Leitfaden für Lehrer: Exponentielle Abnahme

Lerne, wie Größen um einen festen Prozentsatz abnehmen, nutze die Formel y = a(1 - r)^t und löse Aufgaben zu Wertverlust, Medikamenten und Abkühlung.

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10 Fragen zu Exponentialfunktionen. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Modelle exponentieller Abnahme der Form $y = a(1 - r)^t$ aus einer prozentualen Abnahme aufstellen
Abnahmerate und Abnahmefaktor unterscheiden und ineinander umrechnen
Wachstum oder Abnahme an der Basis einer Exponentialfunktion erkennen
Werte und den Restanteil nach $n$ Abschnitten bei Wertverlust, Medikamenten und Abkühlung berechnen
Lineare und exponentielle Abnahme vergleichen und erklären, warum sich ihre Graphen unterscheiden

Voraussetzungen

• Einführung in Exponentialfunktionen: die Form $f(x) = a \cdot b^x$
• Exponentielles Wachstum: Wachstumsfaktor $1 + r$ und prozentuale Zunahme
• Prozentsätze in Dezimalzahlen umwandeln
• Potenzen mit dem Taschenrechner berechnen

Diskussionsstarter

1. Ein Laden sagt, ein Handy 'verliert jedes Jahr 20 %'. Ist es nach 5 Jahren nichts mehr wert? Warum oder warum nicht?
2. Warum verliert ein neues Auto im ersten Jahr mehr Geld als im fünften Jahr?
3. Würdest du lieber eine Schuld haben, die jeden Monat um 100 € kleiner wird, oder eine, die um 10 % kleiner wird? Hängt die Antwort von der Höhe der Schuld ab?
4. Warum sagt eine Ärztin vielleicht, dass man ein Medikament alle 8 Stunden statt einmal am Tag nehmen soll?
5. Fällt dir etwas ein, das exponentiell abnimmt, aber nie ganz null erreicht?

Häufige Missverständnisse

Eine Abnahme um 15 % bedeutet, dass die Basis 0,15 ist

Abhilfe: Frage nach einem Abschnitt: 'Welcher Anteil bleibt übrig?' Bei 100 Einheiten und 15 % Verlust bleiben 85, also ist der Faktor 0,85. Lass die Lernenden 'verliere 15, behalte 85' sagen, bevor sie eine Formel schreiben.

Eine prozentuale Abnahme nimmt in jedem Abschnitt denselben Betrag weg

Abhilfe: Erstelle zwei Tabellen nebeneinander: von 1000 jedes Jahr 200 abziehen und jedes Jahr mit 0,8 multiplizieren. Die Lernenden sehen, dass die prozentualen Verluste kleiner werden (200, 160, 128...), während die linearen gleich bleiben.

Exponentielle Abnahme endet nach genügend Abschnitten bei null

Abhilfe: Nutze die Folgen-Visualisierung mit Quotient 0,8 und vielen Gliedern. Jeder Balken ist 80 % des vorherigen, kann also nie null sein. Verbinde das mit der waagerechten Asymptote $y = 0$ .

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Mit Faktoren beginnen, die glatte Zahlen liefern (0,5; 0,8; 0,9), und mit kurzen Tabellen, bevor die Formel kommt
• Den Satz 'verliere r, behalte 1 - r' und eine Tabelle mit zwei Spalten (verloren, behalten) für jede Aufgabe nutzen
• Einen Taschenrechner mit vorbereiteten Ausdrücken wie 1000 × 0,8^3 erlauben

Für Schüler auf Niveau:

• Aufgaben zu Wertverlust, Medikamenten und Abkühlung mit $y = a(1 - r)^t$ modellieren
• Den Restanteil in Prozent nach $n$ Abschnitten berechnen
• Eine lineare und eine exponentielle Abnahme vergleichen und herausfinden, wann eine die andere überholt

Für fortgeschrittene Schüler:

• Die Abnahmerate aus zwei Datenpunkten mit Wurzeln bestimmen, zum Beispiel $b^2 = 0{,}81$
• Untersuchen, wie lange es dauert, bis die Hälfte des Werts verloren ist (Vorschau auf die Halbwertszeit)
• Recherchieren, wie das einfache Abkühlungsmodell mit dem newtonschen Abkühlungsgesetz zusammenhängt

