Leitfaden für Lehrer: Zwei-Spalten-Beweise

Lerne, Zwei-Spalten-Beweise zu schreiben: links steht jede Aussage, rechts die Begründung dafür, bei Gleichungen, Strecken und Winkeln.

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10 Fragen zu Mathematische Beweise. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Einen Zwei-Spalten-Beweis mit Gegebenem, zu Zeigendem, nummerierten Aussagen und Begründungen aufbauen
Jeden Schritt beim Lösen einer Gleichung mit einer Eigenschaft der Gleichheit begründen
Einfache Beweise über Strecken und Winkel mit Additionspostulaten und Winkeldefinitionen schreiben
Fehlende Aussagen und Begründungen in einem teilweise fertigen Beweis ergänzen

Voraussetzungen

• Einführung in mathematische Beweise: was ein Beweis ist und warum wir ihn brauchen
• Direkter Beweis: von der Voraussetzung ausgehen und vorwärts schließen
• Lineare Gleichungen mit einem und zwei Schritten lösen
• Grundwissen über Winkel: rechter Winkel, gestreckter Winkel, Scheitelwinkel

Diskussionsstarter

1. Warum ist "Ich habe die Zahl auf die andere Seite gebracht" keine gute Begründung in einem Beweis?
2. Was lässt sich leichter prüfen: ein Beweis in zwei Spalten oder dieselbe Argumentation als Fließtext? Warum?
3. Kann ein Beweis richtig sein, wenn die Schritte in anderer Reihenfolge stehen als im Beweis deines Nachbarn?
4. Warum darf man die zu zeigende Aussage nicht als Begründung verwenden?

Häufige Missverständnisse

Die Begründung beschreibt die Rechnung ("20 minus 5 ist 15"), statt eine Eigenschaft zu nennen

Abhilfe: Gib den Lernenden eine feste Liste erlaubter Begründungen. Jede Begründung muss aus dieser Liste stammen, so verbinden sie jeden Schritt mit seiner Eigenschaft.

Jede wahre Aussage darf in den Beweis, auch wenn sie nicht aus den Zeilen darüber folgt

Abhilfe: Frage bei jeder Zeile: Welche früheren Zeilen benutzt sie? Zeichne Pfeile von diesen Zeilen. Eine Zeile ohne eingehenden Pfeil (außer dem Gegebenen) gehört nicht hinein.

Eine Division rückgängig machen heißt, die Divisionseigenschaft zu benutzen

Abhilfe: Lass die Lernenden die Rechnung, die auf beiden Seiten ausgeführt wird, an den Rand schreiben, etwa " $\cdot 4$ ". Diese Rechnung nennt die Eigenschaft.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Mit Beweisen beginnen, in denen alle Aussagen vorgegeben sind und nur Begründungen fehlen
• Einen Begründungsspeicher mit 8 bis 10 Begründungen zur Auswahl bereitstellen
• Nur Gleichungen mit einem und zwei Schritten verwenden, bevor Winkel dazukommen

Für Schüler auf Niveau:

• Vollständige algebraische Beweise mit Klammern und Variablen auf beiden Seiten schreiben
• Aussagen über Strecken und Winkel mit den Additionspostulaten beweisen
• Die falsche Begründung in einem fehlerhaften Beweis finden und korrigieren

Für fortgeschrittene Schüler:

• Den Scheitelwinkelsatz ohne Hilfe beweisen
• Zwei verschiedene richtige Beweise für dasselbe Gegebene und zu Zeigende schreiben
• Einen Zwei-Spalten-Beweis als Beweis in Textform umschreiben und beide vergleichen

Standardausrichtung

HSA-REI.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.REI.A.1)
Jeden Schritt beim Lösen einer einfachen Gleichung als Folge der Gleichheit aus dem vorherigen Schritt erklären
HSG-CO.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.C.9)
Sätze über Geraden und Winkel beweisen, darunter, dass Scheitelwinkel kongruent sind
MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Tragfähige Argumente aufbauen und die Argumentation anderer kritisch prüfen

Lektionsressourcen

visualGleichungslöser Schritt für Schritt
Die Lernenden lösen Gleichungen schrittweise und nennen die Eigenschaft hinter jedem Schritt
activityBeweis-Puzzle mit Streifen
Aussagen und Begründungen werden in Streifen geschnitten; Paare setzen den Beweis in der richtigen Reihenfolge zusammen
worksheetFehlende Begründungen
Teilweise fertige Zwei-Spalten-Beweise, in denen die Lernenden leere Begründungen und Aussagen ergänzen

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Ein Zwei-Spalten-Beweis ist ein Beweis in Form einer Tabelle. In der linken Spalte stehen die Aussagen (was wir in jedem Schritt wissen), in der rechten Spalte die Begründungen (warum jede Aussage stimmt). Der Beweis beginnt mit dem, was gegeben ist, und endet mit der Aussage, die zu zeigen war.

