Zwei-Spalten-Beweise

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welche Begründung steht in einem Zwei-Spalten-Beweis neben Aussage 1?
1. a)Reflexive Eigenschaft
2. b)Definition (Winkel ergänzen sich zu 180°)
3. c)Einsetzen (Substitution)
4. d)Gegeben
Lösung: Gegeben
Ein Beweis beginnt mit den Informationen, die wir erhalten, also wird Aussage 1 mit "Gegeben" begründet.
2.
Gegeben: $3x + 5 = 20$ . Aussage 2 nutzt die Subtraktionseigenschaft der Gleichheit (auf beiden Seiten 5 subtrahieren): $3x = \square$ . Welche Zahl gehört in das Kästchen?
Lösung: 15
$3x + 5 - 5 = 20 - 5$ ergibt $3x = 15$ , begründet mit der Subtraktionseigenschaft der Gleichheit.
3.
Gegeben: $x + 9 = 14$ . Zu zeigen: $x = 5$ . Vervollständige den Zwei-Spalten-Beweis.
Lösung: 5
1. Aussage 1 ist $x + 9 = 14$ (Gegeben). Welche Zahl subtrahierst du auf beiden Seiten? 9
2. Aussage 2 (Subtraktionseigenschaft der Gleichheit): $x = ?$ 5
3. Wie viele Aussagen hat der fertige Beweis? 2
4.
Welche Begründung rechtfertigt die Aussage $AB = AB$ ?
1. a)Transitive Eigenschaft
2. b)Einsetzen (Substitution)
3. c)Reflexive Eigenschaft
4. d)Symmetrische Eigenschaft
Lösung: Reflexive Eigenschaft
$a = a$ ist die reflexive Eigenschaft. Die symmetrische macht aus $a = b$ die Aussage $b = a$ , die transitive braucht zwei Gleichungen.
5.
Gegeben: $\angle A$ und $\angle B$ ergänzen sich zu $90^\circ$ , $m\angle A = 34^\circ$ . Wie groß ist $m\angle B$ nach der Definition und der Subtraktionseigenschaft der Gleichheit? Schreibe nur die Gradzahl.
Lösung: 56
$m\angle A + m\angle B = 90^\circ$ , also $34^\circ + m\angle B = 90^\circ$ und $m\angle B = 56^\circ$ .
6.
Gegeben: $\angle 1$ und $\angle 2$ ergänzen sich zu $180^\circ$ , $m\angle 1 = 120^\circ$ . Zu zeigen: $m\angle 2 = 60^\circ$ .
Lösung: 60
1. Nach der Definition ergibt $m\angle 1 + m\angle 2$ wie viel Grad? 180
2. Durch Einsetzen gilt $120 + m\angle 2 = 180$ . Nach der Subtraktionseigenschaft der Gleichheit ist $m\angle 2 = ?$ 60
7.
Aussage 1: $\frac{x}{4} = 3$ (Gegeben). Aussage 2: $x = 12$ . Welche Begründung rechtfertigt Aussage 2?
1. a)Distributivgesetz
2. b)Einsetzen (Substitution)
3. c)Multiplikationseigenschaft der Gleichheit
4. d)Divisionseigenschaft der Gleichheit
Lösung: Multiplikationseigenschaft der Gleichheit
Beide Seiten wurden mit 4 multipliziert: $\frac{x}{4} \cdot 4 = 3 \cdot 4$ . Das ist die Multiplikationseigenschaft der Gleichheit, auch wenn sie eine Division rückgängig macht.
8.
Gegeben: $4(x + 3) = 36$ . Zu zeigen: $x = 6$ .
Lösung: 6
1. Distributivgesetz: Aussage 2 lautet $4x + \square = 36$ . Welche Zahl? 12
2. Subtraktionseigenschaft der Gleichheit: $4x = ?$ 24
3. Divisionseigenschaft der Gleichheit: $x = ?$ 6
9.
Die Punkte $A$ , $B$ , $C$ liegen in dieser Reihenfolge auf einer Geraden. $AB = 2x + 1$ , $BC = 7$ und $AC = 20$ . Nutze die Streckenaddition und beweise den Wert von $x$ . Wie groß ist $x$ ?
Lösung: 6
$AB + BC = AC$ (Streckenaddition), also $2x + 1 + 7 = 20$ (Einsetzen), $2x + 8 = 20$ , $2x = 12$ (Subtraktionseigenschaft), $x = 6$ (Divisionseigenschaft).
10.
$\angle 1$ und $\angle 3$ sind Scheitelwinkel mit $m\angle 1 = (4x + 5)^\circ$ und $m\angle 3 = 65^\circ$ . Zu zeigen: $x = 15$ .
Lösung: 15
1. Scheitelwinkelsatz: $4x + 5 = \square$ . Welche Zahl? 65
2. Subtraktionseigenschaft der Gleichheit: $4x = ?$ 60
3. Divisionseigenschaft der Gleichheit: $x = ?$ 15
11.