Standardausrichtung

HSF-LE.A.1c (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.1.C)
Situationen erkennen, in denen eine Größe pro Einheitsintervall um einen konstanten Prozentsatz wächst oder abnimmt
HSF-IF.C.8b (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.8.B)
Mit den Potenzgesetzen Terme von Exponentialfunktionen deuten und sie als exponentielles Wachstum oder exponentielle Abnahme einordnen
HSF-LE.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.B.5)
Die Parameter einer linearen oder exponentiellen Funktion im Sachzusammenhang deuten

Lektionsressourcen

visualGeometrische Abnahme als Balken
Folgen-Visualisierung mit erstem Glied 100 und Quotient 0,8: Die Lernenden sehen, wie jeder Balken um 20 % schrumpft, und lesen den Restanteil ab
activityWertverlust beim Autohändler
Gruppen erhalten Autopreise und jährliche Verlustraten, erstellen Abnahmetabellen und entscheiden, welches Auto seinen Wert am besten hält
activityLinear oder exponentiell?
Kartensortierung von Tabellen und Beschreibungen nach Abnahme um festen Betrag oder um festen Prozentsatz
worksheetAbnahme im Alltag
Aufgaben zu Wertverlust, Medikamenten und Abkühlung mit angegebener Rundung

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Exponentielle Abnahme liegt vor, wenn eine Größe in jedem gleich langen Zeitabschnitt um denselben Prozentsatz kleiner wird. Der Verlust wird dabei jedes Mal kleiner, weil jeder neue Verlust ein Prozentsatz dessen ist, was noch übrig ist.

y = a(1 - r)^t

Dabei ist:

$a$ = Anfangswert (die Menge bei $t = 0$ )
$r$ = Abnahmerate, der Prozentsatz, der pro Zeitabschnitt verloren geht, als Dezimalzahl ( $15\% \to r = 0{,}15$ )
$1 - r$ = Abnahmefaktor $b$ (auch Zerfallsfaktor), der Teil, der in jedem Abschnitt erhalten bleibt ( $1 - 0{,}15 = 0{,}85$ )
$t$ = Anzahl der Zeitabschnitte

In der allgemeinen Form

y = a \cdot b^t

erkennst du den Typ an der Basis:

$b > 1$ : exponentielles Wachstum
$0 < b < 1$ : exponentielle Abnahme

Nach

t

Zeitabschnitten ist der verbleibende Anteil

(1 - r)^t

, ganz egal, wie groß die Anfangsmenge ist.

Lösungsbeispiele

Entscheide für jede Funktion, ob sie Wachstum oder Abnahme zeigt, und bestimme die prozentuale Änderung pro Zeitabschnitt: $f(t) = 300 \cdot 0{,}92^t$ und $g(t) = 50 \cdot 1{,}03^t$ .

Betrachte die Basis von $f$

$b = 0{,}92$ und $0 < 0{,}92 < 1$ → $f$ zeigt Abnahme

Bestimme die Abnahmerate von $f$

$r = 1 - b = 1 - 0{,}92 = 0{,}08$ → $f$ verliert $8\%$ pro Abschnitt

Betrachte die Basis von $g$

$b = 1{,}03 > 1$ , also $r = 1{,}03 - 1 = 0{,}03$ → $g$ wächst um $3\%$ pro Abschnitt

Lies die Anfangswerte ab

$f(0) = 300 \cdot 0{,}92^0 = 300$ und $g(0) = 50$ → Anfangswerte $300$ und $50$

Antwort: $f$ ist exponentielle Abnahme mit $8\%$ pro Abschnitt (Start bei $300$ ); $g$ ist exponentielles Wachstum mit $3\%$ pro Abschnitt (Start bei $50$ ).

Häufige Fehler

Die Abnahmerate als Basis verwenden: $25000 \cdot 0{,}15^t$ für einen Verlust von $15\%$ schreiben

Warum es falsch ist: $0{,}15^t$ behält jedes Jahr nur $15\%$ , das bedeutet einen Verlust von $85\%$ pro Jahr. Die Basis muss der Teil sein, der erhalten bleibt.

Richtig: Abnahmefaktor $= 1 - r$ . Eine Abnahme um $15\%$ ergibt $25000 \cdot 0{,}85^t$ .

Jedes Mal denselben Betrag abziehen: '20 % von 1000 sind 200, also ist der Wert nach 5 Jahren 0'

Warum es falsch ist: Das ist lineares Denken. Der Verlust jedes Jahres sind $20\%$ des aktuellen Werts, nicht des ursprünglichen, daher werden die Verluste kleiner.

