Geometrische Beweise

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Die Geraden $AB$ und $CD$ sind parallel ( $A$ und $C$ links, $B$ und $D$ rechts). Eine Querlinie schneidet $AB$ in $E$ und $CD$ in $F$ . Es gilt $\angle AEF = 72^\circ$ und $\angle EFD = 72^\circ$ . Welche Begründung rechtfertigt $\angle EFD = \angle AEF$ ?
1. a)Nachbarwinkel sind gleich groß
2. b)Scheitelwinkel sind gleich groß
3. c)Wechselwinkel sind gleich groß
4. d)Stufenwinkel sind gleich groß
Lösung: Wechselwinkel sind gleich groß
$\angle AEF$ (bei $E$ , links) und $\angle EFD$ (bei $F$ , rechts) liegen zwischen den Parallelen auf verschiedenen Seiten der Querlinie: Es sind Wechselwinkel, und die sind an Parallelen gleich groß.
2.
Die Geraden $AB$ und $CD$ sind parallel ( $A$ und $C$ links, $B$ und $D$ rechts). Eine Querlinie schneidet $AB$ in $E$ und $CD$ in $F$ . Es gilt $\angle AEF = 72^\circ$ . Wie viel Grad hat $\angle CFE$ ?
Lösung: 108
$\angle EFD = \angle AEF = 72^\circ$ (Wechselwinkel). $\angle CFE$ und $\angle EFD$ bilden einen gestreckten Winkel, also $\angle CFE = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$ . Probe mit Nachbarwinkeln: $72^\circ + 108^\circ = 180^\circ$ .
3.
Im Dreieck $\triangle ABC$ gilt $\angle A = 47^\circ$ und $\angle B = 68^\circ$ . Wie viel Grad hat $\angle C$ ?
Lösung: 65
Nach dem Winkelsummensatz gilt $\angle C = 180^\circ - 47^\circ - 68^\circ = 65^\circ$ .
4.
Welche Gruppe gleicher Teile beweist NICHT, dass zwei Dreiecke kongruent sind?
1. a)SWS
2. b)WWW
3. c)SSS
4. d)WSW
Lösung: WWW
Drei gleiche Winkel (WWW) legen nur die Form fest, nicht die Größe: Ein kleines und ein großes gleichseitiges Dreieck haben beide drei Winkel von $60^\circ$ , sind aber nicht kongruent. SSS, SWS und WSW sind gültige Kongruenzsätze.
5.
Im Dreieck $\triangle ABC$ gilt $AB = AC$ und $\angle B = 52^\circ$ . Bestimme $\angle C$ und $\angle A$ .
Lösung: 76
1. Wie viel Grad hat $\angle C$ ? 52
2. Wie viel Grad ergibt $\angle B + \angle C$ ? 104
3. Wie viel Grad hat $\angle A$ ? 76
6.
Die parallelen Geraden $\ell$ und $m$ ( $\ell$ oberhalb von $m$ ) werden von einer Querlinie $t$ geschnitten. Bei $\ell$ ist der Winkel oberhalb von $\ell$ und rechts von $t$ $110^\circ$ groß. Bestimme den Winkel oberhalb von $m$ rechts von $t$ und dann den Winkel oberhalb von $m$ links von $t$ .
Lösung: 70
1. Wie viel Grad hat der Winkel oberhalb von $m$ rechts von $t$ ? 110
2. Wie viel Grad hat der Winkel oberhalb von $m$ links von $t$ ? 70
7.
Die Strecken $AD$ und $BC$ schneiden sich in $M$ , und $M$ ist der Mittelpunkt beider Strecken. Du weißt $AM = DM$ , $BM = CM$ und $\angle AMB = \angle DMC$ (Scheitelwinkel). Welcher Kongruenzsatz beweist $\triangle AMB \cong \triangle DMC$ ?
1. a)SWW
2. b)WSW
3. c)SWS
4. d)SSS
Lösung: SWS
Zwei Seiten ( $AM$ , $BM$ ) und der eingeschlossene Winkel (bei $M$ ) stimmen mit zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel im anderen Dreieck überein: Das ist SWS.
8.
Im Dreieck $\triangle ABC$ bildet die Parallele zu $BC$ durch $A$ mit $AB$ einen Winkel von $55^\circ$ (auf der Seite von $B$ ) und mit $AC$ einen Winkel von $64^\circ$ (auf der Seite von $C$ ). Wie viel Grad hat $\angle BAC$ ?
Lösung: 61
Die drei Winkel bei $A$ liegen an der Parallelen, also $55^\circ + \angle BAC + 64^\circ = 180^\circ$ und $\angle BAC = 61^\circ$ . Wegen der Wechselwinkel gilt $\angle B = 55^\circ$ und $\angle C = 64^\circ$ , und tatsächlich $55^\circ + 61^\circ + 64^\circ = 180^\circ$ .
9.
Im Dreieck $\triangle ABC$ gilt $AB = AC$ und $\angle A = 36^\circ$ . Bestimme den Basiswinkel $\angle B$ und dann den Außenwinkel bei $B$ (zwischen $AB$ und der Verlängerung von $CB$ über $B$ hinaus).
Lösung: 108
1. Wie viel Grad ergibt $\angle B + \angle C$ ? 144
2. Wie viel Grad hat $\angle B$ ? 72
3. Wie viel Grad hat der Außenwinkel bei $B$ ? 108
10.
