Leitfaden für Lehrer: Sachaufgaben zu Exponentialfunktionen

Löse echte Sachaufgaben zu Exponentialfunktionen mit einer 5-Schritte-Methode: Zinseszins, Wertverlust, virale Verbreitung, Halbwertszeit und stetiges Wachstum.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Exponentialfunktionen. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Eine 5-Schritte-Methode anwenden, um exponentielle Sachaufgaben aufzustellen und zu lösen
Das passende Modell wählen: Zinseszins, stetiges Wachstum, Halbwertszeit oder allgemein $a \cdot b^t$
Den Wachstums- oder Zerfallsfaktor aus einem Prozentsatz oder einer Wertetabelle bestimmen
An einer Tabelle entscheiden, ob ein Muster linear oder exponentiell ist
$a$ und $b$ im Sachzusammenhang deuten und beurteilen, ob ein Ergebnis sinnvoll ist

Voraussetzungen

• Einführung in Exponentialfunktionen: die Form $f(x) = a \cdot b^x$
• Exponentielles Wachstum: Wachstumsfaktor $1 + r$ und Zinseszins
• Exponentielle Abnahme: Zerfallsfaktor $1 - r$ und Wertverlust
• Aufgaben zur Halbwertszeit: das Modell $N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$
• Stetiges Wachstum und stetige Abnahme: das Modell $P \cdot e^{rt}$ mit $e \approx 2{,}71828$

Diskussionsstarter

1. Eine Bank bietet 6% bei jährlicher Verzinsung, eine andere 5,9% bei monatlicher Verzinsung. Wie würdest du entscheiden, was besser ist?
2. Warum verliert ein Auto im ersten Jahr mehr Geld als im fünften, obwohl der Prozentsatz gleich ist?
3. Ein Post verdoppelt seine Shares jede Stunde. Kann das eine ganze Woche so weitergehen? Was würde es stoppen?
4. Welche Wörter in einer Aufgabe sagen dir, dass du mit einem Faktor multiplizieren und nicht jedes Mal denselben Betrag addieren musst?

Häufige Missverständnisse

15% Abnahme pro Jahr bedeutet, mit 0,15 zu multiplizieren

Abhilfe: Frage: "Wenn du von 100 € jeweils 15 € verlierst, wie viele Euro bleiben?" Schreibe $100 - 15 = 85$ , also ist der Faktor $0{,}85$ . Prüfe dann, dass nach einem Jahr noch ein großer Teil des Anfangswerts übrig ist.

Der Exponent ist immer die Anzahl der Jahre

Abhilfe: Lass die Lernenden die Perioden laut zählen: "monatlich über 10 Jahre sind 120 Monate", "Halbwertszeit 6 Stunden über 18 Stunden sind 3 Halbwertszeiten". Schreibe den Exponenten als Anzahl der Perioden, nicht der Jahre.

Jede wachsende Tabelle ist exponentiell

Abhilfe: Gib zwei wachsende Tabellen, eine mit konstanten Differenzen und eine mit konstanten Quotienten. Die Lernenden berechnen beides und ordnen jede Tabelle zu.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Die 5-Schritte-Vorlage mit bereits gewählter Formel in Schritt 3 ausgeben
• Mit ganzzahligen Faktoren (verdoppeln, verdreifachen, halbieren) vor Prozentsätzen beginnen
• Die ersten 3 oder 4 Perioden von Hand auflisten lassen, bevor die Formel verwendet wird

Für Schüler auf Niveau:

• Zinseszins, Wertverlust und Halbwertszeit in einem Aufgabenset mischen
• Jährliche, vierteljährliche und monatliche Verzinsung für dieselbe Einlage vergleichen
• Tabellen als linear oder exponentiell einordnen und das Modell aufstellen

Für fortgeschrittene Schüler:

• Den Wachstumsfaktor aus zwei Datenpunkten bestimmen, etwa $b^2 = 1{,}44$
• Ein Angebot mit stetiger Verzinsung mit einem monatlich verzinsten Angebot vergleichen
• Eine eigene Sachaufgabe mit einer falschen Lösung schreiben, die eine Mitschülerin oder ein Mitschüler korrigiert

Standardausrichtung

HSF-LE.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.1)
Zwischen Situationen unterscheiden, die sich mit linearen und mit exponentiellen Funktionen modellieren lassen
HSF-LE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.2)
Lineare und exponentielle Funktionen aus einem Graphen, einer Beschreibung oder zwei Wertepaaren aufstellen (auch aus einer Tabelle)
HSF-LE.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.B.5)
Die Parameter einer linearen oder exponentiellen Funktion im Sachzusammenhang deuten
HSA-CED.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.CED.A.1)
Gleichungen mit einer Variablen aufstellen und zum Lösen von Problemen nutzen, auch Gleichungen aus Exponentialfunktionen

