Volumen von Zylindern

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Mit welcher Formel berechnest du das Volumen eines Zylinders mit Radius $r$ und Höhe $h$ ?
1. a) $V = 2\pi r h$
2. b) $V = \pi r h$
3. c) $V = \pi r^2 h$
4. d) $V = \pi d^2 h$
Lösung: $V = \pi r^2 h$
Die Grundfläche ist ein Kreis mit dem Flächeninhalt $\pi r^2$ , und Volumen ist Grundfläche mal Höhe, also $V = \pi r^2 h$ . Die Formel $2\pi r h$ gehört zur Mantelfläche, nicht zum Volumen.
2.
Ein Zylinder hat den Radius $2$ cm und die Höhe $5$ cm. Sein Volumen ist $V = \square\pi$ cm³. Welche Zahl gehört in das Kästchen?
Lösung: 20
$V = \pi \times 2^2 \times 5 = \pi \times 4 \times 5 = 20\pi$ cm³.
3.
Ein Zylinder hat einen Durchmesser von $10$ cm. Welchen Wert setzt du für $r$ in $V = \pi r^2 h$ ein?
1. a)2,5 cm
2. b)10 cm
3. c)5 cm
4. d)20 cm
Lösung: 5 cm
Der Radius ist der halbe Durchmesser: $r = 10 \div 2 = 5$ cm. Mit $10$ wäre das Volumen 4-mal zu groß.
4.
Ein Zylinder hat den Radius $10$ cm und die Höhe $10$ cm. Berechne sein Volumen in cm³. Rechne mit $\pi \approx 3{,}14$ .
Lösung: 3140
$V \approx 3{,}14 \times 10^2 \times 10 = 3{,}14 \times 1000 = 3140$ cm³.
5.
Berechne das Volumen eines Zylinders mit Radius $3$ cm und Höhe $4$ cm. Rechne mit $\pi \approx 3{,}14$ und runde nicht.
Lösung: 113.04
1. Was ist $r^2$ ? 9
2. Was ist $r^2 \times h$ ? 36
3. Wie groß ist das Volumen in cm³? 113.04
6.
Eine Dose hat einen Durchmesser von $6$ cm und eine Höhe von $10$ cm. Wie groß ist ihr Volumen, ausgedrückt mit $\pi$ ?
1. a) $90\pi$ cm³
2. b) $360\pi$ cm³
3. c) $30\pi$ cm³
4. d) $60\pi$ cm³
Lösung: $90\pi$ cm³
$r = 6 \div 2 = 3$ , also $V = \pi \times 3^2 \times 10 = 90\pi$ cm³. $360\pi$ entsteht, wenn man den Durchmesser quadriert.
7.
Ein Zylinder hat einen Durchmesser von $8$ cm und eine Höhe von $5$ cm. Berechne sein Volumen mit $\pi \approx 3{,}14$ . Runde auf ganze cm³.
Lösung: 251
$r = 4$ , $V \approx 3{,}14 \times 16 \times 5 = 3{,}14 \times 80 = 251{,}2$ , gerundet $251$ cm³.
8.
Ein zylinderförmiger Wassertank hat den Radius $50$ cm und die Höhe $100$ cm. Wie viele Liter fasst er? Rechne mit $\pi \approx 3{,}14$ .
Lösung: 785
1. Was ist $r^2$ ? 2500
2. Was ist $r^2 \times h$ ? 250000
3. Wie groß ist das Volumen in cm³? 785000
4. Wie viele Liter sind das? 785
9.
Ein Zylinder hat ein Volumen von $942$ cm³ und einen Radius von $5$ cm. Berechne seine Höhe. Rechne mit $\pi \approx 3{,}14$ .
Lösung: 12
1. Was ist $r^2$ ? 25
2. Wie groß ist die Grundfläche $B$ in cm²? 78.5
3. Wie groß ist die Höhe in cm? 12
10.
Du verdoppelst den Radius eines Zylinders, die Höhe bleibt gleich. Was passiert mit dem Volumen?
