Beweise in Textform

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Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welches Signalwort leitet in einem Beweis in Textform eine neue Aussage (eine Folgerung) ein und keine Begründung?
1. a)da
2. b)also
3. c)weil
4. d)nach Definition von
2.
Ein Beweis in Textform enthält den Satz: *Da $a$ ungerade ist, gilt $a = 2m + 1$ für eine ganze Zahl $m$ .* Welche Begründung benutzt dieser Satz?
1. a)Die Definition einer ungeraden ganzen Zahl
2. b)Die Subtraktionseigenschaft der Gleichheit
3. c)Die Behauptung des Beweises
4. d)Der Scheitelwinkelsatz
3.
$\angle 1$ und $\angle 2$ sind Nebenwinkel, und $\angle 1 = 72^\circ$ . Wie viel Grad hat $\angle 2$ ?
4.
Ein Beweis in Textform zeigt, dass drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ zusammen $3(n + 1)$ ergeben. Für $20 + 21 + 22$ ist die Summe das Dreifache welcher Zahl?
5.
Zwei Geraden schneiden sich. $\angle 1 = 58^\circ$ , $\angle 2$ liegt daneben und $\angle 3$ liegt $\angle 1$ gegenüber. Folge dem Beweis des Scheitelwinkelsatzes, um $\angle 3$ zu finden.
6.
Folge dem Beweis, dass ungerade + ungerade gerade ist, mit den ungeraden Zahlen $a = 7$ und $b = 11$ , geschrieben als $a = 2m + 1$ und $b = 2n + 1$ .
7.
In diesem Beweis, dass die Summe zweier ungerader Zahlen gerade ist, fehlt ein Satz: *Seien $a$ und $b$ ungerade. Dann gilt $a = 2m + 1$ und $b = 2n + 1$ für ganze Zahlen $m$ und $n$ . [ ? ] Da $m + n + 1$ eine ganze Zahl ist, ist $a + b$ gerade.* Welcher Satz füllt die Lücke?
1. a)Also ist $a + b = 2(m + n) + 1$ .
2. b)Zum Beispiel ist $3 + 5 = 8$ gerade.
3. c)Addieren ergibt $a + b = 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1)$ .
4. d)Also ist $a = b$ .
8.
Welcher Satz dieses Beweises in Textform ist falsch? (1) Sei $a$ gerade und $b$ eine beliebige ganze Zahl, also $a = 2k$ für eine ganze Zahl $k$ . (2) Dann ist $ab = 2kb$ . (3) Also ist $ab = 2(kb)$ . (4) Da $kb$ eine ganze Zahl ist, ist $ab$ ungerade.
1. a)Satz 2
2. b)Satz 1
3. c)Satz 3
4. d)Satz 4
9.
Ein Zwei-Spalten-Beweis beginnt mit dem Gegebenen $4x - 7 = 21$ und endet mit $x = 7$ . In der Textform lautet der zweite Satz: *Addiert man auf beiden Seiten 7, erhält man nach der Additionseigenschaft der Gleichheit $4x = \square$ .* Welche Zahl gehört in das Kästchen?
10.
Der Beweis, dass eine gerade Zahl mal eine beliebige ganze Zahl gerade ist, schreibt $a = 2k$ und erhält $ab = 2(kb)$ . Was ist $kb$ für $a = 6$ und $b = 5$ ?
11.
Forme diesen Beweis in Textform in einen Zwei-Spalten-Beweis um: *Gegeben ist $2(x + 3) = 18$ . Nach dem Distributivgesetz gilt $2x + 6 = 18$ . Subtrahiert man auf beiden Seiten 6, erhält man $2x = 12$ . Dividiert man beide Seiten durch 2, erhält man $x = 6$ .* Ergänze die Aussagen.
12.
Drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen ergeben zusammen 96. Nutze das Ergebnis des Beweises, $n + (n + 1) + (n + 2) = 3(n + 1)$ , um sie zu finden.
13.
Folge dem Beweis, dass eine gerade Zahl mal eine beliebige ganze Zahl gerade ist, mit $a = 14$ und $b = 9$ : Schreibe $a = 2k$ , dann $ab = 2(kb)$ .
14.
Ein Schüler schreibt: *Seien $a$ und $b$ ungerade, also $a = 2k + 1$ und $b = 2k + 1$ . Dann ist $a + b = 4k + 2 = 2(2k + 1)$ , also ist $a + b$ gerade.* Wo ist die Lücke in diesem Beweis?
1. a)Ein Beweis muss Zahlen statt Buchstaben verwenden
2. b)Es gibt keine Lücke, der Beweis ist vollständig
3. c) $4k + 2$ ist immer ungerade
4. d)Dasselbe $k$ für beide Zahlen beweist es nur für $a = b$
15.
Ein Beweis in Textform zeigt, dass fünf aufeinanderfolgende ganze Zahlen zusammen $n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = 5(n + 2)$ ergeben. Berechne damit $21 + 22 + 23 + 24 + 25$ .
16.
Zwei Scheitelwinkel messen $(3x + 10)^\circ$ und $(5x - 30)^\circ$ . Argumentiere wie in einem Beweis in Textform: Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt $3x + 10 = 5x - 30$ . Bestimme $x$ , den Winkel und seinen Nebenwinkel.
17.
Zwei Geraden schneiden sich. $\angle 1 = (2x + 15)^\circ$ und $\angle 2 = (4x + 45)^\circ$ sind Nebenwinkel, und $\angle 3$ ist Scheitelwinkel zu $\angle 1$ . Bestimme $x$ , $\angle 1$ und $\angle 3$ .
18.
Beweise, dass die Summe dreier aufeinanderfolgender gerader Zahlen $2n$ , $2n + 2$ , $2n + 4$ durch 6 teilbar ist, und teste das Ergebnis mit 18, 20 und 22.