Leitfaden für Lehrer: Volumen von Kugeln

Lerne, das Volumen einer Kugel und einer Halbkugel mit V = (4/3)πr³ zu berechnen und aus dem Volumen den Radius zu bestimmen.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Volumen & Kapazität. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Das Volumen einer Kugel mit $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ berechnen, ausgehend vom Radius oder vom Durchmesser
Das Volumen einer Halbkugel als halbes Kugelvolumen berechnen
Ergebnisse sowohl mit $\pi$ als auch als Dezimalzahl mit $\pi \approx 3{,}14$ und angegebener Rundung angeben
Den Radius einer Kugel aus ihrem Volumen mithilfe von Kubikwurzeln aus Kubikzahlen bestimmen
Das Ergebnis des Archimedes erklären, dass eine Kugel $\frac{2}{3}$ ihres umgebenden Zylinders ausfüllt

Voraussetzungen

• Radius und Durchmesser eines Kreises ( $d = 2r$ )
• Zahlen hoch 3 nehmen und Kubikwurzeln aus kleinen Kubikzahlen ( $\sqrt[3]{27} = 3$ )
• Volumen von Zylindern ( $V = \pi r^2 h$ ), für den Vergleich nach Archimedes
• Volumen als Raum in Kubikeinheiten (Einführung in das Volumen, Volumen von Würfeln)
• Mit einem Bruch wie $\frac{4}{3}$ multiplizieren

Diskussionsstarter

1. Ein Basketball ist etwa doppelt so breit wie ein Softball. Ist sein Volumen doppelt so groß? Wie könntest du das überprüfen?
2. Warum steht der Radius in der Volumenformel wohl hoch 3, bei der Kreisfläche aber hoch 2?
3. Wann ist ein Ergebnis wie $36\pi$ nützlicher als $113{,}04$ , und wann ist die Dezimalzahl besser?
4. Archimedes wollte eine Kugel in einem Zylinder auf seinem Grabstein haben. Warum war er auf diese Entdeckung wohl so stolz?
5. Wie würdest du das Volumen einer Orange oder einer Wassermelone schätzen, ohne sie aufzuschneiden?

Häufige Missverständnisse

Verdoppelt man den Radius, verdoppelt sich das Volumen

Abhilfe: Rechne $r = 1$ und $r = 2$ nebeneinander: $\frac{4}{3}\pi$ und $\frac{32}{3}\pi$ . Das zweite ist $8$ -mal so groß wie das erste. Verbinde das mit $2^3 = 8$ und damit, dass man $8$ kleine Würfel zu einem doppelt so breiten Würfel stapelt.

Eine Halbkugel hat den halben Radius der Kugel

Abhilfe: Schneide vor der Klasse eine Orange durch. Die flache Schnittfläche ist so breit wie die ganze Orange, der Radius hat sich also nicht geändert; nur die Menge Orange ist halbiert.

Die Kubikwurzel einer Zahl ist die Zahl geteilt durch $3$

Abhilfe: Teste es: $27 \div 3 = 9$ , aber $9 \times 9 \times 9 = 729$ , nicht $27$ . Erstelle eine Liste der Kubikzahlen von $1^3$ bis $10^3$ und benutze sie, um $r^3$ rückgängig zu machen.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Beginne mit den Radien $1$ , $2$ , $3$ und gib eine Tabelle der Kubikzahlen aus
• Lass die Ergebnisse zuerst mit $\pi$ stehen, damit nur mit ganzen Zahlen gerechnet wird
• Benutze eine Checkliste: Durchmesser halbieren, $r$ hoch 3, mal $\frac{4}{3}$ , dann mal $\pi$

Für Schüler auf Niveau:

• Mische Aufgaben mit Radius und mit Durchmesser, mit Ergebnissen mit $\pi$ und mit $3{,}14$
• Löse Aufgaben zu Halbkugeln wie Schüsseln und Kuppeln
• Bestimme den Radius aus einem Volumen, das auf eine Kubikzahl führt

Für fortgeschrittene Schüler:

• Begründe, warum das Verdreifachen des Radius das Volumen mit $27$ multipliziert
• Vergleiche eine Kugel mit dem Würfel, der um sie herum passt (welchen Anteil füllt die Kugel?)
• Bestimme den Radius aus einem Volumen, das keine Kubikzahl ergibt, mit der Kubikwurzel des Taschenrechners