1. a)Es wird 4-mal so groß
2. b)Es verdoppelt sich
3. c)Es wird 8-mal so groß
4. d)Es bleibt gleich
Lösung: Es wird 4-mal so groß
Der Radius wird quadriert, deshalb wird das Volumen beim Verdoppeln mit $2^2 = 4$ multipliziert: $\pi (2r)^2 h = 4\pi r^2 h$ .
11.
Ein Zylinder hat ein Volumen von $50\pi$ cm³ und einen Radius von $5$ cm. Wie hoch ist er in cm?
Lösung: 2
$h = V \div (\pi r^2) = 50\pi \div 25\pi = 2$ cm. Hier brauchst du $3{,}14$ nicht, weil sich $\pi$ wegkürzt.
12.
Eine Suppendose hat einen Durchmesser von $10$ cm und eine Höhe von $12$ cm. Wie viele Liter fasst sie? Rechne mit $\pi \approx 3{,}14$ .
Lösung: 0.942
1. Wie groß ist der Radius in cm? 5
2. Was ist $r^2 \times h$ ? 300
3. Wie groß ist das Volumen in cm³? 942
4. Wie viele Liter sind das? 0.942
13.
Ein runder Tank ist $2$ m breit (Durchmesser) und $1{,}5$ m hoch. Wie viele Liter fasst er? Rechne mit $\pi \approx 3{,}14$ und $1$ m³ $= 1000$ L.
Lösung: 4710
1. Wie groß ist der Radius in Metern? 1
2. Wie groß ist das Volumen in m³? 4.71
3. Wie viele Liter sind das? 4710
14.
Ein Zylinder ist $20$ cm hoch und hat ein Volumen von $1570$ cm³. Berechne seinen Radius. Rechne mit $\pi \approx 3{,}14$ .
Lösung: 5
1. Was ist $3{,}14 \times h$ ? 62.8
2. Was ist $r^2$ ? 25
3. Wie groß ist der Radius in cm? 5
15.
Zylinder A hat den Radius $4$ cm und die Höhe $3$ cm. Zylinder B hat den Radius $3$ cm und die Höhe $4$ cm. Welcher fasst mehr?
1. a)Zylinder B
2. b)Ohne Taschenrechner kann man das nicht sagen
3. c)Zylinder A
4. d)Beide fassen gleich viel
Lösung: Zylinder A
$V_A = \pi \times 4^2 \times 3 = 48\pi$ und $V_B = \pi \times 3^2 \times 4 = 36\pi$ . A fasst mehr, weil der Radius quadriert wird und stärker zählt als die Höhe.
16.
Ein Zylinder hat den Radius $2{,}5$ cm und die Höhe $7$ cm. Berechne sein Volumen mit $\pi \approx 3{,}14$ . Runde auf Zehntel cm³.
Lösung: 137.4
$6{,}25 \times 7 = 43{,}75$ und $43{,}75 \times 3{,}14 = 137{,}375$ , gerundet $137{,}4$ cm³.
17.
Eine volle Dose (Radius $4$ cm, Höhe $15$ cm) wird in Gläser gegossen. Jedes Glas ist ein Zylinder mit Radius $3$ cm und Höhe $8$ cm. Wie viele Gläser kannst du ganz füllen?
Lösung: 3
1. Die Dose fasst $V = \square\pi$ cm³. Welche Zahl gehört in das Kästchen? 240
2. Ein Glas fasst $V = \square\pi$ cm³. Welche Zahl gehört in das Kästchen? 72
3. Wie viele Gläser kannst du ganz füllen? 3
18.
Ein zylinderförmiges Aquarium hat einen Durchmesser von $40$ cm und eine Höhe von $50$ cm. Wie viele Liter fasst es? Rechne mit $\pi \approx 3{,}14$ und runde auf ganze Liter.
Lösung: 63
1. Wie groß ist der Radius in cm? 20
2. Was ist $r^2 \times h$ ? 20000
3. Wie groß ist das Volumen in cm³? 62800
4. Wie viele Liter sind das, auf ganze Liter gerundet? 63