Einführung in mathematische Beweise

Übungsaufgaben: Einführung in mathematische Beweise

1. 1. Was ist ein mathematischer Beweis?
2. 2. Was ist der Unterschied zwischen einem Axiom und einem Theorem?
3. 3. Wenn $n$ eine gerade Zahl ist, können wir $n = 2k$ schreiben, wobei $k$ eine ganze Zahl ist. Wenn $n = 12$, was ist $k$?
4. 4. Wenn $n$ eine ungerade Zahl ist, können wir $n = 2k + 1$ schreiben. Wenn $n = 15$, was ist $k$?
5. 5. Was machen wir zuerst bei einem Widerspruchsbeweis?
6. 6. Warum ist es KEIN Beweis, dass '2 + 4 = 6' zeigt, dass 'die Summe zweier gerader Zahlen gerade ist'?
7. 7. Wenn $a = 2m$ und $b = 2n$ gerade Zahlen sind, was ist $a + b$ in Bezug auf $m$ und $n$? Schreibe in der Form $2(...)$
8. 8. Beweise, dass das Produkt zweier ungerader Zahlen ungerade ist. Sei $a = 2m + 1$ und $b = 2n + 1$.
9. 9. Welche Aussage beschreibt korrekt einen Zirkelschluss in einem Beweis?
10. 10. Im Beweis, dass $\sqrt{2}$ irrational ist, nahmen wir an $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ ohne gemeinsame Faktoren. Wir zeigten, dass $a$ und $b$ beide gerade sein müssen. Welchen gemeinsamen Faktor teilen sie?
11. 11. Beweise: Die Summe einer geraden und einer ungeraden Zahl ist ungerade.
12. 12. Die Aussage 'Alle Primzahlen sind ungerade' scheint für 3, 5, 7, 11, 13... wahr zu sein. Was widerlegt diese Aussage?
13. 13. Beweise durch Widerspruch: Es gibt keine größte ganze Zahl.
14. 14. Wenn $a^2$ gerade ist, dann muss $a$ gerade sein. Warum? Weil wenn $a$ ungerade wäre ($a = 2k+1$), dann $a^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2+2k) + 1$, was... ist (gerade/ungerade)?
15. 15. Wenn '$P$ impliziert $Q$' wahr ist, welches der folgenden muss auch wahr sein?
16. 16. Beweise: Wenn $n^2$ ungerade ist, dann ist $n$ ungerade.