Einführung in Ellipsen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welcher Form ähnelt eine Ellipse am meisten?
1. a)Ein Dreieck
2. b)Ein Quadrat
3. c)Eine gerade Linie
4. d)Ein gestreckter Kreis
Lösung: Ein gestreckter Kreis
Eine Ellipse ist im Grunde ein gestreckter oder gestauchter Kreis. Wenn , wird eine Ellipse zu einem perfekten Kreis.
2.
In der Gleichung , was ist ?
1. a)3
2. b)16
3. c)4
4. d)9
Lösung: 16
Per Konvention ist der größere Wert. Da , haben wir und . Das bedeutet und .
3.
Für die Ellipse , was ist der Wert von ?
Lösung: 6
Der größere Nenner ist 36, also . Die Wurzel ziehen: .
4.
Die Formel für den Abstand vom Mittelpunkt zu jedem Brennpunkt ist:
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Für Ellipsen: . Die Option ist für Hyperbeln, nicht Ellipsen.
5.
Wenn und , berechne .
Lösung: 4
, also .
6.
Für die Ellipse ist die Hauptachse:
1. a)Kreisförmig
2. b)Diagonal
3. c)Horizontal
4. d)Vertikal
Lösung: Vertikal
Da , haben wir unter dem -Term. Das bedeutet, die Hauptachse ist vertikal (entlang der y-Achse).
7.
Finde die Brennpunkte der Ellipse .
Lösung: (-3, 0) and (3, 0)
1. Was ist (der größere Nenner)? 25
2. Was ist ? 16
3. Berechne 9
4. Was ist ? 3
5. Ist die Hauptachse horizontal oder vertikal? horizontal
8.
Was ist der Mittelpunkt der Ellipse ? Gib als (x, y) ein.
Lösung: (3, -2)
Aus erhalten wir . Aus erhalten wir . Der Mittelpunkt ist .
9.
Finde alle Scheitelpunkte der Ellipse .
Lösung: (-7, 0) and (7, 0)
1. Was ist ? 49
2. Was ist ? 7
3. Ist die Hauptachse horizontal oder vertikal? horizontal
4. Die Scheitelpunkte sind bei . Welche sind es? (-7, 0) und (7, 0)
10.
Welche Gleichung stellt eine vertikale Ellipse dar?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
In steht der größere Nenner (16) unter , also ist die Hauptachse vertikal. Die anderen zwei Optionen mit gleichen Nennern stellen Kreise dar, keine Ellipsen.
11.
Für die Ellipse , wie lang ist die Hauptachse?
Lösung: 20
Der größere Nenner ist , also . Die Länge der Hauptachse ist .
12.
Schreibe die Gleichung einer Ellipse mit Mittelpunkt im Ursprung, Scheitelpunkten bei und Nebenscheitelpunkten bei .
Lösung: x^2/36 + y^2/16 = 1
1. Was ist (Abstand zu den Scheitelpunkten)? 6
2. Was ist (Abstand zu den Nebenscheitelpunkten)? 4
3. Ist die Hauptachse horizontal oder vertikal? horizontal
4. Was ist ? 36
5. Was ist ? 16
13.
Für die Ellipse , finde den Abstand zwischen den beiden Brennpunkten.
Lösung: 8
, . Also , das heißt . Der Abstand zwischen den Brennpunkten ist .
14.
Finde alle wichtigen Eigenschaften der Ellipse : Mittelpunkt, Scheitelpunkte, Nebenscheitelpunkte und Brennpunkte.
Lösung: Center: (-2, 1), Vertices: (-2, -4) and (-2, 6), Co-vertices: (-5, 1) and (1, 1), Foci: (-2, -3) and (-2, 5)
1. Was ist der Mittelpunkt ? (-2, 1)
2. Was ist ? 25
3. Ist die Hauptachse horizontal oder vertikal? vertikal
4. Was ist ? 5
5. Was ist ? 3
6. Was ist ? 4
15.
Eine Ellipse hat Brennpunkte bei und Scheitelpunkte bei . Was ist ?
1. a)2
2. b)4
3. c)8
4. d)16
Lösung: 4
Von den Brennpunkten ist . Von den Scheitelpunkten ist . Mit : , also und .
16.
Schreibe die Gleichung einer Ellipse mit Mittelpunkt , einer vertikalen Hauptachse der Länge 12 und einer Nebenachse der Länge 8.
Lösung: (x-1)^2/16 + (y+2)^2/36 = 1
1. Was ist (halbe Hauptachse)? 6
2. Was ist (halbe Nebenachse)? 4
3. Was ist ? 36
4. Was ist ? 16
5. Da die Hauptachse vertikal ist, gehört unter welchen Term? y
17.
Was passiert mit den Brennpunkten, wenn eine Ellipse zu einem Kreis wird?
1. a)Sie verschwinden vollständig
2. b)Sie bewegen sich außerhalb der Kurve
3. c)Sie werden unendlich weit voneinander entfernt
4. d)Sie verschmelzen zu einem einzigen Punkt (dem Mittelpunkt)
Lösung: Sie verschmelzen zu einem einzigen Punkt (dem Mittelpunkt)
Wenn (Kreis), ist , also . Das bedeutet, beide Brennpunkte fallen im Mittelpunkt des Kreises zusammen.