Leitfaden für Lehrer: Beweise in Textform

Lerne, einen Beweis in zusammenhängenden Sätzen mit Signalwörtern wie da und also zu schreiben, Zwei-Spalten-Beweise umzuformen und Beweise auf Lücken zu prüfen.

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10 Fragen zu Mathematische Beweise. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Einen Beweis in Textform schreiben, in dem jede Aussage eine genannte Begründung hat
Signalwörter (da, weil, also, daraus folgt) nutzen, um Aussagen und Begründungen zu verbinden
Einen Zwei-Spalten-Beweis in einen Beweis in Textform umformen und umgekehrt
Aussagen über gerade, ungerade und aufeinanderfolgende Zahlen sowie den Scheitelwinkelsatz beweisen
Lücken in einem gegebenen Beweis in Textform finden und schließen

Voraussetzungen

• Einführung in mathematische Beweise: Voraussetzung, Behauptung und warum Beispiele keine Beweise sind
• Direkter Beweis: gerade und ungerade Zahlen als $2k$ und $2k + 1$ schreiben
• Zwei-Spalten-Beweise: Aussagen, Begründungen und die Eigenschaften der Gleichheit
• Nebenwinkel: Winkel an einer Geraden ergeben zusammen $180^\circ$

Diskussionsstarter

1. Wann würdest du einen Beweis in Textform einem Zwei-Spalten-Beweis vorziehen, und warum?
2. Was ist in einem Beweis der Unterschied zwischen da und also?
3. Warum ist es ein Problem, für zwei ungerade Zahlen $a = 2k + 1$ und $b = 2k + 1$ zu schreiben?
4. Wenn ein Beweis richtig, aber sehr schwer zu lesen ist, hat er dann seine Aufgabe erfüllt?

Häufige Missverständnisse

Ein Beweis in Textform ist eine lockere Erklärung, also darf man Begründungen weglassen

Abhilfe: Zeige einen Zwei-Spalten-Beweis und seine Textform nebeneinander und markiere jede Begründung in beiden. Jede Zeile der Tabelle muss irgendwo im Text vorkommen.

Denselben Buchstaben für verschiedene Zahlen zu verwenden ist in Ordnung

Abhilfe: Lass die Lernenden $a = 3$ und $b = 5$ einsetzen: Mit $a = 2k + 1$ und $b = 2k + 1$ gibt es kein einzelnes $k$ , das passt. Der Beweis deckt stillschweigend nur den Fall $a = b$ ab.

Einen Beweis prüfen heißt nur, die Rechnung zu prüfen

Abhilfe: Gib Beweise mit korrekter Algebra, aber einem fehlenden Fall oder einer unbegründeten Annahme, und lass die Lernenden genau den Satz markieren, in dem die Lücke steckt.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Satzanfänge vorgeben: Da ___, wissen wir nach ___, dass ___.
• Mit Zwei-Spalten-Beweisen beginnen und sie Zeile für Zeile umformen
• Zahlenproben wie $14 + 15 + 16$ vor dem allgemeinen Beweis nutzen

Für Schüler auf Niveau:

• Beweise in Textform für ungerade plus ungerade, gerade mal beliebig und drei aufeinanderfolgende Zahlen schreiben
• Beweise in Textform zurück in Zwei-Spalten-Tabellen umformen
• Beweise gegenseitig prüfen und jede fehlende Begründung markieren

Für fortgeschrittene Schüler:

• Beweisen, dass die Summe von fünf aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen durch 5 teilbar ist
• Beweisen, dass das Produkt zweier ungerader Zahlen ungerade ist
• Mit einer Parallelen in Textform beweisen, dass die Winkel eines Dreiecks zusammen $180^\circ$ ergeben

Standardausrichtung

HSG-CO.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.C.9)
Sätze über Geraden und Winkel beweisen, unter anderem, dass Scheitelwinkel kongruent sind
MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Tragfähige Argumente aufbauen und die Argumentation anderer kritisch beurteilen
MP6 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP6)
Auf Genauigkeit achten

