Beweise in Textform

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welches Signalwort leitet in einem Beweis in Textform eine neue Aussage (eine Folgerung) ein und keine Begründung?
1. a)da
2. b)also
3. c)weil
4. d)nach Definition von
Lösung: also
Also leitet eine neue Aussage ein, die aus dem Vorherigen folgt. Weil, da und nach Definition von leiten Begründungen ein.
2.
Ein Beweis in Textform enthält den Satz: *Da $a$ ungerade ist, gilt $a = 2m + 1$ für eine ganze Zahl $m$ .* Welche Begründung benutzt dieser Satz?
1. a)Die Definition einer ungeraden ganzen Zahl
2. b)Die Subtraktionseigenschaft der Gleichheit
3. c)Die Behauptung des Beweises
4. d)Der Scheitelwinkelsatz
Lösung: Die Definition einer ungeraden ganzen Zahl
Eine ungerade ganze Zahl ist nach Definition eine Zahl, die sich als $2m + 1$ mit einer ganzen Zahl $m$ schreiben lässt. Der Satz benutzt diese Definition.
3.
$\angle 1$ und $\angle 2$ sind Nebenwinkel, und $\angle 1 = 72^\circ$ . Wie viel Grad hat $\angle 2$ ?
Lösung: 108
Da die Winkel Nebenwinkel sind, gilt $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$ , also $\angle 2 = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$ .
4.
Ein Beweis in Textform zeigt, dass drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ zusammen $3(n + 1)$ ergeben. Für $20 + 21 + 22$ ist die Summe das Dreifache welcher Zahl?
Lösung: 21
Mit $n = 20$ ist die Summe $3(n + 1) = 3 \times 21 = 63$ . Probe: $20 + 21 + 22 = 63$ . Die Zahl ist die mittlere, 21.
5.
Zwei Geraden schneiden sich. $\angle 1 = 58^\circ$ , $\angle 2$ liegt daneben und $\angle 3$ liegt $\angle 1$ gegenüber. Folge dem Beweis des Scheitelwinkelsatzes, um $\angle 3$ zu finden.
Lösung: 58
1. $\angle 1$ und $\angle 2$ sind Nebenwinkel. Wie viel Grad ist $\angle 1 + \angle 2$ ? 180
2. Wie viel Grad hat also $\angle 2$ ? 122
3. Auch $\angle 2$ und $\angle 3$ sind Nebenwinkel. Wie viel Grad hat $\angle 3$ ? 58
6.
Folge dem Beweis, dass ungerade + ungerade gerade ist, mit den ungeraden Zahlen $a = 7$ und $b = 11$ , geschrieben als $a = 2m + 1$ und $b = 2n + 1$ .
Lösung: 18
1. Da $7 = 2m + 1$ , was ist $m$ ? 3
2. Da $11 = 2n + 1$ , was ist $n$ ? 5
3. Was ist $m + n + 1$ ? 9
4. Was ergibt also $a + b = 2(m + n + 1)$ ? 18
7.
In diesem Beweis, dass die Summe zweier ungerader Zahlen gerade ist, fehlt ein Satz: *Seien $a$ und $b$ ungerade. Dann gilt $a = 2m + 1$ und $b = 2n + 1$ für ganze Zahlen $m$ und $n$ . [ ? ] Da $m + n + 1$ eine ganze Zahl ist, ist $a + b$ gerade.* Welcher Satz füllt die Lücke?
1. a)Also ist $a + b = 2(m + n) + 1$ .
2. b)Zum Beispiel ist $3 + 5 = 8$ gerade.
3. c)Addieren ergibt $a + b = 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1)$ .
4. d)Also ist $a = b$ .
Lösung: Addieren ergibt $a + b = 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1)$ .
Nur die Summe $a + b = 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1)$ verbindet den Anfang mit dem letzten Satz. $2(m + n) + 1$ ist falsch gerechnet, $a = b$ war nie gegeben, und ein Beispiel beweist nichts allgemein.
8.
Welcher Satz dieses Beweises in Textform ist falsch? (1) Sei $a$ gerade und $b$ eine beliebige ganze Zahl, also $a = 2k$ für eine ganze Zahl $k$ . (2) Dann ist $ab = 2kb$ . (3) Also ist $ab = 2(kb)$ . (4) Da $kb$ eine ganze Zahl ist, ist $ab$ ungerade.
1. a)Satz 2
2. b)Satz 1
3. c)Satz 3
4. d)Satz 4
Lösung: Satz 4
Die Sätze 1 bis 3 stimmen. Satz 4 zieht den falschen Schluss: Das Doppelte einer ganzen Zahl ist nach Definition gerade, nicht ungerade.
9.
Ein Zwei-Spalten-Beweis beginnt mit dem Gegebenen $4x - 7 = 21$ und endet mit $x = 7$ . In der Textform lautet der zweite Satz: *Addiert man auf beiden Seiten 7, erhält man nach der Additionseigenschaft der Gleichheit $4x = \square$ .* Welche Zahl gehört in das Kästchen?
Lösung: 28
$4x - 7 + 7 = 21 + 7$ , also $4x = 28$ . Division durch 4 liefert dann $x = 7$ , die letzte Zeile der Tabelle.
10.
Der Beweis, dass eine gerade Zahl mal eine beliebige ganze Zahl gerade ist, schreibt $a = 2k$ und erhält $ab = 2(kb)$ . Was ist $kb$ für $a = 6$ und $b = 5$ ?