Die Strecken $AE$ und $BD$ schneiden sich in $C$ , $AB \parallel DE$ , und $C$ ist der Mittelpunkt von $AE$ . Außerdem gilt $\angle BAC = 40^\circ$ , $\angle ACB = 75^\circ$ und $AB = 9$ cm. Bestimme die Winkel von $\triangle EDC$ und die Länge $DE$ .
Lösung: 9
1. Wie viel Grad hat $\angle CED$ ? 40
2. Wie viel Grad hat $\angle ECD$ ? 75
3. Wie viel Grad hat $\angle CDE$ ? 65
4. Wie viele cm ist $DE$ lang? 9
11.
In $\triangle ABC$ und $\triangle DEF$ gilt: $AB = DE$ , $\angle A = \angle D$ und $\angle B = \angle E$ . Welcher Kongruenzsatz beweist $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ ?
1. a)SSS
2. b)SWW
3. c)SWS
4. d)WSW
Lösung: WSW
Die gleiche Seite $AB$ verbindet die Scheitel der beiden gleichen Winkel, liegt also zwischen ihnen: Winkel, Seite, Winkel, das ist WSW.
12.
$AD$ halbiert den Winkel $\angle BAC$ , und $\angle BAD = 34^\circ$ . Wie viel Grad hat $\angle BAC$ ?
Lösung: 68
Nach der Definition der Winkelhalbierenden gilt $\angle CAD = \angle BAD = 34^\circ$ , also $\angle BAC = 34^\circ + 34^\circ = 68^\circ$ .
13.
Zwei Parallelen werden von einer Querlinie geschnitten. Ein Paar Wechselwinkel misst $(3x + 10)^\circ$ und $(5x - 30)^\circ$ . Bestimme $x$ , den Winkel und seinen Nebenwinkel.
Lösung: 110
1. Löse $3x + 10 = 5x - 30$ . Wie groß ist $x$ ? 20
2. Wie viel Grad hat jeder der beiden Wechselwinkel? 70
3. Wie viel Grad hat sein Nebenwinkel? 110
14.
Im Dreieck $\triangle ABC$ gilt $AB = AC$ , $\angle B = (2x + 10)^\circ$ und $\angle C = (3x - 15)^\circ$ . Wie viel Grad hat $\angle A$ ?
Lösung: 60
$2x + 10 = 3x - 15$ ergibt $x = 25$ , also $\angle B = \angle C = 60^\circ$ . Dann ist $\angle A = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$ : Das Dreieck ist sogar gleichseitig.
15.
Im Viereck $ABCD$ gilt $AB = AD$ und $CB = CD$ , mit $\angle BAD = 80^\circ$ und $\angle BCD = 60^\circ$ . Nutze $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ (SSS), um $\angle ABC$ und $\angle ADC$ zu bestimmen.
Lösung: 110
1. Wie viel Grad hat $\angle BAC$ ? 40
2. Wie viel Grad hat $\angle BCA$ ? 30
3. Wie viel Grad hat $\angle ABC$ ? 110
4. Wie viel Grad hat $\angle ADC$ ? 110
16.
Beweis, dass die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks gleich groß sind. Gegeben: $AB = AC$ , und $AD$ halbiert $\angle BAC$ , mit $D$ auf $BC$ . Schritt 1: $AB = AC$ (gegeben). Schritt 2: $\angle BAD = \angle CAD$ (Definition der Winkelhalbierenden). Schritt 3: $AD = AD$ . Schritt 4: $\triangle ABD \cong \triangle ACD$ (SWS). Schritt 5: $\angle B = \angle C$ (entsprechende Teile). Was ist die Begründung für Schritt 3?
1. a)Definition des Mittelpunkts
2. b)Reflexive Eigenschaft
3. c)Transitive Eigenschaft
4. d)Scheitelwinkel sind gleich groß
Lösung: Reflexive Eigenschaft
$AD$ ist eine gemeinsame Seite von $\triangle ABD$ und $\triangle ACD$ . Jede Strecke ist gleich lang wie sie selbst: Das ist die reflexive Eigenschaft. Sie liefert das zweite Seitenpaar für SWS.
17.
Im Dreieck $\triangle ABC$ gilt $\angle A = 50^\circ$ und $\angle B = 60^\circ$ . Die Seite $BC$ wird über $C$ hinaus bis zu einem Punkt $D$ verlängert. Bestimme $\angle ACB$ , den Außenwinkel $\angle ACD$ und vergleiche ihn mit $\angle A + \angle B$ .
Lösung: 110
1. Wie viel Grad hat $\angle ACB$ ? 70
2. Wie viel Grad hat $\angle ACD$ ? 110
3. Wie viel Grad ergibt $\angle A + \angle B$ ? 110
18.
Im Dreieck $\triangle ABC$ gilt $AB = AC$ und $\angle A = 44^\circ$ . Eine Strecke $DE$ mit $D$ auf $AB$ und $E$ auf $AC$ ist parallel zu $BC$ . Bestimme $\angle ABC$ , $\angle ADE$ und $\angle BDE$ .
Lösung: 112
1. Wie viel Grad hat $\angle ABC$ ? 68
2. Wie viel Grad hat $\angle ADE$ ? 68
3. Wie viel Grad hat $\angle BDE$ ? 112