Was ist der Unterschied zwischen einem formalen und einem informellen Fehlschluss?

Ein formaler Fehlschluss ist wegen seiner Struktur falsch, egal um welches Thema es geht: Die Bejahung des Konsequens ist bei Zahlen, beim Wetter und überall sonst ungültig. Ein informeller Fehlschluss ist wegen seines Inhalts falsch, zum Beispiel wegen einer fehlenden Möglichkeit oder eines Angriffs auf eine Person.

Wie viele Fälle muss ich prüfen, um eine Regel zu beweisen?

Für eine Regel über unendlich viele Zahlen reicht keine Anzahl von Fällen. $2^n - 1$ ist für die Primzahlen $n = 2, 3, 5, 7$ eine Primzahl und scheitert trotzdem bei $n = 11$. Beispiele helfen dir beim Vermuten, erst ein Beweis macht es sicher.

Wie unterscheide ich Korrelation von Kausalität?

Stell drei Fragen: Könnte ein dritter Faktor beides verursachen, könnte die Ursache umgekehrt wirken, und gab es ein kontrolliertes Experiment? Ohne fairen Vergleich zeigt eine Korrelation nur, dass zwei Dinge gemeinsam auftreten.

Lehrermaterialien

Häufige Fehlschlüsse

Lerne, die häufigsten Fehlschlüsse zu erkennen und zu korrigieren, von der Bejahung des Konsequens bis zu Korrelation und Kausalität, mit Mathe-Beispielen.

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Definition

Ein Fehlschluss ist ein Fehler im Denken: Die Schlussfolgerung folgt nicht aus den Prämissen, auch wenn das Argument überzeugend klingt. Es gibt zwei Familien.

1. Formale Fehlschlüsse sind Fehler in der Form eines Arguments. Zwei davon entstehen bei Wenn-dann-Aussagen

p \to q

. Vergleiche sie mit den zwei gültigen Formen:

\begin{array}{l|c|c|c} \text{Form} & \text{Prämissen} & \text{Schluss} & \\ \hline \text{Modus ponens} & p \to q,\ p & q & \text{gültig} \\ \text{Modus tollens} & p \to q,\ \neg q & \neg p & \text{gültig} \\ \text{Bejahung des Konsequens} & p \to q,\ q & p & \text{ungültig} \\ \text{Verneinung des Antezedens} & p \to q,\ \neg p & \neg q & \text{ungültig} \end{array}

Die Bejahung des Konsequens ist der Fehler der Umkehrung (

q \to p

), die Verneinung des Antezedens der Fehler der Inversion (

\neg p \to \neg q

). Die Wahrheitstabelle zeigt, warum sie scheitern: In der Zeile, in der

p

F (falsch) und

q

T (wahr) ist, ist

p \to q

wahr und

q

wahr, also sind beide Prämissen wahr, aber

p

ist falsch. (Die interaktive Tabelle prüft den Fehler der Umkehrung: Ihre letzte Spalte ist genau in dieser Zeile F. Sie schreibt W für wahr und F für falsch.)

2. Informelle Fehlschlüsse sind Fehler im Inhalt eines Arguments:

Ad-hominem-Argument: Man greift die Person an statt ihres Arguments.
Strohmann-Argument: Man verwandelt die Aussage des anderen in eine schwächere und greift diese an.
Falsches Dilemma: Man bietet nur zwei Möglichkeiten an, obwohl es mehr gibt.
Voreilige Verallgemeinerung: eine allgemeine Regel aus zu wenigen Fällen.
Zirkelschluss: Die Schlussfolgerung steckt schon in den Prämissen.
Dammbruchargument: Ein kleiner Schritt führe angeblich zwangsläufig in die Katastrophe.
Autoritätsargument: Etwas sei wahr, weil eine berühmte oder mächtige Person es sagt.
Korrelation und Kausalität: Zwei Dinge treten gemeinsam auf, also verursache das eine das andere.

