Volumen von Kugeln

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Mit welcher Formel berechnet man das Volumen einer Kugel mit dem Radius $r$ ?
1. a) $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
2. b) $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
3. c) $V = \pi r^2 h$
4. d) $V = 4\pi r^2$
Lösung: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
Das Kugelvolumen ist $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ . $4\pi r^2$ hat nur $r^2$ (das ist kein Volumen), $\pi r^2 h$ ist der Zylinder und $\frac{1}{3}\pi r^2 h$ der Kegel.
2.
Eine Kugel hat den Radius $3$ cm. Ihr Volumen ist $V = \square\,\pi$ cm³. Welche Zahl gehört in das Kästchen?
Lösung: 36
$r^3 = 27$ und $\frac{4}{3} \times 27 = 36$ , also $V = 36\pi$ cm³.
3.
Ein Ball hat einen Durchmesser von $10$ cm. Welchen Wert für $r$ setzt du in $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ ein?
1. a) $2{,}5$ cm
2. b) $5$ cm
3. c) $20$ cm
4. d) $10$ cm
Lösung: $5$ cm
$r = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5$ cm. Mit $10$ wäre das Volumen $8$ -mal zu groß.
4.
Berechne das Volumen einer Kugel mit dem Radius $6$ m. Lass das Ergebnis mit $\pi$ stehen.
Lösung: $288\pi$ m³
1. Was ist $r^3 = 6^3$ ? 216
2. Was ist $\frac{4}{3} \times 216$ ? 288
5.
Eine Kugel hat ein Volumen von $500$ cm³. Sie wird genau durch den Mittelpunkt halbiert. Wie groß ist das Volumen einer Halbkugel in cm³?
Lösung: 250
Die Halbkugel hat denselben Radius, aber das halbe Volumen: $500 \div 2 = 250$ cm³.
6.
Ein Ball hat einen Durchmesser von $6$ cm. Berechne sein Volumen mit $\pi \approx 3{,}14$ . Runde auf Hundertstel.
Lösung: 113.04
1. Wie groß ist der Radius in cm? 3
2. $V = \square\,\pi$ : Was ist $\frac{4}{3} \times r^3$ ? 36
3. Wie groß ist das Volumen in cm³ mit $\pi \approx 3{,}14$ ? 113.04
7.
Der Radius einer Kugel wird verdoppelt. Was passiert mit ihrem Volumen?
1. a)Es verdoppelt sich
2. b)Es wird 8-mal so groß
3. c)Es wird 4-mal so groß
4. d)Es wird 6-mal so groß
Lösung: Es wird 8-mal so groß
$(2r)^3 = 8r^3$ , also wird das Volumen mit $2^3 = 8$ multipliziert. Beispiel: $r = 1$ ergibt $\frac{4}{3}\pi$ , $r = 2$ ergibt $\frac{32}{3}\pi$ .
8.
Eine Murmel hat den Radius $1{,}5$ cm. Ihr Volumen ist $V = \square\,\pi$ cm³. Welche Zahl gehört in das Kästchen? (Schreibe sie als Dezimalzahl.)
Lösung: 4.5
$r^3 = 3{,}375$ und $\frac{4}{3} \times 3{,}375 = 4{,}5$ , also $V = 4{,}5\pi$ cm³ (mit $3{,}14$ etwa $14{,}13$ cm³).
9.
Eine Salatschüssel ist eine Halbkugel mit einem Innenradius von $9$ cm. Wie viel passt hinein? Rechne mit $\pi \approx 3{,}14$ und runde auf Hundertstel.
Lösung: 1526.04
1. Was ist $r^3 = 9^3$ ? 729
2. Halbkugel: $V = \square\,\pi$ . Was ist $\frac{2}{3} \times 729$ ? 486
3. Wie groß ist das Volumen in cm³ mit $\pi \approx 3{,}14$ ? 1526.04
10.
Eine Kugel hat ein Volumen von $288\pi$ cm³. Wie groß ist ihr Radius in cm?
Lösung: 6
$\frac{4}{3} r^3 = 288$ , also $r^3 = 288 \times \frac{3}{4} = 216$ und $r = \sqrt[3]{216} = 6$ cm.