Lektionsressourcen

visualZinseszinsrechner
Ändere die Verzinsungsperiode und sieh, wie monatlich über 10 Jahre mehr bringt als jährlich
activityWelches Modell? Kartensortierung
Die Lernenden sortieren 12 kurze Situationen in linear, exponentielles Wachstum, exponentielle Abnahme und stetig
worksheet5-Schritte-Vorlage für Sachaufgaben
Eine Vorlage mit einem Kästchen pro Schritt: lesen, erkennen, Modell, berechnen, prüfen

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Eine exponentielle Sachaufgabe beschreibt eine Größe, die sich in jedem gleich langen Zeitabschnitt um denselben Faktor ändert. Deine Aufgabe ist es, aus dem Text ein Modell der Form

y = a \cdot b^{t}

zu machen, wobei

a

der Anfangswert und

b

der Wachstumsfaktor (

b > 1

) oder Zerfallsfaktor (

0 < b < 1

) ist.

Die 5-Schritte-Methode funktioniert für jede Aufgabe in dieser Lektion:

1.Lesen: Finde den Anfangswert, die Rate oder den Faktor, die Zeit und die Einheiten.
2.Erkennen: Wachstum oder Abnahme? Bestimme den Faktor $b$ (bei einer Rate $r$ : $b = 1 + r$ oder $b = 1 - r$ ).
3.Modell aufstellen: Wähle die passende Formel und setze die Zahlen ein.
4.Berechnen: Rechne mit dem Taschenrechner und runde so, wie es die Aufgabe verlangt.
5.Prüfen: Ist das Ergebnis sinnvoll (größer oder kleiner als der Anfangswert?) und hat es die richtige Einheit?

Formeln im Überblick (aus den früheren Lektionen):

Zinseszins, $n$ -mal pro Jahr: $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$
Stetiges Wachstum oder stetige Abnahme: $A = P \cdot e^{rt}$
Halbwertszeit $T$ : $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$

Lösungsbeispiele

Du legst 5000 € auf ein Sparkonto mit 6% Jahreszins, monatlich verzinst. Wie viel Geld ist nach 10 Jahren auf dem Konto?

Lesen: Größen notieren

$P = 5000$ €, $r = 0{,}06$ , $n = 12$ (monatlich), $t = 10$ Jahre → Anfangswert, Zinssatz, Perioden pro Jahr und Zeit gefunden

Faktor pro Monat bestimmen

$1 + \frac{r}{n} = 1 + \frac{0{,}06}{12} = 1{,}005$ → Wachstum, Faktor $1{,}005$ pro Monat

Modell aufstellen

$A = 5000 \cdot 1{,}005^{12 \cdot 10} = 5000 \cdot 1{,}005^{120}$ → $A = 5000 \cdot 1{,}005^{120}$

Berechnen

$1{,}005^{120} \approx 1{,}819397$ , also $A \approx 5000 \cdot 1{,}819397 \approx 9096{,}98$ → $A \approx 9096{,}98$

Prüfen

Jährliche Verzinsung ergibt $5000 \cdot 1{,}06^{10} \approx 8954{,}24$ . Monatlich sollte etwas mehr herauskommen, und das stimmt. → Sinnvoll, in Euro

Antwort: Nach 10 Jahren sind etwa 9096,98 € auf dem Konto.

Häufige Fehler

Beim Zinseszins $r$ und $t$ statt $\frac{r}{n}$ und $nt$ verwenden

Warum es falsch ist: Bei monatlicher Verzinsung zahlt die Bank jeden Monat $\frac{6\%}{12} = 0{,}5\%$ , und das 120-mal in 10 Jahren. $5000 \cdot 1{,}06^{120}$ oder $5000 \cdot 1{,}005^{10}$ verwechselt den Zeitabschnitt.

Richtig: Zinssatz pro Periode $\frac{r}{n}$ , Anzahl der Perioden $nt$ : $A = 5000\left(1 + \frac{0{,}06}{12}\right)^{12 \cdot 10}$ .

Die Rate als Faktor nehmen, zum Beispiel $b = 0{,}15$ bei 15% Verlust

Warum es falsch ist: 15% Verlust heißt, dass 85% des Werts bleiben. $24000 \cdot 0{,}15^5$ ist fast null, und kein Auto verliert in 5 Jahren so viel.

Richtig: Abnahme: $b = 1 - r = 0{,}85$ . Wachstum: $b = 1 + r$ . Der Faktor ist das, was nach einer Periode übrig ist (oder was du dann hast).