Lektionsressourcen

visualSignalwort-Karte
Eine Übersichtskarte, die Signalwörter in Begründungswörter (da, weil) und Folgerungswörter (also, daher) sortiert
activityBeweis-Streifen
Ein Beweis in Textform wird in Sätze zerschnitten; die Lernenden ordnen sie und benennen in jedem die Begründung
worksheetZwei Spalten, ein Text
Vier Zwei-Spalten-Beweise in Fließtext umformen und vier Beweise in Textform in Tabellen

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Ein Beweis in Textform (Fließtextbeweis) ist ein Beweis, der in zusammenhängenden Sätzen statt in einer Tabelle geschrieben wird. Er enthält genau dieselbe Logik wie ein Zwei-Spalten-Beweis: Jede Aussage braucht weiterhin eine Begründung, aber die Begründung steht im Satz selbst.

Ein guter Beweis in Textform hat drei Teile:

1.Anfang: Nenne, was gegeben ist, und gib jedem Objekt einen eigenen Buchstaben (*Seien $a$ und $b$ ungerade ganze Zahlen.*)
2.Kette: Jeder Satz macht eine Aussage und nennt ihre Begründung (eine Definition, eine Eigenschaft der Gleichheit, einen früheren Satz).
3.Ende: Der letzte Satz nennt genau das, was zu zeigen war, oft gefolgt von w. z. b. w. oder $\blacksquare$ .

Signalwörter verbinden die Sätze:

*da*, *weil*, *nach Definition von* leiten eine Begründung ein
*also*, *daher*, *folglich*, *daraus folgt* leiten eine neue Aussage ein

\text{gegeben} \;\Rightarrow\; \text{Aussage + Begründung} \;\Rightarrow\; \dots \;\Rightarrow\; \text{zu zeigen}

Lösungsbeispiele

Ein Zwei-Spalten-Beweis zeigt: gegeben $3x + 5 = 20$ , zu zeigen $x = 5$ . Seine Zeilen sind (1) $3x + 5 = 20$ , gegeben; (2) $3x = 15$ , Subtraktionseigenschaft der Gleichheit; (3) $x = 5$ , Divisionseigenschaft der Gleichheit. Schreibe ihn als Beweis in Textform.

Mache aus der ersten Zeile einen Einleitungssatz

Zeile 1 ist die gegebene Tatsache, also beginnt der Text: *Gegeben ist $3x + 5 = 20$ .* → Einleitungssatz geschrieben

Verbinde Zeile 2 mit ihrer Begründung

*Subtrahiert man auf beiden Seiten 5, erhält man nach der Subtraktionseigenschaft der Gleichheit $3x = 15$ .* → $3x = 15$

Verbinde Zeile 3 mit ihrer Begründung

*Dividiert man beide Seiten durch 3, erhält man nach der Divisionseigenschaft der Gleichheit $x = 5$ .* → $x = 5$

Formuliere die Schlussfolgerung

*Also gilt $x = 5$ .* Das Wort also markiert die Schlussfolgerung, die letzte Zeile der Tabelle. → Beweis in Textform fertig

Antwort: Gegeben ist $3x + 5 = 20$ . Subtrahiert man auf beiden Seiten 5, erhält man nach der Subtraktionseigenschaft der Gleichheit $3x = 15$ . Dividiert man beide Seiten durch 3, erhält man nach der Divisionseigenschaft der Gleichheit $x = 5$ . Also gilt $x = 5$ . w. z. b. w.

Häufige Fehler

Eine Kette von Gleichungen ohne Worte schreiben

Warum es falsch ist: Eine Liste wie $a = 2m + 1$ , $a + b = 2(m + n + 1)$ sagt nicht, woher jede Zeile kommt und was sie beweist. Der Leser muss die Begründungen erraten.

Richtig: Hänge an jede Aussage eine Begründung (*Da $a$ ungerade ist, gilt $a = 2m + 1$ ...*) und schließe mit einem Satz, der die Behauptung ausspricht.

Denselben Buchstaben für zwei verschiedene Zahlen benutzen

Warum es falsch ist: Wer $a = 2k + 1$ und $b = 2k + 1$ schreibt, erzwingt $a = b$ . Der Beweis gilt dann nur für Summen wie $7 + 7$ .