Gegeben:

3x + 5 = 20

Zu zeigen:

x = 5

Nr.	Aussage	Begründung
1	$3x + 5 = 20$	Gegeben
2	$3x = 15$	Subtraktionseigenschaft der Gleichheit
3	$x = 5$	Divisionseigenschaft der Gleichheit

Jede Begründung muss eine gegebene Information, eine Definition, eine Eigenschaft, ein Postulat oder ein schon bewiesener Satz sein. Die Begründungen, die du am häufigsten brauchst:

Begründung	Was sie erlaubt
Additions- und Subtraktionseigenschaft der Gleichheit	Wenn $a = b$ , dann $a + c = b + c$ und $a - c = b - c$
Multiplikations- und Divisionseigenschaft der Gleichheit	Wenn $a = b$ , dann $ac = bc$ und $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$ für $c \neq 0$
Einsetzen (Substitution)	Wenn $a = b$ , darfst du in jeder Aussage $a$ durch $b$ ersetzen
Distributivgesetz	$a(b + c) = ab + ac$
Reflexive Eigenschaft	$a = a$
Symmetrische Eigenschaft	Wenn $a = b$ , dann $b = a$
Transitive Eigenschaft	Wenn $a = b$ und $b = c$ , dann $a = c$

Bei Strecken und Winkeln brauchst du außerdem:

Streckenaddition (Postulat): Liegt $B$ auf einer Geraden zwischen $A$ und $C$ , dann gilt $AB + BC = AC$
Winkeladdition (Postulat): Liegt der Punkt $D$ im Inneren von $\angle ABC$ , dann gilt $m\angle ABD + m\angle DBC = m\angle ABC$
Definitionen: Zwei Winkel ergänzen sich zu $90^\circ$ (Komplementwinkel) oder zu $180^\circ$ (Supplementwinkel)
Scheitelwinkelsatz: Scheitelwinkel sind gleich groß

Lösungsbeispiele

Gegeben: $3x + 5 = 20$ . Zu zeigen: $x = 5$ . Schreibe den Beweis in zwei Spalten.

Schreibe das Gegebene als Aussage 1

Aussage: $3x + 5 = 20$ → Begründung: Gegeben

Subtrahiere auf beiden Seiten 5

$3x + 5 - 5 = 20 - 5$ , also Aussage: $3x = 15$ → Begründung: Subtraktionseigenschaft der Gleichheit

Dividiere beide Seiten durch 3

$\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}$ , also Aussage: $x = 5$ → Begründung: Divisionseigenschaft der Gleichheit

Prüfe, ob die letzte Aussage die zu zeigende ist

Aussage 3 lautet $x = 5$ , genau das sollten wir zeigen → Der Beweis ist fertig

Antwort: 1. $3x + 5 = 20$ (Gegeben); 2. $3x = 15$ (Subtraktionseigenschaft der Gleichheit); 3. $x = 5$ (Divisionseigenschaft der Gleichheit).

Häufige Fehler

Aufschreiben, was du getan hast, statt einer Begründung, zum Beispiel "Ich habe die 5 auf die andere Seite gebracht"

Warum es falsch ist: Eine Begründung muss eine Regel nennen, die alle anerkennen. Eine Zahl "rüberbringen" ist keine Regel und versteckt, was wirklich passiert ist.

Richtig: Nenne die Eigenschaft: Von $3x + 5 = 20$ zu $3x = 15$ ist die Subtraktionseigenschaft der Gleichheit (auf beiden Seiten wurde 5 subtrahiert).

Division statt Multiplikation wählen bei $\frac{x}{4} = 3$ zu $x = 12$

Warum es falsch ist: Der Schritt macht eine Division rückgängig, aber was du tatsächlich tust, ist beide Seiten mit 4 zu multiplizieren.

