Sachaufgaben zu Exponentialfunktionen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Ein Handy verliert jedes Jahr 15% seines Werts. Welchen Faktor $b$ verwendest du im Modell $V(t) = a \cdot b^t$ ?
1. a)0,15
2. b)1,15
3. c)0,85
4. d)85
Lösung: 0,85
Abnahme: $b = 1 - r = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$ . Jedes Jahr bleiben 85% des Werts. $0{,}15$ ist die Rate, nicht der Faktor, und $1{,}15$ wäre Wachstum.
2.
Die Anzahl der Fische in einem See wird durch $P(t) = 1200 \cdot 1{,}04^t$ beschrieben, $t$ in Jahren. Was sagt dir die Zahl $1{,}04$ ?
1. a)Die Population wächst jedes Jahr um 4%
2. b)Die Population wächst jedes Jahr um 104%
3. c)Die Population wächst jedes Jahr um 4 Fische
4. d)Am Anfang gibt es 1,04 Fische
Lösung: Die Population wächst jedes Jahr um 4%
$1{,}04 = 1 + 0{,}04$ , also wird die Population jedes Jahr mit $1{,}04$ multipliziert: Sie wächst um 4% pro Jahr. Der Anfangswert ist $a = 1200$ Fische.
3.
Jede Liste zeigt die Werte einer Größe für $t = 0, 1, 2, 3$ . Welche Liste folgt einem exponentiellen Modell?
1. a)5; 10; 15; 20
2. b)5; 8; 11; 14
3. c)5; 10; 20; 40
4. d)5; 9; 13; 17
Lösung: 5; 10; 20; 40
Bei $5; 10; 20; 40$ ist jeder Wert das $2$ -Fache des vorherigen (konstanter Quotient), also exponentiell. Die anderen Listen addieren jedes Mal denselben Betrag ( $+3$ , $+5$ , $+4$ ), sie sind also linear.
4.
Du legst 2000 € zu 6% Jahreszins an, vierteljährlich verzinst. Welches Modell gibt den Betrag $A$ nach $t$ Jahren an?
1. a) $A = 2000 \cdot 1{,}015^{t}$
2. b) $A = 2000 \cdot 1{,}06^{4t}$
3. c) $A = 2000 \cdot 1{,}24^{t}$
4. d) $A = 2000 \cdot 1{,}015^{4t}$
Lösung: $A = 2000 \cdot 1{,}015^{4t}$
$A = 2000\left(1 + \frac{0{,}06}{4}\right)^{4t} = 2000 \cdot 1{,}015^{4t}$ . Die erste Antwort verwendet den Jahreszins pro Quartal, die dritte vergisst, dass es $4t$ Quartale sind, und $1{,}24$ ist kein Faktor dieses Kontos.
5.
Ein Auto, das 20000 € gekostet hat, verliert jedes Jahr 10% seines Werts. Vier Schüler haben seinen Wert nach 4 Jahren berechnet. Welches Ergebnis ist richtig?
1. a)12000
2. b)29282
3. c)2
4. d)13122
Lösung: 13122
$20000 \cdot 0{,}9^4 = 20000 \cdot 0{,}6561 = 13122$ . $29282$ verwendet $1{,}1$ (Wachstum), $12000$ zieht jedes Jahr $2000$ ab (linear), und $2$ verwendet den Faktor $0{,}1$ .
6.
Ein Video hat 500 Aufrufe, und die Zahl der Aufrufe verdoppelt sich jeden Tag. Wie viele Aufrufe hat es nach 6 Tagen?
Lösung: 32000
$V(6) = 500 \cdot 2^6 = 500 \cdot 64 = 32000$ Aufrufe.
7.
Ein Stoff hat eine Halbwertszeit von 5 Stunden. Eine Probe enthält anfangs 80 mg. Wie viele mg sind nach 20 Stunden noch übrig?
Lösung: 5
$\frac{20}{5} = 4$ Halbwertszeiten: $80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{80}{16} = 5$ mg ( $80 \to 40 \to 20 \to 10 \to 5$ ).
8.
Du legst 1000 € zu 8% Jahreszins an, vierteljährlich verzinst. Wie viel ist nach 5 Jahren auf dem Konto? Runde auf den Cent.
Lösung: 1485.95
$A = 1000 \cdot 1{,}02^{20} \approx 1000 \cdot 1{,}485947 \approx 1485{,}95$ €.
9.
1500 € werden zu 5% pro Jahr stetig verzinst angelegt. Verwende $e^{0{,}5} \approx 1{,}6487$ . Wie viel ist die Anlage nach 10 Jahren wert? Runde auf ganze Euro.
Lösung: 2473
$A = 1500 \cdot e^{0{,}5} \approx 1500 \cdot 1{,}6487 = 2473{,}05$ , also etwa 2473 €.
10.
Eine Tabelle gibt $y = 80$ bei $t = 0$ , $y = 120$ bei $t = 1$ , $y = 180$ bei $t = 2$ und $y = 270$ bei $t = 3$ . Entscheide, ob sie linear oder exponentiell ist, und bestimme dann den genauen Wert von $y$ bei $t = 5$ .