Richtig: Gib jedem Objekt eine eigene Variable: $a = 2m + 1$ und $b = 2n + 1$ .

Mit Beispielen beweisen

Warum es falsch ist: $3 + 5 = 8$ und $7 + 9 = 16$ sind gerade, aber ein paar Beispiele können nie alle ungeraden Zahlen abdecken.

Richtig: Benutze Variablen, die für jeden möglichen Fall stehen. Beispiele sind nur als Probe nach dem Beweis nützlich.

Die Behauptung als Begründung verwenden

Warum es falsch ist: Wer schreibt *Da $a + b$ gerade ist, ist es gleich $2(m + n + 1)$ *, setzt genau das voraus, was bewiesen werden soll (Zirkelschluss).

Richtig: Die Wörter da und weil dürfen nur auf Tatsachen zeigen, die du schon hast: das Gegebene, Definitionen, Eigenschaften oder frühere Sätze.

Warum es wichtig ist

Die meisten Beweise in Schulbüchern, Wettbewerben und an der Universität sind Beweise in Textform. Deshalb ist es wichtig, sie lesen und schreiben zu können:

Prüfungen und Wettbewerbe: Punkte gibt es für die Argumentation, und ein klarer Text zeigt jeden Schritt
Kommunikation: Ein Beweis in Textform liest sich wie eine Erklärung, die du einer Mitschülerin geben könntest
Kontrolle: Wenn neben jeder Aussage ihre Begründung steht, fallen Lücken auf, die eine bloße Liste von Gleichungen versteckt
Über Mathe hinaus: Juristen, Forschende und Programmierer bauen Argumente genauso auf, Aussage für Aussage mit je einer Begründung

Wenn du sicher zwischen der Zwei-Spalten-Form und dem Fließtext wechseln kannst, wählst du jeweils die Form, die zur Aufgabe passt.

Anwendungen im echten Leben

Kalenderrätsel

Drei nebeneinanderliegende Tage in einer Kalenderzeile sind aufeinanderfolgende ganze Zahlen. Der Beweis aus dieser Lektion erklärt daher einen bekannten Zahlentrick.

Beispiel:

Wähle 12, 13 und 14: Die Summe ist $39 = 3 \times 13$ , das Dreifache des mittleren Tages.

1Probiere es selbst

Eine Freundin wählt drei aufeinanderfolgende Daten, 23, 24 und 25, und du nennst die Summe, ohne einzeln zu addieren.

Wie groß ist die Summe der drei Daten?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Nutze den Beweis: Die Summe ist das Dreifache der mittleren Zahl.

Scheren und Straßenkreuzungen

Wo sich zwei gerade Objekte kreuzen, etwa Scherenblätter, Straßen oder die Balken eines Dachstuhls, erlaubt der Scheitelwinkelsatz, einen Winkel zu messen und den gegenüberliegenden sofort zu kennen.

Beispiel:

Bilden die Blätter einer offenen Schere einen Winkel von $35^\circ$ , dann bilden auch die Griffe einen Winkel von $35^\circ$ .

2Probiere es selbst

Zwei gerade Straßen kreuzen sich. Der Winkel zwischen ihnen auf der Nordseite beträgt $62^\circ$ .

Wie groß sind der Winkel daneben und der gegenüberliegende Winkel?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Nutze ein Paar Nebenwinkel, dann das nächste:

Paarweise verpacken

Läden und Lager verpacken Waren oft zu zweit pro Karton. Der Beweis, dass eine gerade Zahl mal eine beliebige ganze Zahl gerade ist, sagt dir, wann sich ein Raster von Teilen ohne Rest in Paare aufteilen lässt.

Beispiel:

Ein Blech mit 8 Reihen zu je 7 Keksen enthält $56 = 2 \times 28$ Kekse, also füllen sie 28 Tüten zu je zwei.

3Probiere es selbst

Ein Boden ist mit 6 Reihen zu je 13 Fliesen belegt. Die Fliesen wurden in Kartons zu je 2 Stück geliefert.

