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Leitfaden für Lehrer: Geometrische Beweise

Beweise geometrische Aussagen Schritt für Schritt mit Winkeln an Parallelen, der Winkelsumme im Dreieck, Kongruenzsätzen (SSS, SWS, WSW, SWW) und gleichschenkligen Dreiecken.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Mathematische Beweise. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele
  • Winkelgrößen mit den Sätzen über Wechselwinkel und Stufenwinkel bestimmen und begründen
  • Den Satz über die Winkelsumme im Dreieck mit einer Hilfsparallelen beweisen
  • Den passenden Kongruenzsatz (SSS, SWS, WSW, SWW) wählen und eine Kongruenzaussage mit richtig zugeordneten Ecken schreiben
  • Mit entsprechenden Teilen kongruenter Dreiecke die Gleichheit von Strecken oder Winkeln beweisen
  • Den Basiswinkelsatz für gleichschenklige Dreiecke beweisen und anwenden
Voraussetzungen
  • • Einführung in mathematische Beweise und Direkter Beweis: Voraussetzung, Behauptung, begründete Schritte
  • • Form des Zwei-Spalten-Beweises (Aussage und Begründung)
  • • Scheitelwinkel, Nebenwinkel und Winkel, die sich zu 180° ergänzen
  • • Grundbegriffe am Dreieck: Seiten, Ecken, eingeschlossener Winkel
Diskussionsstarter
  • 1. Warum hat ein Dreieck mit drei gegebenen Winkeln trotzdem keine feste Größe?
  • 2. Wenn du △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF weißt, wie viele Paare gleicher Teile bekommst du geschenkt?
  • 3. Warum brauchen wir eine Parallele, um die Winkelsumme im Dreieck zu beweisen?
  • 4. Kann ein Beweis richtig sein, wenn er einen Winkel verwendet, den du nur mit dem Geodreieck gemessen hast?
Häufige Missverständnisse

Auch WWW und SSW beweisen die Kongruenz von Dreiecken

Abhilfe: Lass die Lernenden Dreiecke aus drei gegebenen Winkeln (WWW) und aus zwei Seiten mit einem nicht eingeschlossenen Winkel (SSW) bauen und mit Mitschülern vergleichen: Die Ergebnisse unterscheiden sich in Größe oder Form.

Wechselwinkel sind immer gleich groß, auch ohne Parallelen

Abhilfe: Zeichne zwei deutlich nicht parallele Geraden mit einer Querlinie und miss die Winkel. Formuliere dann den Satz mit seiner Voraussetzung AB∥CDAB \parallel CD und lass die Lernenden in jedem Beweis die Voraussetzung benennen.

Die Reihenfolge der Buchstaben in einer Kongruenzaussage ist egal

Abhilfe: Lass die Lernenden aus einer Aussage die sechs Paare entsprechender Teile ablesen. Eine falsche Reihenfolge liefert sofort ein Paar, das sichtbar nicht gleich ist.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

  • • Mit Winkelberechnungen an Parallelen beginnen, bevor Begründungen geschrieben werden
  • • Zwei-Spalten-Beweise vorgeben, in denen die Aussagen stehen und nur die Begründungen fehlen
  • • Eine Merkkarte mit den Kongruenzsätzen und farbig markierten Teilen bereitstellen

Für Schüler auf Niveau:

  • • Vollständige Zwei-Spalten-Beweise mit SWS, WSW und SSS und anschließend entsprechenden Teilen schreiben
  • • Winkel an Parallelen und kongruente Dreiecke in einem Beweis verbinden
  • • Einen Zwei-Spalten-Beweis in einen kurzen Beweis in Textform umschreiben

Für fortgeschrittene Schüler:

  • • Die Umkehrung beweisen: Sind zwei Basiswinkel gleich groß, ist das Dreieck gleichschenklig
  • • Beweisen, dass sich die Diagonalen eines Parallelogramms gegenseitig halbieren
  • • Ein Gegenbeispiel finden, das zeigt, warum SSW im Allgemeinen nicht reicht
Standardausrichtung
  • HSG-CO.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.C.9)