Wichtig: Ein Fehlschluss zeigt, dass das Argument seine Schlussfolgerung nicht beweist. Die Schlussfolgerung selbst kann trotzdem wahr oder falsch sein.

Probier es gleich aus

Argument: Wenn es regnet, ist der Boden nass. Der Boden ist nass. Also hat es geregnet. Welcher Fehlschluss ist das?

Lösungsbeispiele

Argument: Wenn eine Zahl durch 6 teilbar ist, dann ist sie gerade. 14 ist gerade. Also ist 14 durch 6 teilbar. Ist das Argument gültig?

Benenne die Teile

$p$ : Die Zahl ist durch 6 teilbar. $q$ : Die Zahl ist gerade. → Regel: $p \to q$

Finde heraus, welcher Teil gegeben ist

Wir erfahren, dass 14 gerade ist, also ist der Schluss $q$ gegeben, und das Argument folgert $p$ . → Form: $p \to q,\ q$ , also $p$

Vergleiche mit den gültigen Formen

Der Modus ponens braucht $p$ als Prämisse, nicht $q$ . Das ist die Bejahung des Konsequens. → Ungültige Form

Prüfe mit einer Rechnung

$14 \div 6 = 2$ Rest $2$ → 14 ist nicht durch 6 teilbar

Antwort: Das Argument ist ungültig: Es bejaht das Konsequens. 14 ist gerade, aber nicht durch 6 teilbar, die Schlussfolgerung ist hier sogar falsch.

Häufige Fehler

Zu glauben, ein Fehlschluss beweise, dass die Schlussfolgerung falsch ist

Warum es falsch ist: Ein Fehlschluss zeigt nur, dass das Argument seine Schlussfolgerung nicht beweist. Nimm die Regel: Wenn $x = 2$ , dann $x^2 = 4$ . Aus $x^2 = 4$ auf $x = 2$ zu schließen ist ungültig, trotzdem könnte $x$ gleich $2$ sein.

Richtig: Sag: Die Schlussfolgerung folgt nicht. Um zu zeigen, dass sie falsch ist, brauchst du ein Gegenbeispiel, hier $x = -2$ .

Die Bejahung des Konsequens mit dem Modus ponens verwechseln

Warum es falsch ist: Beide benutzen $p \to q$ und sehen ähnlich aus. Der Unterschied ist, welcher Teil als Prämisse gegeben ist.

Richtig: Ist $p$ gegeben, darfst du auf $q$ schließen (gültig). Ist $q$ gegeben, darfst du nicht auf $p$ schließen (Bejahung des Konsequens).

Viele Beispiele als Beweis betrachten

Warum es falsch ist: 3 oder sogar 100 Fälle zu prüfen bleibt eine voreilige Verallgemeinerung, wenn die Behauptung von allen Zahlen handelt.

Richtig: Benutze Beispiele, um eine Vermutung aufzustellen, und beweise sie dann mit einem Argument, das jeden Fall abdeckt, oder finde ein Gegenbeispiel.

Jeden Verweis auf einen Experten als Autoritätsargument bezeichnen

Warum es falsch ist: Einen passenden Experten zusammen mit Belegen zu zitieren ist normal. Der Fehlschluss besteht darin, einen Namen statt Belegen zu benutzen, besonders außerhalb des Fachgebiets der Person.

Richtig: Frag: Ist diese Person Expertin für genau dieses Thema, und welche Belege stützen die Behauptung?

Interaktive Visualisierung

Wahrheitstabelle

Ausdruck(p → q) ∧ q → p

p	q	p → q	(p → q) ∧ q	(p → q) ∧ q → p
F	F	W	F	W
F	W	W	W	F
W	F	F	F	W
W	W	W	W	W

W= WahrF= Falsch

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Verlauf

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Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Argument: Wenn es regnet, ist der Boden nass. Der Boden ist nass. Also hat es geregnet. Welcher Fehlschluss ist das?