Richtig: Frage dich, was du mit beiden Seiten gemacht hast. $\frac{x}{4} \cdot 4 = 3 \cdot 4$ ist die Multiplikationseigenschaft der Gleichheit.

Die zu zeigende Aussage als Begründung oder als Aussage 1 verwenden

Warum es falsch ist: Die zu zeigende Aussage ist das Ziel. Wer sie benutzt, bevor er sie erreicht hat, dreht sich im Kreis und beweist nichts.

Richtig: Aussage 1 ist immer eine gegebene Information. Die zu zeigende Aussage kommt nur einmal vor, als letzte Aussage.

Zwei Umformungen in einer Zeile mit einer einzigen Begründung

Warum es falsch ist: Von $2(x - 4) = 10$ direkt zu $2x = 18$ braucht man zwei verschiedene Eigenschaften, eine Begründung reicht dafür nicht.

Richtig: Eine Umformung pro Zeile: zuerst $2x - 8 = 10$ (Distributivgesetz), dann $2x = 18$ (Additionseigenschaft der Gleichheit).

Warum es wichtig ist

Zwei-Spalten-Beweise machen jeden Schritt einer Argumentation sichtbar:

Keine versteckten Sprünge: Jede Aussage braucht ihre eigene Begründung, so fallen Lücken und Fehler sofort auf
Algebra mit Verständnis: Beim Lösen einer Gleichung lernst du genau, welche Eigenschaft jeden Schritt erlaubt
Geometrie: Die meisten Schulbeweise über Strecken, Winkel und Dreiecke werden in zwei Spalten geschrieben
Programmieren: Code Zeile für Zeile zu prüfen, mit einer Begründung für jede Zeile, funktioniert genauso
Klare Kommunikation: Andere können deinen Beweis Zeile für Zeile nachprüfen

Wenn du jeden Schritt begründen kannst, kannst du deinem Ergebnis vertrauen, und alle anderen auch!

Anwendungen im echten Leben

Code Zeile für Zeile prüfen

Programmierer zeigen, dass eine Berechnung stimmt, indem sie jede Zeile begründen, genau wie die Zeilen eines Zwei-Spalten-Beweises.

Beispiel:

Ein Programm löst $4x - 7 = 21$ . Eine Prüferin kontrolliert jede Zeile: 7 addieren (Additionseigenschaft), dann durch 4 dividieren (Divisionseigenschaft).

1Probiere es selbst

Das Programm erhält $4x - 7 = 21$ als gegeben und muss zeigen, dass $x = 7$ ist.

Welchen Wert erreicht der Beweis für $x$ ?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Rechnung, die beide Rechenschritte rückgängig macht:

Ein Regalwinkel

Schreiner nutzen die Winkeladdition, wenn eine schräge Strebe den rechten Winkel zwischen Wand und Regalbrett teilt.

Beispiel:

Wand und Regalbrett treffen sich unter $90^\circ$ . Eine Strebe teilt diese Ecke in zwei Winkel, die zusammen $90^\circ$ ergeben.

2Probiere es selbst

Die Strebe bildet mit der Wand einen Winkel von $38^\circ$ . Die beiden Winkel in der Ecke bilden zusammen den $90^\circ$ -Winkel zwischen Wand und Brett.

Beweise, wie groß der Winkel zwischen Strebe und Regalbrett ist.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Rechnung für den zweiten Winkel:

Entfernungen auf einer geraden Straße

Auf einer geraden Straße folgen die Entfernungen zwischen Orten der Streckenaddition, so lässt sich eine fehlende Entfernung beweisen.

Beispiel:

Liegt der Ort $B$ zwischen den Orten $A$ und $C$ , dann gilt $AB + BC = AC$ .

3Probiere es selbst

Die Orte $A$ , $B$ , $C$ liegen in dieser Reihenfolge an einer geraden Straße. $AB = 35$ km und $AC = 120$ km.

Beweise, wie weit es von $B$ nach $C$ ist.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Rechnung für $BC$ :

Wichtige Erkenntnisse

1Ein Zwei-Spalten-Beweis listet links die Aussagen und rechts ihre Begründungen auf
2Er beginnt mit dem Gegebenen und endet genau mit der Aussage, die zu zeigen war
3Jede Begründung ist das Gegebene, eine Definition, eine Eigenschaft, ein Postulat oder ein früherer Satz
4Eigenschaften der Gleichheit: Was du auf einer Seite addierst, subtrahierst, multiplizierst oder dividierst, machst du auch auf der anderen
5Einsetzen, die reflexive, symmetrische und transitive Eigenschaft und das Distributivgesetz sind ebenfalls gültige Begründungen
6Bei Strecken und Winkeln nutzt du Strecken- und Winkeladdition, die Definitionen (Ergänzung zu $90^\circ$ bzw. $180^\circ$ ) und den Scheitelwinkelsatz

Häufig gestellte Fragen

Ist ein Zwei-Spalten-Beweis etwas anderes als das Lösen einer Gleichung?