    Sätze über Geraden und Winkel beweisen, darunter Wechselwinkel und Stufenwinkel an Parallelen

  • HSG-CO.C.10 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.C.10)

    Sätze über Dreiecke beweisen, darunter die Winkelsumme und die Basiswinkel gleichschenkliger Dreiecke

  • HSG-SRT.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.SRT.B.5)

    Kongruenzsätze für Dreiecke nutzen, um Aufgaben zu lösen und Beziehungen in geometrischen Figuren zu beweisen

Lektionsressourcen
  • visualWinkel im Dreieck erkunden

    Die Lernenden ziehen an den Ecken und sehen, dass die drei Winkel immer zusammen 180 Grad ergeben

  • activityDreiecke bauen und vergleichen

    Die Lernenden bauen Dreiecke aus gegebenen Teilen (SSS, SWS, WSW, WWW, SSW) und prüfen, welche Angaben immer deckungsgleiche Dreiecke liefern

  • worksheetBegründungen ergänzen

    Zwei-Spalten-Beweise mit fehlenden Begründungen zu Parallelen, Kongruenz und entsprechenden Teilen

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Ein geometrischer Beweis zeigt, dass eine Aussage über eine Figur wahr sein muss. Er ist eine Kette von Aussagen, und jede Aussage hat eine Begründung: die Voraussetzung, eine Definition, ein Postulat oder einen schon bewiesenen Satz. Eine Zeichnung hilft dir, die Idee zu finden, aber eine Messung mit dem Geodreieck ist nie eine Begründung.
Der Werkzeugkasten für diese Lektion:
1. Parallelen und eine Querlinie. Eine Querlinie (Transversale) ist eine Gerade, die zwei andere Geraden schneidet. Wenn die beiden Geraden parallel sind:
  • Wechselwinkel (zwischen den Parallelen, auf verschiedenen Seiten der Querlinie) sind gleich groß.
  • Stufenwinkel (in derselben Lage an beiden Schnittpunkten) sind gleich groß.
  • Nachbarwinkel (zwischen den Parallelen, auf derselben Seite der Querlinie) ergänzen sich zu 180∘180^\circ.
2. Winkelsumme im Dreieck. In jedem Dreieck gilt ∠A+∠B+∠C=180∘\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ.
3. Kongruente Dreiecke. Zwei Dreiecke sind kongruent (≅\cong), wenn eine dieser Gruppen entsprechender Teile übereinstimmt:
  • SSS: drei Seiten
  • SWS: zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel
  • WSW: zwei Winkel und die Seite zwischen ihnen
  • SWW: zwei Winkel und eine Seite, die nicht zwischen ihnen liegt
4. Entsprechende Teile. Sind zwei Dreiecke kongruent, so sind alle einander entsprechenden Seiten und Winkel gleich: Aus △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF folgt zum Beispiel AB=DEAB = DE und ∠A=∠D\angle A = \angle D. Im Englischen heißt diese Begründung CPCTC.
5. Gleichschenklige Dreiecke. Sind zwei Seiten eines Dreiecks gleich lang, so sind die gegenüberliegenden Winkel (die Basiswinkel) gleich groß.
6. Mittelpunkte und Halbierende. Ein Mittelpunkt teilt eine Strecke in zwei gleich lange Teile, eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei gleich große Winkel.
Ein vollständiger Zwei-Spalten-Beweis. Gegeben: Die Strecken ADAD und BCBC schneiden sich in MM, und MM ist der Mittelpunkt beider Strecken. Zu zeigen: AB=DCAB = DC.
AussageBegründung
AM=DMAM = DMDefinition des Mittelpunkts
BM=CMBM = CMDefinition des Mittelpunkts
∠AMB=∠DMC\angle AMB = \angle DMCScheitelwinkel sind gleich groß
△AMB≅△DMC\triangle AMB \cong \triangle DMCSWS
AB=DCAB = DCEntsprechende Teile kongruenter Dreiecke
Der übliche Plan: Finde zwei Dreiecke, die das gesuchte Stück enthalten, beweise ihre Kongruenz und schließe dann mit den entsprechenden Teilen.