11.
Eine Kugel passt genau in einen Zylinder (gleicher Radius, und die Höhe des Zylinders ist gleich dem Durchmesser der Kugel). Welchen Anteil des Zylindervolumens füllt die Kugel?
1. a) $\frac{1}{3}$
2. b) $\frac{2}{3}$
3. c) $\frac{3}{4}$
4. d) $\frac{1}{2}$
Lösung: $\frac{2}{3}$
Zylinder: $\pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3$ . Kugel: $\frac{4}{3}\pi r^3$ . Verhältnis: $\frac{4}{3} \div 2 = \frac{2}{3}$ . Das ist das berühmte Ergebnis des Archimedes.
12.
Ein Basketball hat einen Durchmesser von $24$ cm. Berechne sein Volumen mit $\pi \approx 3{,}14$ . Runde auf ganze cm³.
Lösung: 7235
1. Wie groß ist der Radius in cm? 12
2. Was ist $12^3$ ? 1728
3. $V = \square\,\pi$ : Was ist $\frac{4}{3} \times 1728$ ? 2304
4. Wie groß ist das Volumen in cm³, auf ganze Zahlen gerundet? 7235
13.
Ein runder Wassertank ist eine Kugel mit einem Durchmesser von $2$ m. Berechne sein Volumen mit $\pi \approx 3{,}14$ . Runde auf Hundertstel m³.
Lösung: 4.19
1. Wie groß ist der Radius in m? 1
2. Was ist $r^3$ ? 1
3. Was ist $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 1$ , auf Hundertstel gerundet? 4.19
14.
Eine Kugel hat ein Volumen von $972\pi$ cm³. Bestimme ihren Radius.
Lösung: $r = 9$ cm
1. Teile beide Seiten von $\frac{4}{3}\pi r^3 = 972\pi$ durch $\pi$ : $\frac{4}{3} r^3 = \square$ 972
2. Multipliziere mit $\frac{3}{4}$ : Was ist $r^3$ ? 729
3. Ziehe die Kubikwurzel: Wie groß ist $r$ in cm? 9
15.
Ein Ball mit dem Radius $6$ cm ist in einer zylinderförmigen Schachtel mit dem Radius $6$ cm und der Höhe $12$ cm verpackt. Wie viel Platz bleibt in der Schachtel leer? Lass das Ergebnis mit $\pi$ stehen.
Lösung: $144\pi$ cm³
1. Zylinder: $V = \pi r^2 h = \square\,\pi$ . Was ist $6^2 \times 12$ ? 432
2. Ball: $V = \square\,\pi$ . Was ist $\frac{4}{3} \times 6^3$ ? 288
3. Leerer Platz $= \square\,\pi$ cm³. Was ist $432 - 288$ ? 144
16.
Was fasst mehr: eine Kugel mit dem Radius $3$ cm oder ein Würfel mit der Kantenlänge $5$ cm? (Rechne mit $\pi \approx 3{,}14$ .)
1. a)Die Kugel
2. b)Das lässt sich nicht entscheiden
3. c)Beide fassen gleich viel
4. d)Der Würfel
Lösung: Der Würfel
Kugel: $36\pi \approx 113{,}04$ cm³. Würfel: $5^3 = 125$ cm³. Der Würfel fasst mehr, obwohl die Kugel $6$ cm breit ist.
17.
Acht kleine Schokoladenkugeln mit je $1$ cm Radius werden geschmolzen und zu einer großen Kugel geformt. Wie groß ist der Radius der großen Kugel?
Lösung: $R = 2$ cm
1. Eine kleine Kugel: $V = \frac{4}{3}\pi \times \square$ . Was ist $1^3$ ? 1
2. Für die große Kugel gilt $\frac{4}{3}\pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3}\pi$ . Was ist $R^3$ ? 8
3. Wie groß ist $R$ in cm? 2
18.
Eine Kuppel in Form einer Halbkugel hat ein Volumen von $144\pi$ m³. Wie groß ist ihr Radius in m?
Lösung: 6
$\frac{2}{3} r^3 = 144$ , also $r^3 = 144 \times \frac{3}{2} = 216$ und $r = \sqrt[3]{216} = 6$ m.