Richtig: Multipliziere jedes Jahr mit $0{,}8$ : $1000 \to 800 \to 640 \to 512 \to 409{,}6 \to 327{,}68$ . Nach 5 Jahren sind $327{,}68$ übrig.

$a \cdot 1 - r^t$ statt $a(1 - r)^t$ berechnen

Warum es falsch ist: Der Exponent gehört zum ganzen Abnahmefaktor. $1 - 0{,}15^2 = 0{,}9775$ , aber $(1 - 0{,}15)^2 = 0{,}7225$ .

Richtig: Berechne zuerst $1 - r$ , potenziere dann mit $t$ und multipliziere zuletzt mit $a$ .

Glauben, dass eine abnehmende Größe irgendwann genau null erreicht

Warum es falsch ist: Wenn man eine positive Zahl mit einem Faktor wie $0{,}8$ multipliziert, bleibt das Ergebnis immer positiv.

Richtig: Im Modell $y = a(1 - r)^t$ kommen die Werte $0$ immer näher (waagerechte Asymptote $y = 0$ ), erreichen sie aber nie.

Warum es wichtig ist

Exponentielle Abnahme beschreibt viele Dinge, die mit der Zeit weniger werden:

Wertverlust: Ein neues Auto oder Handy verliert jedes Jahr einen Prozentsatz seines Werts, also am Anfang am meisten Geld
Medikamente: Der Körper baut jede Stunde einen festen Prozentsatz eines Wirkstoffs ab, und das bestimmt, wie oft man eine Dosis braucht
Abkühlung: Ein heißes Getränk kühlt zuerst schnell ab und dann immer langsamer, je näher es der Raumtemperatur kommt
Licht und Schall: Jeder Meter Wasser oder Wand schluckt einen Prozentsatz des Lichts oder Schalls, der hindurchgeht

Mit der Abnahmeformel kannst du Werte vorhersagen, Angebote vergleichen (fester Betrag weniger pro Jahr oder ein Prozentsatz weniger) und verstehen, warum manche Dinge nie ganz bei null ankommen.

Anwendungen im echten Leben

Wertverlust von Handys und Laptops

Elektronik verliert jedes Jahr einen Prozentsatz ihres Werts. Gebrauchtwarenportale und Versicherungen schätzen mit Abnahmemodellen, was ein gebrauchtes Gerät wert ist.

Beispiel:

Ein Laptop für 1000 €, der $30\%$ pro Jahr verliert, ist nach 2 Jahren $1000 \cdot 0{,}7^2 = 490$ € wert.

1Probiere es selbst

Ein neues Handy kostet 1200 € und verliert jedes Jahr $25\%$ seines Werts.

Wie viel ist das Handy nach 2 Jahren wert?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Nutze die Abnahmeformel: $1200 \cdot 0{,}75^2$

Dosierung von Medikamenten

Ärztinnen, Ärzte und Apotheker nutzen exponentielle Abnahme, um zu wissen, wie viel Wirkstoff noch im Körper ist und wann die nächste Dosis fällig ist.

Beispiel:

Baut der Körper jede Stunde $15\%$ eines Wirkstoffs ab, dann gilt nach 4 Stunden $0{,}85^4 \approx 0{,}522$ , also sind noch etwa $52{,}2\%$ der Dosis vorhanden.

2Probiere es selbst

Ein Patient nimmt 200 mg eines Medikaments ein. Der Körper baut jede Stunde $30\%$ der verbleibenden Menge ab.

Wie viele Milligramm sind nach 4 Stunden noch übrig?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne: $200 \cdot 0{,}7^4$

Abkühlende Getränke

Ingenieure und Lebensmitteltechniker beschreiben Abkühlung mit Abnahmemodellen: Der Temperaturunterschied zwischen Gegenstand und Raum schrumpft jede Minute um einen Prozentsatz.

Beispiel:

Kaffee mit $90°C$ in einem Raum mit $20°C$ : Schrumpft der Unterschied von $70$ um $10\%$ pro Minute, beträgt er nach 1 Minute $63$ , der Kaffee hat also $83°C$ .

3Probiere es selbst

Eine Tasse Tee hat $80°C$ in einem Raum mit $20°C$ . In einem einfachen Modell schrumpft der Temperaturunterschied jede Minute um $20\%$ .