Lösungsbeispiele

Die Geraden ABAB und CDCD sind parallel. Die Punkte AA und CC liegen links, BB und DD rechts. Eine Querlinie schneidet ABAB in EE und CDCD in FF, und es gilt ∠AEF=65∘\angle AEF = 65^\circ. Bestimme ∠EFD\angle EFD und ∠CFE\angle CFE und begründe jeden Schritt.

1

Das Winkelpaar erkennen

∠AEF\angle AEF und ∠EFD\angle EFD liegen beide zwischen den Parallelen, auf verschiedenen Seiten der Querlinie → Es sind Wechselwinkel

2

Den Satz über Parallelen anwenden

Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß, also ∠EFD=∠AEF\angle EFD = \angle AEF → ∠EFD=65∘\angle EFD = 65^\circ

3

Den gestreckten Winkel bei FF nutzen

∠CFE\angle CFE und ∠EFD\angle EFD bilden zusammen den gestreckten Winkel CFDCFD: ∠CFE=180∘−65∘\angle CFE = 180^\circ - 65^\circ → ∠CFE=115∘\angle CFE = 115^\circ (Nebenwinkel)

Häufige Fehler

Die Kongruenz mit WWW (drei gleich großen Winkeln) beweisen

Warum es falsch ist: Gleiche Winkel ergeben nur dieselbe Form: Ein kleines und ein großes gleichseitiges Dreieck haben dieselben Winkel, sind aber nicht kongruent. Auch zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel reichen im Allgemeinen nicht, weil zwei verschiedene Dreiecke passen können (nur beim Satz SsW, wenn der Winkel der längeren Seite gegenüberliegt, klappt es).

Richtig: Verwende SSS, SWS, WSW oder SWW, und prüfe bei SWS, dass der Winkel zwischen den beiden Seiten liegt.

Entsprechende Teile gleichsetzen, bevor die Kongruenz bewiesen ist

Warum es falsch ist: Die Begründung mit entsprechenden Teilen ist erst nach einer Zeile erlaubt, die die Kongruenz der Dreiecke zeigt. Sonst setzt der Beweis voraus, was er zeigen will.

Richtig: Zuerst eine Zeile wie △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF (SWS), dann die passenden Seiten oder Winkel mit der Begründung entsprechende Teile kongruenter Dreiecke.

Winkelsätze für Parallelen benutzen, obwohl die Geraden nicht parallel sind, oder Nachbarwinkel für gleich groß halten

Warum es falsch ist: Wechselwinkel und Stufenwinkel sind nur an Parallelen gleich groß. Nachbarwinkel sind nicht gleich, sie ergänzen sich zu 180∘180^\circ.

Richtig: Prüfe, dass die Geraden als parallel gegeben sind (AB∥CDAB \parallel CD), und benenne das Paar genau: Wechselwinkel (gleich), Stufenwinkel (gleich) oder Nachbarwinkel (Summe 180∘180^\circ).

Die Ecken in einer Kongruenzaussage in falscher Reihenfolge schreiben

Warum es falsch ist: △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF bedeutet A↔DA \leftrightarrow D, B↔EB \leftrightarrow E, C↔FC \leftrightarrow F. Eine falsche Reihenfolge ordnet die falschen Seiten und Winkel einander zu.

Richtig: Ordne die Ecken nach den gleichen Teilen zu. In Beispiel 5 lautet die richtige Aussage △ABC≅△EDC\triangle ABC \cong \triangle EDC, nicht △ABC≅△DEC\triangle ABC \cong \triangle DEC.