Übungsaufgaben: Häufige Fehlschlüsse

1. Argument: Wenn es regnet, ist der Boden nass. Der Boden ist nass. Also hat es geregnet. Welcher Fehlschluss ist das?
2. Eine Werbung sagt: 4 von 5 Nutzern haben ihre Noten verbessert! Wie viel Prozent sind 4 von 5?
3. Argument: Wenn x = 4, dann ist x² = 16. Wir wissen, dass x² = 16 ist. Also ist x = 4. Finde ein Gegenbeispiel.
4. Maya zeigt, dass x = 5 die Gleichung 2x + 3 = 13 löst. Leo antwortet: Hör nicht auf sie, sie ist in der letzten Arbeit durchgefallen. Welchen Fehlschluss benutzt Leo?
5. Nachdem Tom 3, 5 und 7 geprüft hat, behauptet er: Jede ungerade Zahl größer als 1 ist eine Primzahl. Welches ist die kleinste ungerade Zahl größer als 1, die ihn widerlegt?
6. Argument: Jede ganze Zahl ist entweder positiv oder negativ. Finde die Möglichkeit, die dieses falsche Dilemma weglässt.
7. Ana: Wir sollten unser Ergebnis mit einer zweiten Methode prüfen. Ben: Du meinst also, man kann keiner Rechnung jemals trauen? Das ist lächerlich. Welchen Fehlschluss benutzt Ben?
8. Eine Schule hat 500 Schülerinnen und Schüler, 450 davon nutzen die App StudyFast. 60 haben in Mathe eine Eins bekommen, 54 davon nutzen die App. Eine Werbung sagt: 90 % der Einser-Schüler nutzen StudyFast, also sorgt die App für Einsen! Wie viel Prozent der App-Nutzer haben eine Eins bekommen?
9. Argument: Wenn eine Zahl ein Vielfaches von 10 ist, dann ist sie ein Vielfaches von 5. 15 ist kein Vielfaches von 10. Also ist 15 kein Vielfaches von 5. Zeige, dass das Argument scheitert.
10. Behauptung: Diese Formel ist richtig, weil sie immer die richtigen Ergebnisse liefert, und wir wissen, dass die Ergebnisse richtig sind, weil sie aus dieser Formel stammen. Welcher Fehlschluss ist das?
11. Regel: Wenn eine Zahl durch 6 teilbar ist, dann ist sie gerade. Jemand bejaht das Konsequens und hält jede gerade Zahl für durch 6 teilbar. Wie viele gerade Zahlen von 1 bis 20 sind Gegenbeispiele (gerade, aber nicht durch 6 teilbar)?
12. In einer Klasse mit 40 Lernenden spielen 25 ein Instrument, 20 davon haben in Mathe mehr als 80 Punkte. Von den 15, die kein Instrument spielen, haben 6 mehr als 80 Punkte. Behauptung: Ein Instrument zu spielen macht besser in Mathe. Vergleiche die beiden Gruppen.
13. Ein Dammbruchargument: Wenn du eine Hausaufgabe auslässt, kommst du in Rückstand, fällst dann im nächsten Test durch und dann im ganzen Schuljahr. Angenommen, jeder dieser drei Schritte passiert unabhängig mit der Wahrscheinlichkeit 0,5. Wie groß ist die Chance in Prozent, dass alle drei passieren?
14. Argument: Wenn eine Zahl auf 0 endet, dann ist sie durch 5 teilbar. 35 ist durch 5 teilbar. Also endet 35 auf 0. Prüfe das Argument.
15. Argument: Wenn eine Zahl durch 9 teilbar ist, dann ist sie durch 3 teilbar. 21 ist nicht durch 9 teilbar. Also ist 21 nicht durch 3 teilbar. Welche Aussage ist richtig?
16. Eine Schülerin prüft n² - n + 11 für n = 1 bis 10 und erhält nur Primzahlen: 11, 13, 17, 23, 31, 41, 53, 67, 83, 101. Sie behauptet, das Ergebnis sei immer eine Primzahl. Welchen Wert hat n² - n + 11 für n = 11?
17. Eine Schlagzeile lautet: Risiko verdoppelt sich! Eine Nebenwirkung steigt von 1 von 10000 Personen auf 2 von 10000 Personen. Finde heraus, wie groß die Veränderung wirklich ist.
18. Eine Krankheit betrifft 20 von 1000 Personen. Ein Test ist bei 18 der 20 Kranken positiv und irrtümlich auch bei 42 der 980 Gesunden. Behauptung: Der Test erkennt 90 % der Kranken, also bedeutet ein positives Ergebnis eine Chance von 90 %, krank zu sein. Wie groß ist die echte Chance in Prozent?