Welche Temperatur hat der Tee nach 3 Minuten?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne: $20 + 60 \cdot 0{,}8^3$

Wichtige Erkenntnisse

1Exponentielle Abnahme folgt $y = a(1 - r)^t$ : Die Größe verliert in jedem Zeitabschnitt denselben Prozentsatz
2Die Abnahmerate $r$ ist der verlorene Prozentsatz; der Abnahmefaktor $1 - r$ ist der Teil, der bleibt (eine Abnahme um $15\%$ ergibt $0{,}85$ )
3In $y = a \cdot b^t$ bedeutet eine Basis $0 < b < 1$ Abnahme und $b > 1$ Wachstum
4Nach $t$ Abschnitten ist der verbleibende Anteil $(1 - r)^t$ ; mal $100\%$ ergibt den Restanteil in Prozent
5Lineare Abnahme zieht immer denselben Betrag ab und kann null erreichen; exponentielle Abnahme verliert pro Abschnitt immer weniger und nähert sich null nur an
6Runde erst am Ende und gib die Rundung an (auf den Cent, auf eine Nachkommastelle)

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Abnahmerate und Abnahmefaktor?

Die Abnahmerate

r

ist das, was du pro Abschnitt verlierst (zum Beispiel

15\% = 0{,}15

). Der Abnahmefaktor ist das, was du behältst:

1 - r = 0{,}85

. Der Abnahmefaktor ist die Zahl, die in die Basis der Potenz kommt.

Wie erkenne ich Wachstum und Abnahme direkt an der Formel?

Schau auf die Basis

b

y = a \cdot b^t

. Ist

b > 1

, wächst die Größe (zum Beispiel bedeutet

1{,}04

ein Plus von

4\%

). Ist

0 < b < 1

, nimmt sie ab (zum Beispiel bedeutet

0{,}96

ein Minus von

4\%

Erreicht eine abnehmende Größe jemals null?

Im Modell nicht. In jedem Abschnitt bleibt ein fester Anteil einer positiven Zahl übrig, also bleibt das Ergebnis positiv. Der Graph kommt der Geraden

y = 0

, seiner waagerechten Asymptote, immer näher. Im echten Leben hört man auf zu zählen, wenn die Menge zu klein ist, um eine Rolle zu spielen.

Was ist die Halbwertszeit?

Die Halbwertszeit ist die Zeit, nach der genau die Hälfte der Größe übrig ist. Sie ist ein Sonderfall der exponentiellen Abnahme mit einer eigenen Formel und wird in der Lektion Aufgaben zur Halbwertszeit behandelt.

Glossar

Exponentielle Abnahme: Eine Abnahme um denselben Prozentsatz in gleich langen Zeitabschnitten, beschrieben durch $y = a(1 - r)^t$
Abnahmerate: Der Prozentsatz, der pro Abschnitt verloren geht, als Dezimalzahl $r$ (zum Beispiel $0{,}15$ für $15\%$ )
Abnahmefaktor: Der Teil, der in jedem Abschnitt bleibt, $b = 1 - r$ , mit $0 < b < 1$
Anfangswert: Die Menge $a$ zum Zeitpunkt $t = 0$
Wertverlust: Der Verlust an Wert eines Gegenstands, etwa eines Autos oder Handys, im Lauf der Zeit
Waagerechte Asymptote: Die Gerade $y = 0$ , der sich ein Abnahmegraph nähert, ohne sie je zu berühren

Formelkarte

Formel der exponentiellen Abnahme

y = a(1 - r)^t

$a$ = Anfangswert, $r$ = Abnahmerate als Dezimalzahl, $1 - r$ = Abnahmefaktor, $t$ = Anzahl der Abschnitte.

Abnahmefaktor aus Prozent

b = 1 - r

Eine Abnahme um $p\%$ pro Abschnitt ergibt $b = 1 - \frac{p}{100}$. Beispiel: $15\% \to 0{,}85$.

Restanteil in Prozent

(1 - r)^t \times 100\%

Der Prozentsatz der Anfangsmenge, der nach $t$ Abschnitten übrig ist, egal wie groß die Anfangsmenge ist.

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Wertverlust von Handys und Laptops

Dosierung von Medikamenten

Abkühlende Getränke

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Formel der exponentiellen Abnahme

Abnahmefaktor aus Prozent

Restanteil in Prozent

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