Warum es wichtig ist

Mit geometrischen Beweisen hat das mathematische Beweisen begonnen, und ihre Ideen werden bis heute täglich genutzt:
  • Geschichte der Mathematik: Euklids Elemente (um 300 v. Chr.) bauen die ganze Geometrie aus wenigen Postulaten mit genau solchen Beweisen auf und waren über 2000 Jahre lang ein Schulbuch
  • Vermessung: Mit kongruenten Dreiecken messen Vermesser Strecken, die man nicht ablaufen kann, etwa die Breite eines Flusses oder Teichs
  • Architektur und Bauwesen: Dachstühle und Brücken nutzen gleichschenklige und kongruente Dreiecke, denn ein Dreieck mit festen Seiten kann seine Form nicht ändern
  • Straßen- und Stadtplanung: Parallele Straßen, die von einer schrägen Allee gekreuzt werden, wiederholen an jeder Kreuzung dieselben Winkel
  • Denkfähigkeit: Schritt für Schritt begründet zu zeigen, dass etwas wahr sein muss, ist dieselbe Fähigkeit, die Juristen, Programmierer und Forscher brauchen
Wenn du diese wenigen Sätze sicher beherrschst, wird ein großer Teil der Schulgeometrie zu kurzen, überzeugenden Argumenten.

Anwendungen im echten Leben

Dachbinder

Zimmerleute bauen Dachbinder als gleichschenklige Dreiecke: Zwei gleich lange Sparren treffen sich am First, deshalb haben beide Dachseiten dieselbe Neigung.

Beispiel:

Ein Binder mit einem Winkel von 100∘100^\circ am First hat Basiswinkel von (180∘−100∘)÷2=40∘(180^\circ - 100^\circ) \div 2 = 40^\circ.

1Probiere es selbst

Ein Zimmermann baut einen Binder aus zwei gleich langen Sparren. Der Winkel am First beträgt 120∘120^\circ.

Welchen Winkel bildet jeder Sparren mit dem waagerechten Balken?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Ziehe den Firstwinkel von 180∘180^\circ ab und teile den Rest gleichmäßig auf:

Messen über einen Teich

Vermesser bestimmen Strecken, die man nicht ablaufen kann, mit kongruenten Dreiecken, also mit demselben SWS-Beweis wie in dieser Lektion.

Beispiel:

Um die Breite ABAB eines Teichs zu bestimmen, gehst du von AA zu einem Punkt CC und dieselbe Strecke weiter bis DD. Dann gehst du von BB durch CC dieselbe Strecke weiter bis EE. Nun gilt △ACB≅△DCE\triangle ACB \cong \triangle DCE (SWS), also DE=ABDE = AB (entsprechende Teile).

2Probiere es selbst

Die Punkte liegen wie im Beispiel: AC=CD=35AC = CD = 35 m, BC=CE=40BC = CE = 40 m, und auf trockenem Land misst du DE=48DE = 48 m.

Wie breit ist der Teich, also wie lang ist ABAB?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Wegen der entsprechenden Teile ist ABAB so lang wie die gemessene Seite:

Stadtpläne

Parallele Straßen, die von einer schrägen Allee gekreuzt werden, bilden das Winkelmuster von Parallelen und Querlinie, mit dem Stadtplaner Ecken und Kreuzungen entwerfen.

Beispiel:

Bildet eine schräge Allee mit einer Straße einen Winkel von 58∘58^\circ, so bildet sie mit jeder parallelen Straße denselben Stufenwinkel von 58∘58^\circ.

3Probiere es selbst

Zwei parallele Straßen werden von einer schrägen Allee gekreuzt. An der ersten Straße beträgt der Winkel zwischen Allee und Straße auf der Nordostseite 58∘58^\circ.