$t$ statt $\frac{t}{T}$ verwenden, wenn der Zeitabschnitt nicht 1 ist

Warum es falsch ist: "Verdreifacht sich alle 2 Stunden" oder "Halbwertszeit 6 Stunden" heißt, dass der Faktor einmal pro 2 oder 6 Stunden wirkt, nicht jede Stunde. $40 \cdot 3^{10}$ ist viel zu groß.

Richtig: Zähle zuerst die Perioden: Exponent $= \frac{\text{Zeit}}{\text{Länge einer Periode}}$ , zum Beispiel $3^{10/2} = 3^5$ .

Die Plausibilitätsprüfung weglassen

Warum es falsch ist: Ein Ergebnis bei Abnahme, das größer als der Anfangswert ist, oder ein Ergebnis bei Wachstum, das kleiner ist, zeigt immer einen falschen Faktor oder Exponenten.

Richtig: Schritt 5 jedes Mal: Wachstum endet über $a$ , Abnahme endet zwischen $0$ und $a$ , und die Einheit passt zur Frage.

Warum es wichtig ist

Exponentielle Modelle sind die Sprache von Geld, Medizin, Technik und Natur. Wenn du sie selbst aufstellen kannst, kannst du Behauptungen überprüfen, statt sie einfach zu glauben:

Sparen und Kredite: Der Unterschied zwischen jährlicher und monatlicher Verzinsung ist nach 10 oder 20 Jahren echtes Geld
Auto oder Handy kaufen: Der Wertverlust sagt dir, was es noch wert ist, wenn du es verkaufst
Gesundheit: Die Halbwertszeit sagt einer Ärztin, wie viel Medikament nach ein paar Stunden noch im Körper ist
Soziale Medien: Virale Posts wachsen in jedem Zeitabschnitt um einen Faktor, deshalb explodieren sie so schnell
Naturwissenschaften: Populationen, radioaktive Stoffe und abkühlende Körper folgen exponentiellen Gesetzen

Diese Lektion fasst alles aus der Einheit Exponentialfunktionen zusammen. Die 5-Schritte-Methode ist jedes Mal gleich, nur die Formel in Schritt 3 ändert sich.

Anwendungen im echten Leben

Sparen fürs Studium

Banken verzinsen jährlich, vierteljährlich, monatlich oder täglich. Mit der Formel $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$ kannst du Angebote vergleichen, bevor du dich entscheidest.

Beispiel:

1000 € zu 4%, vierteljährlich verzinst, 3 Jahre lang: $1000 \cdot 1{,}01^{12} \approx 1126{,}83$ €.

1Probiere es selbst

Du legst 4000 € auf ein Konto mit 6% Jahreszins, vierteljährlich verzinst, für 2 Jahre an.

Wie viel Geld ist nach 2 Jahren auf dem Konto (auf den Cent genau)?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Verwende $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$ mit $P = 4000$ , $r = 0{,}06$ , $n = 4$ , $t = 2$ :

Bakterien im Labor

Mikrobiologen beschreiben Wachstum, das ständig und nicht in Stufen passiert, mit stetigem Wachstum $A = P \cdot e^{rt}$.

Beispiel:

Eine Kultur aus 1000 Zellen wächst 10 Stunden lang stetig mit 2% pro Stunde: $1000 \cdot e^{0{,}2} \approx 1000 \cdot 1{,}2214 \approx 1221$ Zellen.

2Probiere es selbst

Eine Kultur beginnt mit 800 Zellen und wächst stetig mit einer Rate von 3% pro Stunde. Verwende $e^{0{,}3} \approx 1{,}3499$ .

Wie viele Zellen sind es ungefähr nach 10 Stunden (auf ganze Zellen gerundet)?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Verwende $A = P \cdot e^{rt}$ mit $P = 800$ , $r = 0{,}03$ , $t = 10$ :

Koffein im Körper

Ärzte und Apotheker nutzen die Halbwertszeit, um zu entscheiden, wie oft ein Medikament eingenommen wird. Koffein hat bei Erwachsenen eine Halbwertszeit von etwa 5 Stunden.

Beispiel:

Ein Kaffee mit 100 mg um 8:00 Uhr hinterlässt um 13:00 Uhr noch $100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 50$ mg.

3Probiere es selbst

Ein Energydrink enthält 160 mg Koffein. Nimm eine Halbwertszeit von 5 Stunden an.

