Leitfaden für Lehrer: Kombinierte Teilbarkeitsregeln

Kombiniere einfache Regeln, um auf 12, 15, 18 und 36 zu testen, lerne die alternierende Quersumme für 11 und finde alle Teiler von 2 bis 12 in Sekunden.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Teilbarkeit. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Teilbarkeitsregeln für teilerfremde Faktoren kombinieren, um auf 12, 15, 18 und 36 zu testen
Mit einem Gegenbeispiel erklären, warum Regeln für nicht teilerfremde Faktoren wie 2 und 6 nicht zu einem Test für ihr Produkt kombiniert werden dürfen
Die alternierende Quersumme anwenden, um die Teilbarkeit durch 11 zu prüfen
Alle Teiler von 2 bis 12 einer Zahl schnell finden und Aufgaben mit fehlenden Ziffern unter zwei Regeln lösen

Voraussetzungen

• Teilbarkeitsregeln für 2, 5 und 10 (Lektion Teilbarkeit durch 2, 5 und 10)
• Quersummenregeln für 3 und 9 (Lektion Teilbarkeit durch 3 und 9)
• Regeln für 4, 8 und 6 = 2 × 3 (Lektion Teilbarkeit durch 4, 6 und 8)
• Teiler, Vielfache und Reste

Diskussionsstarter

1. 18 ist durch 2 und durch 6 teilbar. Warum ist sie nicht durch 12 teilbar?
2. Mit welchen Zahlenpaaren könntest du auf 24 testen? Welche Paare würden falsche Antworten geben?
3. Warum braucht 11 eine alternierende Quersumme, während für 9 die Quersumme reicht?
4. Eine Zahl besteht die Tests für 4 und 9. Welche anderen Zahlen müssen sie teilen?
5. Wo im Alltag möchtest du wissen, ob eine Zahl durch 12 oder 15 teilbar ist?

Häufige Missverständnisse

Zwei beliebige Faktoren, deren Produkt der Teiler ist, ergeben einen gültigen Test (12 = 2 × 6)

Abhilfe: Lass die Lernenden 18, 30 und 42 auf 2 und 6 testen und dann durch 12 teilen. Verbinde das Scheitern mit dem gemeinsamen Teiler 2 und mit kgV(2, 6) = 6.

Eine alternierende Quersumme von 0 heißt, die Zahl ist nicht durch 11 teilbar

Abhilfe: Frage, was 0 : 11 ergibt. Zeige 1386: 6 - 8 + 3 - 1 = 0 und 1386 = 11 × 126.

Wenn eine Zahl durch 12 teilbar ist, muss sie auch durch 24 teilbar sein

Abhilfe: Stelle 36 (durch 12 teilbar, nicht durch 24) und 48 gegenüber. Teilbarkeit geht vom Produkt zu seinen Faktoren, nicht umgekehrt.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Gib eine Tabelle mit zwei Spalten: Test 1, Test 2, beide erfüllt?
• Beginne mit 15 = 3 × 5 und 18 = 2 × 9, wo beide Tests leicht sind
• Arbeite nur mit drei- und vierstelligen Zahlen

Für Schüler auf Niveau:

• Vollständige Teilersuche von 2 bis 12 bei vierstelligen Zahlen durchführen
• Aufgaben mit fehlenden Ziffern für 12, 18 und 36 lösen
• Gegenbeispiele für nicht teilerfremde Paare finden und erklären

Für fortgeschrittene Schüler:

• Tests für 24, 45, 72 und 99 aus teilerfremden Paaren bauen
• Die Regel für 11 mit den Resten der Zehnerpotenzen beweisen
• 12-stellige Zahlen auf 11 und 12 testen und mit modularer Arithmetik prüfen

Standardausrichtung

4.OA.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.4.OA.B.4)
Alle Faktorpaare einer ganzen Zahl finden und entscheiden, ob sie ein Vielfaches einer gegebenen einstelligen Zahl ist
6.NS.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.6.NS.B.4)
Den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen bestimmen

Lektionsressourcen

visualÜbungstafel Teilbarkeit
Die Lernenden raten ja oder nein für jeden Teiler von 2 bis 12 und decken dann jede Regel und ihr Ergebnis auf
activityFinde das Gegenbeispiel
Paare suchen Zahlen, die zwei Tests bestehen, aber nicht durch das Produkt teilbar sind (2 und 6, 4 und 6, 3 und 12), und erklären den Grund
gameWettlauf der fehlenden Ziffer
Teams suchen um die Wette die Ziffer, die eine Zahl durch 12, 18 oder 36 teilbar macht
worksheetRaster zur Teilersuche
Ein Raster mit Zahlen, die auf 2 bis 12 getestet werden, auch auf 11 mit der alternierenden Quersumme

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Manche Teiler haben keine eigene Regel, aber du kannst zwei einfache Regeln kombinieren.

