Kombinierte Teilbarkeitsregeln

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welches Paar von Tests beweist zusammen, dass eine Zahl durch $12$ teilbar ist?
1. a)2 und 6
2. b)3 und 4
3. c)3 und 6
4. d)2 und 3
Lösung: 3 und 4
$12 = 3 \times 4$ , und 3 und 4 sind teilerfremd, also beweisen beide Tests zusammen die Teilbarkeit durch 12. 2 und 6 haben den gemeinsamen Teiler 2 (18 besteht beide, ist aber nicht durch 12 teilbar), 2 und 3 beweisen nur die Teilbarkeit durch 6, und 3 und 6 ebenfalls nur 6.
2.
Eine Zahl ist durch $2$ und durch $9$ teilbar. Welche Zahl zwischen $10$ und $20$ muss sie dann auch teilen?
Lösung: 18
2 und 9 haben außer 1 keinen gemeinsamen Teiler, also ist die Zahl durch $2 \times 9 = 18$ teilbar.
3.
Ist $2412$ durch $12$ teilbar? Nutze die Tests für 3 und 4 und berechne dann den Quotienten.
Lösung: 201
1. Was ist die Quersumme von 2412? 9
2. Welche Zahl bilden die letzten zwei Ziffern? 12
3. Beide Tests sind erfüllt. Was ist $2412 : 12$ ? 201
4.
Welche Zahl ist durch $11$ teilbar?
1. a)3542
2. b)9091
3. c)4825
4. d)6170
Lösung: 3542
Für $3542$ : $2 - 4 + 5 - 3 = 0$ , ein Vielfaches von 11, also $3542 = 11 \times 322$ . Die anderen ergeben $7$ , $-12$ und $-17$ .
5.
Berechne die alternierende Quersumme von $2816$ , beginnend mit $+$ bei der Einerziffer: $6 - 1 + 8 - 2$ .
Lösung: 11
$6 - 1 + 8 - 2 = 11$ . Da 11 ein Vielfaches von 11 ist, ist $2816$ durch 11 teilbar: $2816 = 11 \times 256$ .
6.
Ist $735$ durch $15$ teilbar? Nutze die Tests für 5 und 3 und berechne dann den Quotienten.
Lösung: 49
1. Was ist die letzte Ziffer von 735? 5
2. Was ist die Quersumme von 735? 15
3. Beide Tests sind erfüllt. Was ist $735 : 15$ ? 49
7.
$18$ ist durch $2$ und durch $6$ teilbar, aber nicht durch $12$ . Warum?
1. a)2 und 6 haben den gemeinsamen Teiler 2
2. b)18 ist kleiner als 2 × 12
3. c)6 ist kein Teiler von 12
4. d)12 hat keine Teilbarkeitsregel
Lösung: 2 und 6 haben den gemeinsamen Teiler 2
2 und 6 haben den gemeinsamen Teiler 2, sie sind also nicht teilerfremd. Beide Tests zusammen beweisen nur die Teilbarkeit durch $\text{kgV}(2, 6) = 6$ , nicht durch 12.
8.
Finde die Ziffer $d$ , die $7d4$ durch $18$ teilbar macht.
Lösung: 7
$18 = 2 \times 9$ . Die Zahl endet auf 4, ist also gerade. Die Quersumme $7 + d + 4 = 11 + d$ muss ein Vielfaches von 9 sein, also $11 + d = 18$ und $d = 7$ . Probe: $774 : 18 = 43$ .
9.
Ist $61.809$ durch $11$ teilbar? Nutze die alternierende Quersumme und berechne dann den Quotienten.
Lösung: 5619
1. Addiere die Ziffern an der 1., 3. und 5. Stelle von rechts. 23
2. Addiere die Ziffern an der 2. und 4. Stelle von rechts. 1
3. Wie groß ist die Differenz der beiden Summen? 22
4. Also teilt 11 die Zahl 61.809. Was ist $61.809 : 11$ ? 5619
10.
Ist $4374$ durch $18$ teilbar? Nutze die Tests für 2 und 9 und berechne dann den Quotienten.
