
Lösung: 12
$\frac{54}{450} \times 100 = 12$ . Von den 50 Schülern ohne App haben $6$ eine Eins: $\frac{6}{50} \times 100 = 12$ , also genauso viel. Die 90 % zeigen nur, dass 90 % aller Schüler die App nutzen. Die Werbung ignoriert die Basisrate.
9.
Argument: Wenn eine Zahl ein Vielfaches von 10 ist, dann ist sie ein Vielfaches von 5. 15 ist kein Vielfaches von 10. Also ist 15 kein Vielfaches von 5. Zeige, dass das Argument scheitert.
Lösung: 5
1. Welchen Rest lässt 15 bei Division durch 10? 5
2. Was ist $15 \div 5$ ? 3
3. Wie viele Zahlen von 1 bis 50 sind Vielfache von 5, aber keine Vielfachen von 10? 5
10.
Behauptung: Diese Formel ist richtig, weil sie immer die richtigen Ergebnisse liefert, und wir wissen, dass die Ergebnisse richtig sind, weil sie aus dieser Formel stammen. Welcher Fehlschluss ist das?
1. a)Korrelation mit Kausalität verwechseln
2. b)Zirkelschluss
3. c)Ad-hominem-Argument
4. d)Dammbruchargument
Lösung: Zirkelschluss
Die Formel wird durch die Ergebnisse begründet und die Ergebnisse durch die Formel. Die Schlussfolgerung steckt schon in den Prämissen: ein Zirkelschluss. Eine unabhängige Kontrolle, etwa ein bekannter Fall, würde den Kreis durchbrechen.
11.
Regel: Wenn eine Zahl durch 6 teilbar ist, dann ist sie gerade. Jemand bejaht das Konsequens und hält jede gerade Zahl für durch 6 teilbar. Wie viele gerade Zahlen von 1 bis 20 sind Gegenbeispiele (gerade, aber nicht durch 6 teilbar)?
Lösung: 7
Von 1 bis 20 gibt es 10 gerade Zahlen. Nur 6, 12 und 18 sind durch 6 teilbar, also sind $10 - 3 = 7$ gerade Zahlen Gegenbeispiele: 2, 4, 8, 10, 14, 16 und 20.
12.
In einer Klasse mit 40 Lernenden spielen 25 ein Instrument, 20 davon haben in Mathe mehr als 80 Punkte. Von den 15, die kein Instrument spielen, haben 6 mehr als 80 Punkte. Behauptung: Ein Instrument zu spielen macht besser in Mathe. Vergleiche die beiden Gruppen.
Lösung: 40
1. Wie viel Prozent der Instrumentalisten haben mehr als 80 Punkte? 80
2. Wie viel Prozent der anderen haben mehr als 80 Punkte? 40
3. Wie viele Prozentpunkte beträgt der Unterschied zwischen den Gruppen? 40
13.
Ein Dammbruchargument: Wenn du eine Hausaufgabe auslässt, kommst du in Rückstand, fällst dann im nächsten Test durch und dann im ganzen Schuljahr. Angenommen, jeder dieser drei Schritte passiert unabhängig mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}5$ . Wie groß ist die Chance in Prozent, dass alle drei passieren?
Lösung: 12.5
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten zwei Schritte beide passieren? 0.25
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Schritte passieren? 0.125
3. Schreibe diese Wahrscheinlichkeit in Prozent. 12.5
14.
Argument: Wenn eine Zahl auf 0 endet, dann ist sie durch 5 teilbar. 35 ist durch 5 teilbar. Also endet 35 auf 0. Prüfe das Argument.
Lösung: 10
1. Was ist $35 \div 5$ ? 7
2. Was ist die letzte Ziffer von 35? 5
3. Wie viele Zahlen von 1 bis 100 sind durch 5 teilbar, enden aber nicht auf 0? 10
15.
Argument: Wenn eine Zahl durch 9 teilbar ist, dann ist sie durch 3 teilbar. 21 ist nicht durch 9 teilbar. Also ist 21 nicht durch 3 teilbar. Welche Aussage ist richtig?
1. a)Das Argument bejaht das Konsequens, aber seine Schlussfolgerung ist wahr
2. b)Das Argument ist gültig, weil 21 nicht durch 9 teilbar ist
3. c)Das Argument ist gültig, weil es ein Modus tollens ist
4. d)Das Argument verneint das Antezedens, und 21 ist ein Gegenbeispiel, weil $21 \div 3 = 7$
Lösung: Das Argument verneint das Antezedens, und 21 ist ein Gegenbeispiel, weil $21 \div 3 = 7$
Die Prämisse verneint den Wenn-Teil ( $\neg p$ ) und folgert $\neg q$ : Verneinung des Antezedens, eine ungültige Form. 21 selbst widerlegt es: $21 \div 9$ ist keine ganze Zahl, aber $21 \div 3 = 7$ . Der Modus tollens bräuchte nicht durch 3 teilbar als Prämisse.
16.
Eine Schülerin prüft $n^2 - n + 11$ für $n = 1$ bis $10$ und erhält nur Primzahlen: 11, 13, 17, 23, 31, 41, 53, 67, 83, 101. Sie behauptet, das Ergebnis sei immer eine Primzahl. Welchen Wert hat $n^2 - n + 11$ für $n = 11$ ?
Lösung: 121
$11^2 - 11 + 11 = 121 = 11 \times 11$ , und das ist keine Primzahl. Auch zehn Fälle hintereinander waren eine voreilige Verallgemeinerung: Ein Gegenbeispiel widerlegt die Behauptung.
17.
Eine Schlagzeile lautet: Risiko verdoppelt sich! Eine Nebenwirkung steigt von 1 von 10000 Personen auf 2 von 10000 Personen. Finde heraus, wie groß die Veränderung wirklich ist.
Lösung: 0.01
1. Wie viele zusätzliche Fälle gibt es pro 10000 Personen? 1
2. Um wie viel Prozent ist das Risiko im Vergleich zum alten Risiko gestiegen? 100
3. Wie hoch ist das neue Risiko in Prozent? 0.02
4. Um wie viele Prozentpunkte ist das Risiko gestiegen? 0.01
18.
Eine Krankheit betrifft 20 von 1000 Personen. Ein Test ist bei 18 der 20 Kranken positiv und irrtümlich auch bei 42 der 980 Gesunden. Behauptung: Der Test erkennt 90 % der Kranken, also bedeutet ein positives Ergebnis eine Chance von 90 %, krank zu sein. Wie groß ist die echte Chance in Prozent?
Lösung: 30
1. Wie viel Prozent der Kranken erkennt der Test? 90
2. Wie viele Personen haben insgesamt einen positiven Test? 60
3. Wie viel Prozent der positiv Getesteten sind wirklich krank? 30