Beweis: 1. $5x - 2 = 3x + 8$ (Gegeben); 2. $2x - 2 = 8$ (Subtraktionseigenschaft der Gleichheit); 3. $2x = 10$ (?); 4. $x = 5$ (Divisionseigenschaft der Gleichheit). Welche Begründung gehört zu Schritt 3?
1. a)Divisionseigenschaft der Gleichheit
2. b)Additionseigenschaft der Gleichheit
3. c)Subtraktionseigenschaft der Gleichheit
4. d)Transitive Eigenschaft
Lösung: Additionseigenschaft der Gleichheit
Von $2x - 2 = 8$ zu $2x = 10$ wurde auf beiden Seiten 2 addiert: die Additionseigenschaft der Gleichheit.
12.
Gegeben: $\frac{x}{2} - 3 = 4$ . Beweise den Wert von $x$ mit der Additions- und danach der Multiplikationseigenschaft der Gleichheit. Wie groß ist $x$ ?
Lösung: 14
Additionseigenschaft: $\frac{x}{2} = 7$ . Multiplikationseigenschaft (mal 2): $x = 14$ . Probe: $\frac{14}{2} - 3 = 4$ .
13.
Gegeben: $7x - 4 = 3x + 16$ . Zu zeigen: $x = 5$ .
Lösung: 5
1. Subtraktionseigenschaft der Gleichheit ( $3x$ subtrahieren): Aussage 2 lautet $\square x - 4 = 16$ . Welche Zahl? 4
2. Additionseigenschaft der Gleichheit: $4x = ?$ 20
3. Divisionseigenschaft der Gleichheit: $x = ?$ 5
14.
Finde den Fehler. 1. $\frac{x}{3} + 2 = 6$ (Gegeben); 2. $\frac{x}{3} = 4$ (Subtraktionseigenschaft der Gleichheit); 3. $x = 12$ (Divisionseigenschaft der Gleichheit). Welcher Teil des Beweises ist falsch?
1. a)Begründung 2
2. b)Aussage 2
3. c)Begründung 3
4. d)Aussage 3
Lösung: Begründung 3
Alle Aussagen stimmen: $\frac{x}{3} = 4$ und $x = 12$ . Aber in Schritt 3 werden beide Seiten mit 3 multipliziert ( $\frac{x}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$ ), also muss Begründung 3 die Multiplikationseigenschaft der Gleichheit sein.
15.
$\angle 1$ und $\angle 3$ sind Scheitelwinkel mit $m\angle 1 = (5x - 10)^\circ$ und $m\angle 3 = (3x + 20)^\circ$ . Beweise den Wert von $x$ und berechne dann $m\angle 1$ . Schreibe nur die Gradzahl.
Lösung: 65
Scheitelwinkelsatz: $5x - 10 = 3x + 20$ . Subtraktionseigenschaft: $2x - 10 = 20$ . Additionseigenschaft: $2x = 30$ . Divisionseigenschaft: $x = 15$ . Einsetzen: $m\angle 1 = 5 \cdot 15 - 10 = 65^\circ$ (und $m\angle 3 = 3 \cdot 15 + 20 = 65^\circ$ ).
16.
$\angle 1$ und $\angle 2$ sind Nebenwinkel, $m\angle 1 = (3x + 10)^\circ$ und $m\angle 2 = (2x + 20)^\circ$ . Zu zeigen: $m\angle 1 = 100^\circ$ .
Lösung: 100
1. Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°: $(3x + 10) + (2x + 20) = ?$ 180
2. Vereinfacht: $5x + 30 = 180$ . Subtraktionseigenschaft der Gleichheit: $5x = ?$ 150
3. Divisionseigenschaft der Gleichheit: $x = ?$ 30
4. Einsetzen: $m\angle 1 = 3 \cdot 30 + 10 = ?$ 100
17.
Die Punkte $A$ , $B$ , $C$ liegen in dieser Reihenfolge auf einer Geraden. $AB = x + 4$ , $BC = 2x + 5$ und $AC = 30$ . Zu zeigen: $AB = 11$ .
Lösung: 11
1. Streckenaddition und Einsetzen: $(x + 4) + (2x + 5) = 30$ . Vereinfacht: $3x + \square = 30$ . Welche Zahl? 9
2. Subtraktionseigenschaft der Gleichheit: $3x = ?$ 21
3. Divisionseigenschaft der Gleichheit: $x = ?$ 7
4. Einsetzen: $AB = x + 4 = ?$ 11
18.
Der Punkt $C$ liegt im Inneren des rechten Winkels $\angle ABD$ . $m\angle ABC = (2x)^\circ$ und $m\angle CBD = (3x + 15)^\circ$ . Zu zeigen: $m\angle CBD = 60^\circ$ .
Lösung: 60
1. Winkeladdition und Definition des rechten Winkels: $2x + (3x + 15) = ?$ 90
2. Vereinfacht: $5x + 15 = 90$ . Subtraktionseigenschaft der Gleichheit: $5x = ?$ 75
3. Divisionseigenschaft der Gleichheit: $x = ?$ 15
4. Einsetzen: $m\angle CBD = 3 \cdot 15 + 15 = ?$ 60