Wie viel Koffein ist nach 10 Stunden noch übrig?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Verwende $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ mit $N_0 = 160$ , $T = 5$ , $t = 10$ :

Wichtige Erkenntnisse

1Jede exponentielle Sachaufgabe passt zu $y = a \cdot b^{t}$ : $a$ ist der Anfangswert, $b$ der Faktor pro Periode
2Nutze die 5 Schritte: lesen, Wachstum oder Abnahme und Faktor erkennen, Modell aufstellen, berechnen, prüfen
3Eine Rate $r$ ergibt den Faktor $b = 1 + r$ bei Wachstum und $b = 1 - r$ bei Abnahme
4Zinseszins: $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$ ; stetig: $A = P \cdot e^{rt}$ ; Halbwertszeit: $N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$
5Wirkt der Faktor nur einmal alle $T$ Zeiteinheiten, ist der Exponent $\frac{t}{T}$
6In einer Tabelle bedeuten konstante Differenzen linear und konstante Quotienten exponentiell

Häufig gestellte Fragen

Woran erkenne ich, dass eine Aufgabe exponentiell und nicht linear ist?

Achte auf Wörter wie "Prozent pro Jahr", "verdoppelt", "verdreifacht", "halbiert" oder "Halbwertszeit": Die Änderung ist ein Faktor. Steht im Text "nimmt jedes Jahr um 50 zu", ist die Änderung ein fester Betrag, also linear. In einer Tabelle prüfst du die Quotienten aufeinanderfolgender Werte.

Wann verwende ich $e^{rt}$ statt $(1 + r)^t$ ?

Verwende

e^{rt}

nur, wenn die Aufgabe sagt, dass das Wachstum oder die Abnahme stetig ist (oder stetig verzinst wird). Steht dort jährlich, monatlich, vierteljährlich oder gar nichts zur Verzinsung, nimmst du

(1 + r)^t

oder

\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

Mein Taschenrechner hat keine $e$ -Taste. Was mache ich?

Nimm den Wert aus der Aufgabe, etwa

e^{0{,}4} \approx 1{,}4918

, oder tippe

2{,}71828

für

e

ein. Der Rechner in dieser Lektion kennt

e

, dort kannst du e^0.4 direkt eintippen. Mit 5 Nachkommastellen von

e

rundet dein Ergebnis bei den Aufgaben dieser Lektion auf denselben Cent oder dieselbe ganze Zahl.

Warum ist Schritt 5 wichtig, wenn die Rechnung stimmt?

Die meisten falschen Ergebnisse kommen vom Ansatz, nicht vom Rechnen: ein Faktor

0{,}15

statt

0{,}85

oder

t

statt

\frac{t}{2}

. Die Frage "Sollte das größer oder kleiner als der Anfangswert sein?" findet solche Fehler in wenigen Sekunden.

Glossar

Exponentielles Modell: Eine Formel $y = a \cdot b^{t}$ , die eine Größe beschreibt, die sich in jedem gleich langen Zeitabschnitt um denselben Faktor $b$ ändert
Wachstumsfaktor / Zerfallsfaktor: Die Zahl $b$ , mit der du in jeder Periode multiplizierst: $b = 1 + r$ bei Wachstum, $b = 1 - r$ bei Abnahme
Zinseszins: Zinsen, die $n$ -mal pro Jahr zum Guthaben addiert werden, sodass spätere Zinsen auch auf frühere Zinsen anfallen
Wertverlust: Die Abnahme des Werts eines Gegenstands (Auto, Handy, Maschine) mit der Zeit, oft ein fester Prozentsatz pro Jahr
Halbwertszeit: Die Zeit $T$ , in der eine abnehmende Größe auf die Hälfte ihres Werts sinkt
Stetiges Wachstum: Wachstum, das in jedem Moment stattfindet, beschrieben durch $A = P \cdot e^{rt}$

Formelkarte

Allgemeines exponentielles Modell

y = a \cdot b^{t}

$a$ = Anfangswert, $b$ = Faktor pro Periode ($b = 1 + r$ Wachstum, $b = 1 - r$ Abnahme), $t$ = Anzahl der Perioden.

Zinseszins

A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

$P$ = Anfangskapital, $r$ = Jahreszinssatz als Dezimalzahl, $n$ = Verzinsungen pro Jahr, $t$ = Jahre.

Stetiges Wachstum oder stetige Abnahme

A = P \cdot e^{rt}

$r > 0$ bei Wachstum, $r < 0$ bei Abnahme, $e \approx 2{,}71828$.

Halbwertszeit

N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}

$N_0$ = Anfangsmenge, $T$ = Halbwertszeit, $t$ = vergangene Zeit (gleiche Einheit wie $T$).

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Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

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Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Sparen fürs Studium

Bakterien im Labor

Koffein im Körper

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Allgemeines exponentielles Modell

Zinseszins

Stetiges Wachstum oder stetige Abnahme

Halbwertszeit

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