Die Schritte sind dieselben. Der Unterschied: Im Beweis schreibst du zu jedem Schritt die Begründung, du zeigst also nicht nur das Ergebnis, sondern auch, warum jeder Schritt erlaubt ist.

Woher weiß ich, welche Begründung ich schreiben soll?

Vergleiche die neue Aussage mit der vorherigen und frage dich, was sich geändert hat. Wurde auf beiden Seiten etwas addiert? Wurde eine Klammer ausmultipliziert? Wurde ein Wert für einen anderen eingesetzt? Die Änderung verrät dir die Begründung.

Was ist der Unterschied zwischen Einsetzen und der transitiven Eigenschaft?

Die transitive Eigenschaft arbeitet mit drei gleichen Dingen: Wenn

a = b

und

b = c

, dann

a = c

. Einsetzen ist allgemeiner: Du ersetzt eine Größe in einer beliebigen Aussage durch eine gleich große, zum Beispiel

65^\circ

statt

m\angle 1

. Viele Lehrkräfte akzeptieren beides, wenn beides passt.

Kann ein Beweis mehrere richtige Versionen haben?

Ja. Manchmal kannst du die Schritte in anderer Reihenfolge machen oder eine andere Eigenschaft benutzen. Ein Beweis ist richtig, solange jede Aussage aus früheren folgt und jede Begründung gültig ist.

Glossar

Zwei-Spalten-Beweis: Ein Beweis in Tabellenform mit Aussagen links und Begründungen rechts
Aussage: Ein Schritt des Beweises: eine Tatsache, die wir an dieser Stelle wissen, etwa $3x = 15$
Begründung: Die Regel, die eine Aussage rechtfertigt: Gegebenes, Definition, Eigenschaft, Postulat oder Satz
Gegeben / zu zeigen: Gegeben ist die Information, mit der du beginnst; zu zeigen ist die Aussage, die du am Ende erreichen musst
Eigenschaft der Gleichheit: Eine Regel, nach der eine Gleichung wahr bleibt, wenn du auf beiden Seiten dieselbe Rechnung ausführst
Postulat: Eine Aussage, die ohne Beweis angenommen wird, zum Beispiel die Streckenaddition

Formelkarte

Additionseigenschaft der Gleichheit

a = b \Rightarrow a + c = b + c

Auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren

Subtraktionseigenschaft der Gleichheit

a = b \Rightarrow a - c = b - c

Auf beiden Seiten dieselbe Zahl subtrahieren

Multiplikationseigenschaft der Gleichheit

a = b \Rightarrow ac = bc

Beide Seiten mit derselben Zahl multiplizieren

Divisionseigenschaft der Gleichheit

a = b \Rightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{c},\ c \neq 0

Beide Seiten durch dieselbe Zahl ungleich null dividieren

Distributivgesetz

a(b + c) = ab + ac

Eine Zahl in eine Klammer hineinmultiplizieren

Reflexiv, symmetrisch, transitiv

a = a;\ a = b \Rightarrow b = a;\ a = b,\ b = c \Rightarrow a = c

Grundlegende Eigenschaften der Gleichheit

Streckenaddition

AB + BC = AC

Wenn B auf einer Geraden zwischen A und C liegt

Winkel, die sich zu 90° oder 180° ergänzen

m\angle 1 + m\angle 2 = 90^\circ \text{ oder } 180^\circ

Definitionen von Komplement- und Supplementwinkeln

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Code Zeile für Zeile prüfen

Ein Regalwinkel

Entfernungen auf einer geraden Straße

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Additionseigenschaft der Gleichheit

Subtraktionseigenschaft der Gleichheit

Multiplikationseigenschaft der Gleichheit

Divisionseigenschaft der Gleichheit

Distributivgesetz

Reflexiv, symmetrisch, transitiv

Streckenaddition

Winkel, die sich zu 90° oder 180° ergänzen

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