Lösung: 15
$6 = 2 \times 3$ , also $k = 3$ und $kb = 3 \times 5 = 15$ . Probe: $ab = 30 = 2 \times 15$ .
11.
Forme diesen Beweis in Textform in einen Zwei-Spalten-Beweis um: *Gegeben ist $2(x + 3) = 18$ . Nach dem Distributivgesetz gilt $2x + 6 = 18$ . Subtrahiert man auf beiden Seiten 6, erhält man $2x = 12$ . Dividiert man beide Seiten durch 2, erhält man $x = 6$ .* Ergänze die Aussagen.
Lösung: 6
1. Zeile 2 (Distributivgesetz): $2x + \square = 18$ . Welche Zahl gehört in das Kästchen? 6
2. Zeile 3 (Subtraktionseigenschaft der Gleichheit): $2x = \square$ 12
3. Zeile 4 (Divisionseigenschaft der Gleichheit): $x = \square$ 6
4. Wie viele Zeilen hat der Zwei-Spalten-Beweis, das Gegebene mitgezählt? 4
12.
Drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen ergeben zusammen 96. Nutze das Ergebnis des Beweises, $n + (n + 1) + (n + 2) = 3(n + 1)$ , um sie zu finden.
Lösung: 31, 32, 33
1. Da $3(n + 1) = 96$ , was ist $n + 1$ , die mittlere Zahl? 32
2. Was ist die kleinste Zahl $n$ ? 31
3. Was ist die größte Zahl $n + 2$ ? 33
13.
Folge dem Beweis, dass eine gerade Zahl mal eine beliebige ganze Zahl gerade ist, mit $a = 14$ und $b = 9$ : Schreibe $a = 2k$ , dann $ab = 2(kb)$ .
Lösung: 126
1. Da $14 = 2k$ , was ist $k$ ? 7
2. Was ist $kb$ ? 63
3. Was ergibt also $ab = 2(kb)$ ? 126
14.
Ein Schüler schreibt: *Seien $a$ und $b$ ungerade, also $a = 2k + 1$ und $b = 2k + 1$ . Dann ist $a + b = 4k + 2 = 2(2k + 1)$ , also ist $a + b$ gerade.* Wo ist die Lücke in diesem Beweis?
1. a)Ein Beweis muss Zahlen statt Buchstaben verwenden
2. b)Es gibt keine Lücke, der Beweis ist vollständig
3. c) $4k + 2$ ist immer ungerade
4. d)Dasselbe $k$ für beide Zahlen beweist es nur für $a = b$
Lösung: Dasselbe $k$ für beide Zahlen beweist es nur für $a = b$
Wer beide Zahlen mit demselben $k$ schreibt, erzwingt $a = b$ ; der Beweis gilt dann nur für Summen wie $7 + 7$ . Die Rechnung selbst stimmt, und $4k + 2$ ist gerade. Richtig ist $a = 2m + 1$ , $b = 2n + 1$ .
15.
Ein Beweis in Textform zeigt, dass fünf aufeinanderfolgende ganze Zahlen zusammen $n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = 5(n + 2)$ ergeben. Berechne damit $21 + 22 + 23 + 24 + 25$ .
Lösung: 115
Mit $n = 21$ : $5(n + 2) = 5 \times 23 = 115$ . Probe: $21 + 22 + 23 + 24 + 25 = 115$ .
16.
Zwei Scheitelwinkel messen $(3x + 10)^\circ$ und $(5x - 30)^\circ$ . Argumentiere wie in einem Beweis in Textform: Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt $3x + 10 = 5x - 30$ . Bestimme $x$ , den Winkel und seinen Nebenwinkel.
Lösung: 20
1. Subtrahiere auf beiden Seiten $3x$ und addiere 30. Die Gleichung wird zu $\square = 2x$ . Welche Zahl steht im Kästchen? 40
2. Was ist $x$ ? 20
3. Wie viel Grad hat jeder der Scheitelwinkel? 70
4. Der Winkel daneben ist sein Nebenwinkel. Wie viel Grad hat er? 110
17.
Zwei Geraden schneiden sich. $\angle 1 = (2x + 15)^\circ$ und $\angle 2 = (4x + 45)^\circ$ sind Nebenwinkel, und $\angle 3$ ist Scheitelwinkel zu $\angle 1$ . Bestimme $x$ , $\angle 1$ und $\angle 3$ .
Lösung: 55
1. Da die Winkel Nebenwinkel sind, gilt $6x + 60 = 180$ . Was ist $6x$ ? 120
2. Was ist $x$ ? 20
3. Wie viel Grad hat $\angle 1$ ? 55
4. Wie viel Grad hat $\angle 3$ ? 55
18.
Beweise, dass die Summe dreier aufeinanderfolgender gerader Zahlen $2n$ , $2n + 2$ , $2n + 4$ durch 6 teilbar ist, und teste das Ergebnis mit 18, 20 und 22.
Lösung: 60
1. Addiere: $2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 6n + \square$ . Welche Zahl steht im Kästchen? 6
2. Die Summe ist also $6(n + 1)$ . Für 18, 20, 22 gilt $2n = 18$ . Was ist $n$ ? 9
3. Was ist $6(n + 1)$ ? 60
4. Dividiere die Summe durch 6. Welche ganze Zahl erhältst du? 10