Kombinierte Regel: Wenn

a

und

b

teilerfremd sind (ihr einziger gemeinsamer Teiler ist

1

), dann ist eine Zahl, die durch

a

und durch

b

teilbar ist, auch durch

a \times b

teilbar.

Teiler	Test	Warum es funktioniert
$12 = 3 \times 4$	Quersumme durch 3 teilbar und letzte zwei Ziffern durch 4 teilbar	3 und 4 sind teilerfremd
$15 = 3 \times 5$	Quersumme durch 3 teilbar und letzte Ziffer 0 oder 5	3 und 5 sind teilerfremd
$18 = 2 \times 9$	letzte Ziffer gerade und Quersumme durch 9 teilbar	2 und 9 sind teilerfremd
$36 = 4 \times 9$	letzte zwei Ziffern durch 4 teilbar und Quersumme durch 9 teilbar	4 und 9 sind teilerfremd

Vorsicht:

12 = 2 \times 6

ist KEIN gültiger Test, denn 2 und 6 haben den gemeinsamen Teiler 2. Die Zahl

18

ist durch 2 und durch 6 teilbar, aber

18 : 12 = 1{,}5

. Allgemein beweisen die Tests für

a

und

b

die Teilbarkeit durch

\text{kgV}(a, b)

, und das ist nur dann

a \times b

, wenn

a

und

b

teilerfremd sind.

Teilbarkeit durch 11 (alternierende Quersumme): Beginne bei der Einerziffer und addiere und subtrahiere die Ziffern abwechselnd:

+ - + - \dots

Ist das Ergebnis durch 11 teilbar (dazu gehören

0

11

-11

22

), dann ist die Zahl durch 11 teilbar.

82.918: \quad 8 - 1 + 9 - 2 + 8 = 22 \Rightarrow 82.918 \text{ ist teilbar durch } 11

Lösungsbeispiele

Ist

7128

durch

12

teilbar?

Zerlege 12 in teilerfremde Faktoren

12 = 3 \times 4

, und 3 und 4 haben außer 1 keinen gemeinsamen Teiler → Teste 3 und 4

Teste 3 mit der Quersumme

7 + 1 + 2 + 8 = 18

, und

18

ist durch 3 teilbar → Teilbar durch 3

Teste 4 mit den letzten zwei Ziffern

Die letzten zwei Ziffern bilden

28

, und

28 : 4 = 7

→ Teilbar durch 4

Kombiniere und prüfe

Beide Tests sind erfüllt, also teilt 12 die Zahl:

7128 : 12 = 594

→ Teilbar durch 12

Antwort: Ja, $7128$ ist durch $12$ teilbar ( $7128 = 12 \times 594$ ).

Häufige Fehler

12 mit den Regeln für 2 und 6 testen

Warum es falsch ist: 2 und 6 haben den gemeinsamen Teiler 2, beide Tests zusammen beweisen also nur die Teilbarkeit durch 6. Gegenbeispiel: $18$ (und auch $30$ ) ist durch 2 und 6 teilbar, aber nicht durch 12.

Richtig: Nimm teilerfremde Faktoren: $12 = 3 \times 4$ . Prüfe die Quersumme für 3 und die letzten zwei Ziffern für 4.

36 mit 3 und 12 testen

Warum es falsch ist: 3 und 12 haben den gemeinsamen Teiler 3. $24$ ist durch 3 und durch 12 teilbar, aber $24 : 36$ ist keine ganze Zahl.

Richtig: Nimm $36 = 4 \times 9$ : letzte zwei Ziffern durch 4 teilbar und Quersumme durch 9 teilbar.

Glauben, dass ein bestandener Test reicht

Warum es falsch ist: Eine kombinierte Regel braucht BEIDE Tests. $25$ endet auf 5, aber ihre Quersumme ist 7, also ist sie nicht durch 15 teilbar.

Richtig: Prüfe jeden Faktor des Paares. Wenn ein Test nicht erfüllt ist, ist die Zahl nicht durch das Produkt teilbar.