Lösung: 607.5
Die Differenzen $40, 60, 90$ sind nicht konstant, aber jeder Quotient ist $1{,}5$ : exponentiell, $y = 80 \cdot 1{,}5^t$ . Dann ist $y(5) = 80 \cdot 1{,}5^5 = 80 \cdot 7{,}59375 = 607{,}5$ .
11.
Ein Laptop kostet 1200 € und verliert jedes Jahr 20% seines Werts. Wie viel ist er nach 3 Jahren wert?
Lösung: 614.4
1. Wie groß ist der Zerfallsfaktor $b$ pro Jahr? 0.8
2. Berechne $0{,}8^3$ . 0.512
3. Wie groß ist der Wert nach 3 Jahren? 614.4
12.
Am Montag kennen 4 Schüler eine neue Tanz-Challenge. Jeden Tag verdreifacht sich die Zahl der Schüler, die sie kennen. Wie viele kennen sie 4 Tage später?
Lösung: 324
1. Wie groß ist der Wachstumsfaktor $b$ pro Tag? 3
2. Berechne $3^4$ . 81
3. Wie viele Schüler kennen die Challenge nach 4 Tagen? 324
13.
Du legst 3000 € zu 5% Jahreszins an, halbjährlich verzinst (zweimal pro Jahr). Wie viel hast du nach 6 Jahren? Runde auf den Cent.
Lösung: 4034.67
1. Wie groß ist der Zinssatz pro Halbjahr, $\frac{r}{n}$ , als Dezimalzahl? 0.025
2. Wie viele Halbjahre haben 6 Jahre ( $nt$ )? 12
3. Berechne $3000 \cdot 1{,}025^{12}$ auf den Cent genau. 4034.67
14.
Ein radioaktiver Stoff hat eine Halbwertszeit von 5 Jahren. Eine Probe wiegt 640 g. Wie viele Gramm sind nach 15 Jahren noch übrig?
Lösung: 80
1. Wie viele Halbwertszeiten vergehen in 15 Jahren ( $\frac{t}{T}$ )? 3
2. Wie viel ist $\left(\frac{1}{2}\right)^3$ als Dezimalzahl? 0.125
3. Wie viele Gramm sind noch übrig? 80
15.
Ein Patient bekommt 500 mg eines Medikaments. Die Menge im Blut nimmt stetig mit einer Rate von 10% pro Stunde ab, also $A(t) = 500 \cdot e^{-0{,}1t}$ . Verwende $e^{-0{,}2} \approx 0{,}8187$ . Wie viele mg sind nach 2 Stunden noch übrig? Runde auf ganze mg.
Lösung: 409
1. Wie groß ist der Exponent $rt$ für $t = 2$ ? -0.2
2. Welchen Wert verwendest du für $e^{-0{,}2}$ (4 Nachkommastellen)? 0.8187
3. Wie viele mg sind nach 2 Stunden noch übrig (ganze mg)? 409
16.
Bank A zahlt 5% pro Jahr bei jährlicher Verzinsung. Bank B zahlt 5% pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Du legst 10000 € für 3 Jahre an. Wie viel mehr zahlt Bank B? Runde jeden Betrag auf den Cent.
Lösung: 38.47
1. Wie viel zahlt Bank A nach 3 Jahren aus? 11576.25
2. Wie viel zahlt Bank B nach 3 Jahren aus? 11614.72
3. Wie viel mehr zahlt Bank B? 38.47
17.
Ein Dorf hatte 2000 Einwohner. Zwei Jahre später waren es 2880. Nimm exponentielles Wachstum $P(t) = 2000 \cdot b^t$ an ( $t$ in Jahren). Bestimme $b$ , die jährliche Wachstumsrate und die Einwohnerzahl nach 4 Jahren (auf ganze Einwohner gerundet).
Lösung: 4147
1. Wie groß ist $b^2 = \frac{2880}{2000}$ ? 1.44
2. Wie groß ist $b$ (positiv)? 1.2
3. Wie groß ist die jährliche Wachstumsrate in Prozent (nur die Zahl)? 20
4. Berechne $P(4) = 2000 \cdot 1{,}2^4$ und runde auf ganze Einwohner. 4147
18.
Der Wert eines Autos ist $V(t) = 18000 \cdot 0{,}88^t$ Euro, $t$ Jahre nach dem Kauf. Deute das Modell und bestimme dann, nach wie vielen ganzen Jahren der Wert zum ersten Mal unter 10000 € fällt.
Lösung: 5
1. Wie hoch war der Kaufpreis des Autos? 18000
2. Um wie viel Prozent sinkt der Wert jedes Jahr (nur die Zahl)? 12
3. Wie groß ist $V(2) = 18000 \cdot 0{,}88^2$ ? 13939.2
4. Nach wie vielen ganzen Jahren liegt der Wert zum ersten Mal unter 10000? 5