Wie viele volle Kartons wurden verbraucht, und wie viele Fliesen bleiben übrig?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Gesamtzahl als $2(kb)$ mit $6 = 2 \times 3$ :

Wichtige Erkenntnisse

1Ein Beweis in Textform enthält dieselben Aussagen und Begründungen wie ein Zwei-Spalten-Beweis, aber als zusammenhängende Sätze
2Beginne mit dem Gegebenen und gib jedem Objekt einen eigenen Buchstaben, zum Beispiel $a = 2m + 1$ und $b = 2n + 1$
3Da, weil und nach Definition leiten Begründungen ein; also, daher und daraus folgt leiten neue Aussagen ein
4Gerade Zahlen sind $2k$ , ungerade Zahlen $2k + 1$ , und drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen ergeben zusammen $3(n + 1)$
5Scheitelwinkel sind gleich groß, weil jeder von ihnen mit demselben Winkel dazwischen Nebenwinkel ( $180^\circ$ ) bildet
6Prüfe einen Beweis Satz für Satz: Ist die Aussage begründet, wird etwas angenommen, das nicht gegeben war, nennt der letzte Satz das Ziel?

Häufig gestellte Fragen

Ist ein Beweis in Textform weniger streng als ein Zwei-Spalten-Beweis?

Nein. Beide Formen enthalten dieselbe Logik. Ein Beweis in Textform ist nur anders angeordnet: Jede Aussage braucht weiterhin eine Begründung, sie steht nur im Satz statt in einer zweiten Spalte.

Wie lang sollte ein Beweis in Textform sein?

So lang, dass eine Mitschülerin jedem Schritt folgen kann, ohne nach dem Warum zu fragen. Für die Beweise in dieser Lektion sind 3 bis 6 Sätze typisch. Einfache Algebra wie das Ausklammern von 2 braucht keinen eigenen Satz.

Darf ich in einem Beweis in Textform Beispiele verwenden?

Nur als Probe, deutlich vom Beweis getrennt. Ein Satz wie *zum Beispiel

3 + 5 = 8

* zeigt die Idee, aber der Beweis selbst muss mit Variablen arbeiten, die jeden Fall abdecken.

Welches Signalwort soll ich verwenden?

Verwende da oder weil vor einer Begründung und also, daher oder daraus folgt vor einer neuen Aussage. Wechsle ab, damit sich der Text natürlich liest, aber achte darauf, dass jede Aussage in ihrem Satz eine Begründung hat.

Glossar

Beweis in Textform: Ein Beweis in zusammenhängenden Sätzen, in dem jede Aussage zusammen mit ihrer Begründung steht
Zwei-Spalten-Beweis: Ein Beweis als Tabelle mit Aussagen links und Begründungen rechts
Signalwort: Ein Wort wie da, weil, also oder daher, das zeigt, wie ein Satz mit den vorigen zusammenhängt
Nebenwinkel: Zwei benachbarte Winkel, die zusammen eine Gerade bilden; ihre Größen ergeben zusammen $180^\circ$
Scheitelwinkel: Zwei gegenüberliegende Winkel an zwei sich schneidenden Geraden; sie sind immer gleich groß
Aufeinanderfolgende ganze Zahlen: Ganze Zahlen, die lückenlos aufeinander folgen, etwa $n$ , $n + 1$ , $n + 2$

Formelkarte

Gerade ganze Zahl

a = 2k

für eine ganze Zahl $k$

Ungerade ganze Zahl

a = 2k + 1

für eine ganze Zahl $k$

Drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen

n + (n + 1) + (n + 2) = 3(n + 1)

Die Summe ist immer das Dreifache der mittleren Zahl

Nebenwinkel und Scheitelwinkel

\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ, \quad \angle 1 = \angle 3

Nebenwinkel ergeben zusammen $180^\circ$; Scheitelwinkel sind gleich groß

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Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Kalenderrätsel

Scheren und Straßenkreuzungen

Paarweise verpacken

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Gerade ganze Zahl

Ungerade ganze Zahl

Drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen

Nebenwinkel und Scheitelwinkel

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