Eine alternierende Quersumme von $0$ oder $-11$ als nicht teilbar durch 11 lesen

Warum es falsch ist: $0$ , $-11$ und $-22$ sind auch Vielfache von 11. Für $9174$ : $4 - 7 + 1 - 9 = -11$ , und tatsächlich ist $9174 = 11 \times 834$ .

Richtig: Die Zahl ist durch 11 teilbar, sobald die alternierende Quersumme $0$ oder ein beliebiges Vielfaches von 11 ist, positiv oder negativ.

Warum es wichtig ist

Kombinierte Regeln machen aus großen Fragen zwei schnelle Prüfungen:

Gerecht verteilen: Lassen sich 1350 Sticker ohne Rest auf 15 Klassen verteilen? Zwei Prüfungen sagen ja.
Fahrpläne: Ein Tag hat 1440 Minuten. Eine Straßenbahn alle 36 Minuten passt genau in den Tag, wenn 1440 durch 36 teilbar ist.
Brüche: Wer erkennt, dass 12 oder 18 Zähler und Nenner teilt, kürzt einen Bruch in einem Schritt.
Riesige Zahlen: Eine 12-stellige Zahl lässt sich in Sekunden auf 11 oder 12 testen, auch wenn der Taschenrechner zu wenige Stellen anzeigt.

Die Idee hinter jeder kombinierten Regel, teilerfremde Faktoren, ist auch der Schlüssel zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen und zu vielen Rätseln mit fehlenden Ziffern.

Anwendungen im echten Leben

Gerecht verteilen

Lehrkräfte, Trainer und Veranstalter müssen oft wissen, ob sich Dinge ohne Rest verteilen lassen.

Beispiel:

Eine Schule hat 1350 Sticker für 15 Klassen. $15 = 3 \times 5$ : Die letzte Ziffer ist 0 (teilbar durch 5) und $1 + 3 + 5 + 0 = 9$ (teilbar durch 3). Die Sticker lassen sich also gerecht verteilen.

1Probiere es selbst

Eine Schule möchte 1350 Sticker an 15 Klassen verteilen, jede Klasse bekommt gleich viele.

Wie viele Sticker bekommt jede Klasse?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Division, die die Sticker pro Klasse ergibt:

Fahrpläne

Verkehrsplaner wollen Abfahrten, die sich jeden Tag im gleichen Muster wiederholen. Ein Tag hat $24 \times 60 = 1440$ Minuten.

Beispiel:

Ein Bus alle 12 Minuten passt genau in einen Tag: $1 + 4 + 4 + 0 = 9$ (teilbar durch 3) und $40 : 4 = 10$ , also ist 1440 durch 12 teilbar, das ergibt 120 Abfahrten.

2Probiere es selbst

Eine Straßenbahn fährt Tag und Nacht alle 36 Minuten ab, die erste um Mitternacht.

Wie viele Straßenbahnen fahren an einem Tag mit 1440 Minuten ab?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Division, die die Anzahl der Abfahrten ergibt:

Der 12-Stellen-Check

Viele Taschenrechner zeigen nur 8 bis 10 Stellen und können eine 12-stellige Zahl nicht genau teilen. Teilbarkeitsregeln funktionieren bei Zahlen jeder Länge.

Beispiel:

Bei $123.456.789.012$ ist die Quersumme $48$ (teilbar durch 3) und die letzten zwei Ziffern bilden $12$ (teilbar durch 4), also ist die Zahl durch 12 teilbar.

3Probiere es selbst

Ein 12-stelliger Code lautet $123.456.789.012$ . Du willst ohne Taschenrechner wissen, ob er durch 12 und durch 11 teilbar ist.

Welcher Rest bleibt, wenn man $123.456.789.012$ durch 12 teilt?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Gib den Rest ein:

Wichtige Erkenntnisse

1Wenn $a$ und $b$ teilerfremd sind, ist eine Zahl, die durch $a$ und durch $b$ teilbar ist, auch durch $a \times b$ teilbar
2Teste 12 mit 3 und 4, 15 mit 3 und 5, 18 mit 2 und 9, 36 mit 4 und 9
3Teste ein Produkt nie mit zwei Faktoren, die einen gemeinsamen Teiler haben: 18 ist durch 2 und 6 teilbar, aber nicht durch 12
4Teilbar durch 11: Die alternierende Quersumme ( $+ - + - \dots$ ab der Einerziffer) ist ein Vielfaches von 11, auch $0$ und negative Vielfache zählen
5Für eine schnelle Teilersuche nutzt du Endziffern, Quersummen und die alternierende Quersumme und kombinierst dann teilerfremde Paare
6Bei einer fehlenden Ziffer mit zwei Regeln listest du die Ziffern für jede Regel auf und behältst die, die in beiden Listen stehen

Häufig gestellte Fragen

Warum müssen die beiden Faktoren teilerfremd sein?