Standardausrichtung

8.G.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.8.G.C.9)
Die Formeln für das Volumen von Kegeln, Zylindern und Kugeln kennen und damit Sachaufgaben und mathematische Probleme lösen
8.EE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.2)
Quadrat- und Kubikwurzelzeichen benutzen, um Lösungen von Gleichungen darzustellen; Kubikwurzeln kleiner Kubikzahlen berechnen
HSG.GMD.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.GMD.A.3)
Volumenformeln für Zylinder, Pyramiden, Kegel und Kugeln zum Lösen von Aufgaben verwenden

Lektionsressourcen

visual3D-Kugelbetrachter
Verändere den Radius und beobachte, wie das Volumen mit der dritten Potenz des Radius wächst
activityDie Dose des Archimedes
Fülle ein kugelförmiges Gefäß mit Wasser oder Reis und gieße es in eine Dose mit gleicher Breite und Höhe, um die 2/3 zu sehen
worksheetBälle, Schüsseln und Planeten
Gemischte Übungen: Durchmesser zu Radius, Halbkugeln, Ergebnisse mit Pi und mit 3,14, Radius aus dem Volumen

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Eine Kugel ist ein vollkommen runder Körper, wie ein Ball. Jeder Punkt auf ihrer Oberfläche hat denselben Abstand vom Mittelpunkt. Dieser Abstand ist der Radius

r

. Der Durchmesser

d

geht genau durch den Mittelpunkt, also gilt

d = 2r

und

r = \frac{d}{2}

Das Volumen einer Kugel (der Raum in ihrem Inneren) ist:

V = \frac{4}{3}\pi r^3

Der Radius wird hoch 3 genommen (

r^3 = r \times r \times r

), denn das Volumen misst man in Kubikeinheiten wie cm³ oder m³.

Eine Halbkugel ist genau die Hälfte einer Kugel, also ist ihr Volumen halb so groß:

V_{\text{Halbkugel}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3

Du kannst das Ergebnis auf zwei Arten angeben:

Mit π: Du behältst das Symbol, zum Beispiel $V = 36\pi$ cm³ (das ist exakt).
Als Dezimalzahl: Du rechnest mit $\pi \approx 3{,}14$ und rundest wie verlangt, zum Beispiel $36 \times 3{,}14 = 113{,}04$ cm³.

Lösungsbeispiele

Ein Ball hat einen Radius von $3$ cm. Berechne sein Volumen mit $\pi$ , dann mit $\pi \approx 3{,}14$ , gerundet auf Hundertstel.

Schreibe die Formel auf

$V = \frac{4}{3}\pi r^3$ → Formel bereit

Nimm den Radius hoch 3

$r^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$ → $r^3 = 27$

Multipliziere mit $\frac{4}{3}$

$\frac{4}{3} \times 27 = \frac{108}{3} = 36$ → $V = 36\pi$ cm³

Ersetze $\pi$ durch $3{,}14$

$36 \times 3{,}14 = 113{,}04$ → $V \approx 113{,}04$ cm³

Antwort: Das Volumen ist $36\pi$ cm³, also etwa $113{,}04$ cm³.

Häufige Fehler

Den Durchmesser statt des Radius verwenden

Warum es falsch ist: Die Formel braucht den Radius. Eine Kugel mit $10$ cm Durchmesser hat den Radius $5$ cm. Mit $10$ wird $r^3$ gleich $1000$ statt $125$ , das Ergebnis ist also $8$ -mal zu groß.

Richtig: Halbiere immer zuerst den Durchmesser: $r = \frac{d}{2}$ . Dann nimm $r$ hoch 3.

Den Radius quadrieren statt hoch 3 nehmen

Warum es falsch ist: Die Kreisfläche benutzt $r^2$ , deshalb schreibt man leicht aus Gewohnheit $r^2$ . Das Volumen ist aber dreidimensional und braucht drei Faktoren $r$ .

Richtig: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ , also für $r = 3$ : $r^3 = 27$ , nicht $9$ . Die Einheit ist cm³, nicht cm².

Bei der Halbkugel den Radius halbieren statt das Volumen

Warum es falsch ist: Eine Halbkugel hat denselben Radius wie die ganze Kugel. Nur das Volumen wird halbiert. Wer den Radius halbiert, macht das Volumen $8$ -mal kleiner, nicht $2$ -mal.