Warum es wichtig ist

Fehlschlüsse sind überall, und viele verstecken sich hinter Zahlen:

Mathematik: Eine Formel für 4 Fälle zu prüfen ist kein Beweis. Für die Primzahlen $n = 2, 3, 5, 7$ ist $2^n - 1$ eine Primzahl, aber für $n = 11$ ergibt sich $2047 = 23 \times 89$ .
Nachrichten und Statistik: Schlagzeilen machen aus einer Korrelation oft eine Ursache oder nennen große Gesamtzahlen, ohne durch die Einwohnerzahl zu teilen.
Werbung: 8 von 10 Nutzern waren begeistert! klingt stark, bis du erfährst, dass nur 10 Personen gefragt wurden.
Diskussionen und soziale Medien: Angriffe auf die Person und Strohmänner ersetzen echte Argumente, und falsche Dilemmata verstecken bessere Möglichkeiten.
Wissenschaft: Forschende benutzen Kontrollgruppen genau deshalb, weil Korrelation keine Kausalität ist.

Sobald du einen Fehlschluss benennen kannst, kannst du genau erklären, was fehlt und wie man das Argument repariert.

Anwendungen im echten Leben

Werbeversprechen

Werbung liebt Prozentzahlen und berühmte Gesichter. Eine kleine Stichprobe und ein Star sind eine voreilige Verallgemeinerung und ein Autoritätsargument im Doppelpack.

Beispiel:

Eine Werbung sagt: 80 % der Nutzer haben bessere Noten, sagt ein berühmter Fußballer! Der Spieler ist kein Experte fürs Lernen, und die 80 % stammen vielleicht von sehr wenigen Personen.

1Probiere es selbst

Eine Lern-App hat 5000 Nutzer. Die 80 % aus der Werbung stammen aus einer Umfrage unter 10 Nutzern, von denen 8 mit Ja geantwortet haben.

Wie viel Prozent aller Nutzer wurden tatsächlich gefragt?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe den Anteil der befragten Nutzer in Prozent:

Schlagzeilen und Gesamtzahlen

Schlagzeilen vergleichen oft Gesamtzahlen, ohne durch die Größe der Gruppe zu teilen. Große Städte haben bei fast allem große Gesamtzahlen.

Beispiel:

Stadt A hat 4000 Todesfälle pro Jahr und Stadt B nur 300, also titelt eine Zeitung: Stadt A ist viel gefährlicher. Aber Stadt A hat 2000000 Einwohner und Stadt B 100000.

2Probiere es selbst

Stadt A: 2000000 Einwohner, 4000 Todesfälle pro Jahr. Stadt B: 100000 Einwohner, 300 Todesfälle pro Jahr. Vergleiche die Raten pro 1000 Einwohner.

Welche Stadt hat die höhere Sterberate pro 1000 Einwohner?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Rate pro 1000 Einwohner für Stadt A:

Statistik im Straßenverkehr

Eine bekannte Behauptung lautet: Die meisten Unfälle passieren in der Nähe von zu Hause, also ist Fahren in der Nähe von zu Hause gefährlich. Sie ignoriert die Basisrate: wie viel überhaupt in der Nähe von zu Hause gefahren wird.