Lösung: 243
1. Was ist die letzte Ziffer von 4374? 4
2. Was ist die Quersumme von 4374? 18
3. Beide Tests sind erfüllt. Was ist $4374 : 18$ ? 243
11.
Welche Zahl ist durch $36$ teilbar?
1. a)2466
2. b)2556
3. c)4518
4. d)1236
Lösung: 2556
$2556$ : $56 : 4 = 14$ und $2 + 5 + 5 + 6 = 18$ , also durch 36 teilbar ( $2556 = 36 \times 71$ ). $2466$ und $4518$ fallen beim Test für 4 durch (66 und 18), $1236$ beim Test für 9 (Quersumme 12).
12.
Wie viele der Zahlen $2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12$ teilen $4620$ ?
Lösung: 8
Endet auf 0: 2, 5, 10. Quersumme 12: 3 ja, 9 nein. $20 : 4 = 5$ : 4 ja. $620 : 8 = 77{,}5$ : 8 nein. Alternierende Quersumme $0 - 2 + 6 - 4 = 0$ : 11 ja. Paare: 6 und 12 ja. Also 8 Zahlen: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12.
13.
$4530$ ist durch $2$ und durch $6$ teilbar. Ist sie auch durch $12$ teilbar? Prüfe mit dem teilerfremden Paar 3 und 4.
Lösung: 6
1. Was ist die Quersumme von 4530? 12
2. Welche Zahl bilden die letzten zwei Ziffern? 30
3. Welcher Rest bleibt bei $30 : 4$ ? 2
4. Der Test für 4 ist nicht erfüllt. Welcher Rest bleibt bei $4530 : 12$ ? 6
14.
Welche Ziffer $d$ macht $4d52$ durch $36$ teilbar?
1. a)9
2. b)3
3. c)7
4. d)4
Lösung: 7
$52 : 4 = 13$ , der Test für 4 ist also für jedes $d$ erfüllt. Die Quersumme $4 + d + 5 + 2 = 11 + d$ muss ein Vielfaches von 9 sein, also $d = 7$ . Probe: $4752 : 36 = 132$ .
15.
Schnelle Teilersuche: Wie viele der Zahlen $2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12$ teilen $2520$ ?
Lösung: 9
1. Was ist die Quersumme von 2520? 9
2. Teste 8 mit den letzten drei Ziffern. Was ist $520 : 8$ ? 65
3. Wie lautet die alternierende Quersumme von 2520, beginnend mit + bei der Einerziffer? 1
4. Zähle die Zahlen der Liste, die 2520 teilen. 9
16.
$33 = 3 \times 11$ . Finde die Ziffer $d$ , die $8d14$ durch $33$ teilbar macht.
Lösung: 5
Für 11: $4 - 1 + d - 8 = d - 5$ muss ein Vielfaches von 11 sein, und bei einer Ziffer klappt nur $d = 5$ . Für 3: $8 + 5 + 1 + 4 = 18$ , teilbar durch 3. Also $d = 5$ : $8514 : 33 = 258$ .
17.
Finde die Ziffer $d$ , die $52d6$ durch $12$ teilbar macht.
Lösung: 5
1. Für wie viele Ziffern $d$ ist $d6$ ein Vielfaches von 4? 5
2. Was ist die Quersumme von 52d6 ohne $d$ ? 13
3. Welche ungerade Ziffer $d$ macht $13 + d$ zu einem Vielfachen von 3? 5
4. Probe: Was ist $5256 : 12$ ? 438
18.
$132 = 11 \times 12$ . Ist $7128$ durch $132$ teilbar? Prüfe 11 und 12 und berechne dann den Quotienten.
Lösung: 54
1. Was ist der größte gemeinsame Teiler von 11 und 12? 1
2. Was ist die Quersumme von 7128? 18
3. Die letzten zwei Ziffern bilden 28. Was ist $28 : 4$ ? 7
4. Wie lautet die alternierende Quersumme von 7128, beginnend mit + bei der Einerziffer? 0
5. Alle Tests sind erfüllt. Was ist $7128 : 132$ ? 54