Richtig: Halbkugel: Behalte $r$ und rechne $V = \frac{2}{3}\pi r^3$ (die Hälfte von $\frac{4}{3}\pi r^3$ ).

Beim Bestimmen von $r$ durch $3$ teilen statt die Kubikwurzel ziehen

Warum es falsch ist: Wenn du bei $r^3 = 216$ ankommst, ist der Radius nicht $216 \div 3 = 72$ . $r^3$ bedeutet $r \times r \times r$ , du brauchst also die Zahl, die dreimal mit sich selbst multipliziert $216$ ergibt.

Richtig: $r = \sqrt[3]{216} = 6$ , weil $6 \times 6 \times 6 = 216$ . Lerne die Kubikzahlen $1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000$ .

Warum es wichtig ist

Runde Gegenstände gibt es überall, und ihr Volumen sagt dir, wie viel hineinpasst oder wie viel Material sie brauchen:

Sport: wie viel Luft in einem Fußball, einem Basketball oder einem Tennisball steckt
Essen: wie viel Eis in einer Kugel ist oder wie viele Kugeln aus einer Packung kommen
Naturwissenschaft: Seifenblasen, Regentropfen und Wassertröpfchen sind fast perfekte Kugeln
Weltraum: Planeten und Sterne sind fast kugelförmig, deshalb vergleichen Astronomen ihre Größe mit dieser Formel
Technik: runde Gastanks und Kuppeln (Halbkugeln) werden mit diesen Volumen geplant

Vor etwa 2200 Jahren entdeckte Archimedes, dass eine Kugel genau

\frac{2}{3}

des Zylinders ausfüllt, der genau um sie herum passt. Er war so stolz darauf, dass er sich eine Kugel und einen Zylinder auf seinem Grabstein wünschte!

Anwendungen im echten Leben

Sportbälle

Ballhersteller benutzen die Kugelformel, um zu wissen, wie viel Luft ein Ball fasst und wie viel Material er im Inneren braucht.

Beispiel:

Ein Tennisball hat einen Durchmesser von etwa $6{,}6$ cm, also $r = 3{,}3$ cm. Sein Volumen ist etwa $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 3{,}3^3 \approx 150$ cm³.

1Probiere es selbst

Ein Handball hat einen Durchmesser von $18$ cm.

Wie groß ist sein Volumen? Rechne mit $\pi \approx 3{,}14$ und runde auf Hundertstel.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Halbiere den Durchmesser, nimm den Radius hoch 3, multipliziere mit $\frac{4}{3}$ und mit $3{,}14$ :

Planeten und Weltraum

Planeten sind fast perfekte Kugeln. Weil der Radius hoch 3 genommen wird, hat ein Planet mit größerem Radius ein viel, viel größeres Volumen.

Beispiel:

Der Erdradius beträgt etwa $6371$ km, also ist das Volumen der Erde etwa $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 6371^3 \approx 1{,}08 \times 10^{12}$ km³ (über eine Billion Kubikkilometer).

2Probiere es selbst

Der Radius des Jupiters ist etwa $11$ -mal so groß wie der Radius der Erde.

Wie viele Erden würden ungefähr in den Jupiter passen, nach Volumen (wenn man sie schmelzen und hineingießen könnte)?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Wenn der Radius mit $11$ multipliziert wird, wird das Volumen mit $11^3$ multipliziert:

Eiskugeln und Seifenblasen

Ein Eisportionierer formt gleich große Kugeln, und eine Seifenblase ist eine dünne Haut um eine Kugel aus Luft. Beides sind Kugelvolumen.

Beispiel:

Eine Seifenblase mit dem Radius $5$ cm enthält etwa $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 125 \approx 523{,}33$ cm³ Luft, ungefähr einen halben Liter.

3Probiere es selbst

Eine Packung enthält $2$ Liter ( $2000$ cm³) Eis. Jede Eiskugel ist eine Kugel mit dem Radius $3$ cm.

Wie viele volle Kugeln kannst du servieren? Rechne mit $\pi \approx 3{,}14$ .