Wie groß sind an der zweiten Straße der Stufenwinkel (Nordost) und der Winkel daneben (Nordwest)?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Der Nachbarwinkel bildet mit ihm einen gestreckten Winkel:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Jede Aussage in einem geometrischen Beweis braucht eine Begründung: Voraussetzung, Definition, Postulat oder Satz
  • 2An Parallelen mit einer Querlinie sind Wechselwinkel und Stufenwinkel gleich groß, Nachbarwinkel ergänzen sich zu 180∘180^\circ
  • 3Die Winkelsumme im Dreieck (180∘180^\circ) beweist man mit einer Parallelen zur Gegenseite durch eine Ecke
  • 4Dreiecke sind kongruent nach SSS, SWS, WSW oder SWW, nie nach WWW und im Allgemeinen nicht nach SSW
  • 5Sind zwei Dreiecke kongruent, so sind alle entsprechenden Seiten und Winkel gleich
  • 6Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß, und Mittelpunkte und Halbierende liefern gleich lange Strecken und gleich große Winkel

Häufig gestellte Fragen

Was bedeutet CPCTC in englischen Büchern?

Corresponding Parts of Congruent Triangles are Congruent, also: Entsprechende Teile kongruenter Dreiecke sind gleich. Diese Begründung schreibst du, nachdem du die Kongruenz zweier Dreiecke bewiesen hast und daraus eine Seite oder einen Winkel folgerst.

Warum reichen zwei Seiten und ein beliebiger Winkel nicht?

Liegt der Winkel nicht zwischen den beiden Seiten, kann die dritte Seite manchmal in zwei verschiedene Lagen schwenken, und es entstehen zwei verschiedene Dreiecke. Nur beim Satz SsW, wenn der Winkel der längeren Seite gegenüberliegt, ist das Dreieck eindeutig.

Was ist der Unterschied zwischen WSW und SWW?

Bei WSW liegt die bekannte Seite zwischen den beiden Winkeln, bei SWW nicht. Beide funktionieren: Zwei Winkel legen den dritten fest (Winkelsumme 180∘180^\circ), also lässt sich SWW immer auf WSW zurückführen.

Wie finde ich die passenden Dreiecke?

Schau auf die Strecke oder den Winkel, dessen Gleichheit du zeigen sollst, und suche zwei Dreiecke, die sie enthalten. Markiere alles, was du weißt: gegebene Teile, Scheitelwinkel, eine gemeinsame Seite. Erreichst du SSS, SWS, WSW oder SWW, schließt du mit den entsprechenden Teilen.

Glossar

Querlinie (Transversale)
Eine Gerade, die zwei (oder mehr) andere Geraden schneidet
Wechselwinkel
Zwei Winkel zwischen zwei Geraden, auf verschiedenen Seiten einer Querlinie; gleich groß, wenn die Geraden parallel sind
Stufenwinkel
Zwei Winkel in derselben Lage an den beiden Schnittpunkten einer Querlinie; gleich groß, wenn die Geraden parallel sind
Kongruente Dreiecke
Dreiecke, in denen alle drei Seiten und alle drei Winkel übereinstimmen, geschrieben △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF
Entsprechende Teile
Einander zugeordnete Seiten und Winkel kongruenter Dreiecke; sie sind gleich (englisch CPCTC)
Gleichschenkliges Dreieck
Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten (Schenkeln); die gegenüberliegenden Basiswinkel sind gleich groß

Formelkarte

Winkelsumme im Dreieck

∠A+∠B+∠C=180∘\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ

Gilt in jedem Dreieck

Nebenwinkel und Nachbarwinkel

α+β=180∘\alpha + \beta = 180^\circ

Winkel an einer Geraden und Nachbarwinkel an Parallelen

Gleichschenkliges Dreieck

AB=AC⇒∠B=∠CAB = AC \Rightarrow \angle B = \angle C

Gleich langen Seiten liegen gleich große Basiswinkel gegenüber

Kongruenz und entsprechende Teile

△ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF

Nach SSS, SWS, WSW oder SWW; dann sind alle entsprechenden Teile gleich

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