Exponentialgleichungen lösen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Löse $2^x = 16$ .
1. a) $4$
2. b) $8$
3. c) $14$
4. d) $2$
Lösung: $4$
$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$ , also $2^x = 2^4$ und $x = 4$ . Die Antwort $8$ entsteht durch Teilen von $16$ durch $2$ , und das ist falsch.
2.
Löse $3^x = 81$ .
Lösung: 4
$81 = 3^4$ , also $3^x = 3^4$ und $x = 4$ . Probe: $3^4 = 81$ ✓
3.
Löse $5^{x-1} = 125$ .
Lösung: 4
1. Schreibe 125 als Potenz von 5: $125 = 5^{\square}$ . Wie lautet der Exponent? 3
2. Setze die Exponenten gleich: $x - 1 = 3$ . Was ist $x$ ? 4
4.
Welche Gleichung ist $4^x = 64$ , auf beiden Seiten mit der Basis $2$ geschrieben?
1. a) $2^{2x} = 2^6$
2. b) $2^{x+2} = 2^6$
3. c) $2^{2x} = 2^8$
4. d) $2^x = 2^6$
Lösung: $2^{2x} = 2^6$
$4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$ und $64 = 2^6$ , also lautet die Gleichung $2^{2x} = 2^6$ (daraus folgt $x = 3$ , und tatsächlich ist $4^3 = 64$ ).
5.
Löse $5^x = \frac{1}{25}$ .
Lösung: -2
$\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$ , also $5^x = 5^{-2}$ und $x = -2$ .
6.
Löse $3 \cdot 2^x = 96$ .
Lösung: 5
1. Teile beide Seiten durch 3: $2^x = \square$ 32
2. Schreibe 32 als Zweierpotenz. Was ist $x$ ? 5
7.
Löse $8^x = 4$ . Gib das Ergebnis als Bruch an, zum Beispiel 3/4.
Lösung: 2/3
$8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$ und $4 = 2^2$ , also $3x = 2$ und $x = \frac{2}{3}$ . Probe: $8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$ ✓
8.
Löse $9^x = \frac{1}{27}$ .
1. a) $-3$
2. b) $-\frac{3}{2}$
3. c) $\frac{3}{2}$
4. d) $-\frac{2}{3}$
Lösung: $-\frac{3}{2}$
$9^x = 3^{2x}$ und $\frac{1}{27} = 3^{-3}$ , also $2x = -3$ und $x = -\frac{3}{2}$ . Bei $\frac{3}{2}$ wurde das Minuszeichen vergessen.
9.
Löse $2^{3x} = \frac{1}{16}$ . Gib das Ergebnis als Bruch an, zum Beispiel -5/2.
Lösung: -4/3
1. Schreibe $\frac{1}{16}$ als Zweierpotenz: $\frac{1}{16} = 2^{\square}$ . Wie lautet der Exponent? -4
2. Setze die Exponenten gleich: $3x = -4$ . Was ist $x$ ? Gib es als Bruch an. -4/3
10.
Löse $8^x = 32$ . Gib das Ergebnis als Bruch an, zum Beispiel 7/2.
Lösung: 5/3
1. $8 = 2^{\square}$ . Wie lautet der Exponent? 3
2. $32 = 2^{\square}$ . Wie lautet der Exponent? 5
3. Jetzt gilt $2^{3x} = 2^5$ , also $3x = 5$ . Was ist $x$ ? Gib es als Bruch an. 5/3
11.
Löse $25^x = 125$ . Gib das Ergebnis als Bruch an, zum Beispiel 5/4.
Lösung: 3/2
$25^x = (5^2)^x = 5^{2x}$ und $125 = 5^3$ , also $2x = 3$ und $x = \frac{3}{2}$ . Probe: $25^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{25})^3 = 5^3 = 125$ ✓
12.
Löse $5 \cdot 3^{x+1} = 405$ .
Lösung: 3
1. Teile beide Seiten durch 5: $3^{x+1} = \square$ 81
2. $81 = 3^{\square}$ . Wie lautet der Exponent? 4
3. $x + 1 = 4$ . Was ist $x$ ? 3
13.
Die Lösung von $2^x = 20$ ist keine ganze Zahl. Zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen liegt sie?
1. a)4 und 5
2. b)3 und 4
3. c)10 und 11
4. d)5 und 6
Lösung: 4 und 5
$2^4 = 16$ und $2^5 = 32$ . Wegen $16 < 20 < 32$ liegt die Lösung zwischen $4$ und $5$ (etwa $4{,}32$ ). Die Wahl 10 und 11 entsteht durch falsches Teilen von 20 durch 2.
14.
Löse $4^{x+1} = 8^x$ .
Lösung: 2
1. $4 = 2^{\square}$ . Wie lautet der Exponent? 2
2. $8 = 2^{\square}$ . Wie lautet der Exponent? 3
3. Jetzt gilt $2^{2(x+1)} = 2^{3x}$ , also $2x + 2 = 3x$ . Was ist $x$ ? 2
15.
Die Gleichung $2^{x^2 - x} = 64$ hat zwei Lösungen. Wie lautet die größere?
Lösung: 3
1. $64 = 2^{\square}$ . Wie lautet der Exponent? 6
2. Also $x^2 - x - 6 = 0$ , faktorisiert $(x - 3)(x + 2) = 0$ . Wie lautet die kleinere Lösung? -2
3. Wie lautet die größere Lösung? 3
16.
Löse $\left(\frac{1}{2}\right)^x = 8$ .
Lösung: -3
$2^{-x} = 2^3$ , also $-x = 3$ und $x = -3$ . Probe: $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8$ ✓
17.
Welche Gleichung hat keine Lösung?
1. a) $3^x = 1$
2. b) $2^x = \frac{1}{8}$
3. c) $4^x = 2$
4. d) $5^x = -25$
Lösung: $5^x = -25$
$5^x$ ist für jedes $x$ positiv und kann daher nie $-25$ sein. Die anderen haben Lösungen: $2^x = \frac{1}{8}$ ergibt $x = -3$ , $3^x = 1$ ergibt $x = 0$ und $4^x = 2$ ergibt $x = \frac{1}{2}$ .
18.
Die Lösung von $3^x = 50$ ist keine ganze Zahl. Was ist die kleinste ganze Zahl $n$ mit $3^n > 50$ ?
Lösung: 4
1. Was ist $3^3$ ? 27
2. Was ist $3^4$ ? 81
3. Wegen $27 < 50 < 81$ : Was ist die kleinste ganze Zahl $n$ mit $3^n > 50$ ? 4