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Teile das Volumen der Packung durch das Volumen einer Kugel:

Wichtige Erkenntnisse

1Das Volumen einer Kugel ist $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ , wobei $r$ der Radius ist
2Wenn der Durchmesser gegeben ist, halbiere ihn zuerst: $r = \frac{d}{2}$
3Eine Halbkugel ist eine halbe Kugel: $V = \frac{2}{3}\pi r^3$ (gleicher Radius, halbes Volumen)
4Gib exakte Ergebnisse mit $\pi$ an (wie $36\pi$ cm³) oder rechne mit $\pi \approx 3{,}14$ und runde wie verlangt
5So findest du $r$ aus $V$ : durch $\pi$ teilen, mit $\frac{3}{4}$ multiplizieren, dann die Kubikwurzel ziehen
6Eine Kugel füllt genau $\frac{2}{3}$ des Zylinders, der um sie herum passt (Archimedes)

Häufig gestellte Fragen

Woher kommt das $\frac{4}{3}$ ?

Aus der Entdeckung des Archimedes. Der Zylinder, der genau um eine Kugel passt, hat den Radius

r

und die Höhe

2r

, also das Volumen

\pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3

. Die Kugel füllt

\frac{2}{3}

davon:

\frac{2}{3} \times 2\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3

Soll ich das Ergebnis mit $\pi$ stehen lassen oder mit $3{,}14$ rechnen?

Mach das, was die Aufgabe verlangt. Ein Ergebnis wie

36\pi

cm³ ist exakt. Mit

3{,}14

bekommst du eine Näherung als Dezimalzahl (

113{,}04

cm³). Mit der

\pi

-Taste des Taschenrechners ist das Ergebnis etwas anders (

113{,}10

cm³), also gib immer an, welchen Wert für

\pi

du benutzt und wie du gerundet hast.

Wie finde ich den Radius, wenn ich das Volumen kenne?

Mache die Formel Schritt für Schritt rückgängig: Teile das Volumen durch

\pi

, multipliziere mit

\frac{3}{4}

, um

r^3

zu erhalten, und ziehe dann die Kubikwurzel. Für

V = 288\pi

288 \times \frac{3}{4} = 216

und

\sqrt[3]{216} = 6

, also

r = 6

Wenn ich den Radius verdopple, verdoppelt sich dann das Volumen?

Nein, es wird

8

-mal so groß, weil

2^3 = 8

. Verdreifachst du den Radius, wird das Volumen

27

-mal so groß (

3^3 = 27

). Deshalb fasst ein Wasserball so viel mehr Luft als ein Tennisball.

Glossar

Kugel: Ein vollkommen runder Körper, bei dem jeder Punkt der Oberfläche denselben Abstand vom Mittelpunkt hat
Radius ( $r$ ): Der Abstand vom Mittelpunkt einer Kugel zu ihrer Oberfläche
Durchmesser ( $d$ ): Die Strecke quer durch die Kugel durch ihren Mittelpunkt; $d = 2r$
Halbkugel: Genau die Hälfte einer Kugel, durch den Mittelpunkt geschnitten; ihr Volumen ist $\frac{2}{3}\pi r^3$
Kubikwurzel: Die Zahl, die dreimal mit sich selbst multipliziert einen Wert ergibt; $\sqrt[3]{27} = 3$
Ergebnis mit $\pi$: Ein exaktes Ergebnis, in dem das Symbol $\pi$ stehen bleibt, wie $36\pi$ cm³

Formelkarte

Volumen einer Kugel

V = \frac{4}{3}\pi r^3

Vier Drittel mal Pi mal Radius hoch 3

Volumen einer Halbkugel

V = \frac{2}{3}\pi r^3

Die Hälfte des Volumens der Kugel mit demselben Radius

Radius aus dem Durchmesser

r = \frac{d}{2}

Halbiere den Durchmesser, bevor du die Formel benutzt

Radius aus dem Volumen

r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}

Durch Pi teilen, mit 3/4 multiplizieren, dann die Kubikwurzel ziehen

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Sportbälle

Planeten und Weltraum

Eiskugeln und Seifenblasen

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Volumen einer Kugel

Volumen einer Halbkugel

Radius aus dem Durchmesser

Radius aus dem Volumen

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Einführung in das Volumen

Metrische Volumeneinheiten (mL, L)

Volumen von Quadern

Imperiale Volumeneinheiten (Cup, Pint, Gallone)