Eine Zahl, die durch

a

und durch

b

teilbar ist, ist ein gemeinsames Vielfaches von

a

und

b

, also durch

\text{kgV}(a, b)

teilbar. Sind

a

und

b

teilerfremd, gilt

\text{kgV}(a, b) = a \times b

. Haben sie einen gemeinsamen Teiler, ist das kgV kleiner:

\text{kgV}(2, 6) = 6

, nicht 12.

Warum funktioniert die alternierende Quersumme für 11?

10 = 11 - 1

, also lässt 10 beim Teilen durch 11 den Rest

-1

100 = 99 + 1

lässt

+1

1000 = 1001 - 1

lässt

-1

und so weiter. Jede Ziffer zählt also mit dem Vorzeichen

+, -, +, -, \dots

ab der Einerziffer, und die Zahl hat denselben Rest wie ihre alternierende Quersumme.

Ist es egal, ob ich die alternierende Quersumme von links oder von rechts beginne?

Für die Antwort ja oder nein ist es egal: Die beiden Ergebnisse sind gleich oder Gegenzahlen, und

-22

ist genau dann ein Vielfaches von 11, wenn

22

es ist. Wer bei der Einerziffer mit

+

beginnt, behält außerdem den Rest der Zahl (addiere oder subtrahiere 11, bis du zwischen 0 und 10 landest), deshalb ist das die sicherere Gewohnheit.

Kann ich 24 mit 4 und 6 testen?

Nein, 4 und 6 haben den gemeinsamen Teiler 2.

12

ist durch 4 und 6 teilbar, aber nicht durch 24. Nimm das teilerfremde Paar

24 = 3 \times 8

: Quersumme durch 3 teilbar und letzte drei Ziffern durch 8 teilbar.

Glossar

Teilerfremd: Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr einziger gemeinsamer Teiler 1 ist. Beispiel: 4 und 9 sind teilerfremd, 2 und 6 nicht.
Kombinierte Teilbarkeitsregel: Ein Test für ein Produkt $a \times b$ teilerfremder Zahlen: Die Zahl muss den Test für $a$ und den Test für $b$ bestehen.
Alternierende Quersumme: Die Ziffern abwechselnd addiert und subtrahiert, ab der Einerziffer: Für 2816 ist sie $6 - 1 + 8 - 2 = 11$ .
Quersumme: Die Summe aller Ziffern einer Zahl. Die Quersumme von 1980 ist $1 + 9 + 8 + 0 = 18$ .
Rest: Was beim Teilen übrig bleibt. $18 : 12 = 1$ Rest $6$ .
Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV): Die kleinste Zahl, die ein Vielfaches beider Zahlen ist. $\text{kgV}(3, 4) = 12$ , $\text{kgV}(2, 6) = 6$ .

Formelkarte

Kombinierte Regel

a, b

teilerfremd:

a \mid n

und

b \mid n \Rightarrow a \times b \mid n

Gilt nur, wenn die beiden Faktoren außer 1 keinen gemeinsamen Teiler haben

Teilbar durch 12

12 = 3 \times 4

Quersumme durch 3 teilbar und letzte zwei Ziffern durch 4 teilbar

Teilbar durch 15

15 = 3 \times 5

Quersumme durch 3 teilbar und letzte Ziffer 0 oder 5

Teilbar durch 18

18 = 2 \times 9

Letzte Ziffer gerade und Quersumme durch 9 teilbar

Teilbar durch 36

36 = 4 \times 9

Letzte zwei Ziffern durch 4 teilbar und Quersumme durch 9 teilbar

Teilbar durch 11

d_0 - d_1 + d_2 - d_3 + \dots

Alternierende Quersumme ab der Einerziffer ist ein Vielfaches von 11 (auch 0)

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Gerecht verteilen

Fahrpläne

Der 12-Stellen-Check

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Kombinierte Regel

Teilbar durch 12

Teilbar durch 15

Teilbar durch 18

Teilbar durch 36

Teilbar durch 11

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