Beispiel:

Wenn 85 % aller Kilometer in der Nähe von zu Hause gefahren werden, erwarten wir dort etwa 85 % der Unfälle, selbst wenn das Risiko überall gleich wäre.

3Probiere es selbst

In einer Region passieren 700 von 1000 Unfällen weniger als 10 km von zu Hause entfernt, und 85 % aller Fahrten finden weniger als 10 km von zu Hause entfernt statt.

Zeigen die Daten, dass Fahren in der Nähe von zu Hause gefährlicher ist?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Anzahl der Unfälle, die man in der Nähe von zu Hause erwarten würde, wenn das Risiko überall gleich wäre:

Wichtige Erkenntnisse

1Ein Fehlschluss ist ein Denkfehler: Die Schlussfolgerung folgt nicht aus den Prämissen
2Die Bejahung des Konsequens ( $p \to q$ , $q$ , also $p$ ) und die Verneinung des Antezedens ( $p \to q$ , $\neg p$ , also $\neg q$ ) sind ungültige Formen
3Modus ponens ( $p \to q$ , $p$ , also $q$ ) und Modus tollens ( $p \to q$ , $\neg q$ , also $\neg p$ ) sind die gültigen Formen
4Zu den informellen Fehlschlüssen gehören Ad-hominem-Argument, Strohmann, falsches Dilemma, voreilige Verallgemeinerung, Zirkelschluss, Dammbruchargument und Autoritätsargument
5Korrelation ist keine Kausalität: Suche nach einem dritten Faktor und vergleiche Raten, nicht Gesamtzahlen
6Beispiele beweisen nie eine allgemeine Regel, aber ein einziges Gegenbeispiel widerlegt sie

Häufig gestellte Fragen

Nicht unbedingt. Der Fehlschluss zeigt, dass das Argument die Schlussfolgerung nicht beweist. Sie kann aus anderen Gründen trotzdem wahr sein, also brauchst du ein Gegenbeispiel, um zu zeigen, dass sie falsch ist.

Glossar

Fehlschluss: Ein Denkfehler, durch den ein Argument seine Schlussfolgerung nicht beweist
Formaler Fehlschluss: Ein Fehler in der Form eines Arguments, zum Beispiel die Bejahung des Konsequens
Informeller Fehlschluss: Ein Fehler im Inhalt eines Arguments, zum Beispiel ein Strohmann oder ein falsches Dilemma
Bejahung des Konsequens: Die ungültige Form $p \to q$ , $q$ , also $p$
Verneinung des Antezedens: Die ungültige Form $p \to q$ , $\neg p$ , also $\neg q$
Störvariable (Drittvariable): Ein versteckter dritter Faktor, der zwei Dinge beeinflusst und sie zusammenhängend erscheinen lässt

Formelkarte

Modus ponens (gültig)

p \to q,\ p \ \therefore\ q

Die Voraussetzung ist gegeben, also folgt die Schlussfolgerung

Modus tollens (gültig)

p \to q,\ \neg q \ \therefore\ \neg p

Die Schlussfolgerung ist falsch, also ist die Voraussetzung falsch

Bejahung des Konsequens (ungültig)

p \to q,\ q \ \therefore\ p

Der Fehler der Umkehrung: $q$ kann wahr sein, während $p$ falsch ist

Verneinung des Antezedens (ungültig)

p \to q,\ \neg p \ \therefore\ \neg q

Der Fehler der Inversion: $q$ kann wahr sein, während $p$ falsch ist

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Häufige Fehler

Interaktive Visualisierung

Wahrheitstabelle

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Ausdrucksrechner

Verlauf

Übungsaufgaben

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Werbeversprechen

Schlagzeilen und Gesamtzahlen

Statistik im Straßenverkehr

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Modus ponens (gültig)

Modus tollens (gültig)

Bejahung des Konsequens (ungültig)

Verneinung des Antezedens (ungültig)

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Wenn-dann-Aussagen

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