Leitfaden für Lehrer: Exponentialfunktionen zeichnen

Zeichne y = a·b^x mit einer Wertetabelle, lies Achsenabschnitt und Asymptote ab und sieh, wie Verschiebungen, Spiegelungen und Streckungen den Graphen verändern.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Exponentialfunktionen. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

$y = a \cdot b^x$ mit einer Wertetabelle für $x = -2$ bis $3$ zeichnen
y-Achsenabschnitt, waagerechte Asymptote, Definitionsbereich und Wertebereich eines exponentiellen Graphen bestimmen
Beschreiben, wie $h$ , $k$ sowie Vorzeichen und Betrag von $a$ in $y = a \cdot b^{x-h} + k$ den Graphen verschieben und verformen
Exponentialgleichungen beschriebenen oder skizzierten Graphen zuordnen
$a$ und $b$ von $y = a \cdot b^x$ aus zwei Punkten des Graphen bestimmen

Voraussetzungen

• Einführung in Exponentialfunktionen: die Form $f(x) = a \cdot b^x$ , Wachstum und Abnahme
• Exponentielles Wachstum: Wachstumsfaktoren und Berechnen von $A_0 \cdot b^t$
• Negative Exponenten und Exponent null: $b^0 = 1$ und $b^{-n} = \frac{1}{b^n}$
• Punkte im Koordinatensystem eintragen und Funktionsschreibweise

Diskussionsstarter

1. Warum erreicht der Graph von $y = 2^x$ nie die x-Achse, egal wie weit man nach links geht?
2. Wenn zwei Graphen dieselbe Asymptote und denselben y-Achsenabschnitt haben, müssen sie dann gleich sein? Finde ein Beispiel.
3. Wie könntest du allein an einer Tabelle erkennen, ob die Daten linear oder exponentiell sind?
4. Was ändert sich am Graphen, wenn du $2^x$ durch $2^{x+1}$ ersetzt, und warum ist das dasselbe, wie jeden y-Wert zu verdoppeln?

Häufige Missverständnisse

Die Asymptote ist immer die x-Achse

Abhilfe: Lass die Lernenden $y = 2^x + 3$ für $x = -5$ bis $0$ tabellieren und sehen, dass die Werte sich 3 nähern, nicht 0. Formuliere dann die Regel: Die Asymptote wandert mit $k$ .

Der Graph von $y = 2^{x-3}$ wandert wegen des Minuszeichens nach links

Abhilfe: Frage: Für welches $x$ ist der Exponent 0? Da $x = 3$ ist, liegt der alte Punkt $(0, 1)$ jetzt bei $(3, 1)$ , also weiter rechts.

Ein fallender Graph muss eine Basis zwischen 0 und 1 haben

Abhilfe: Vergleiche $y = (0{,}5)^x$ und $y = -2^x$ : beide fallen, aber aus verschiedenen Gründen (kleine Basis gegenüber negativem $a$ ). Am Wertebereich kann man sie unterscheiden.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Zuerst nur mit der Basis 2 arbeiten und Tabellen mit bereits eingetragenen $x$ -Werten ausgeben
• Immer nur eine Transformation auf einmal verwenden (erst nur $k$ , dann nur $h$ ), bevor sie kombiniert werden
• Zuerst die Asymptote als gestrichelte Linie einzeichnen, dann die Punkte eintragen

Für Schüler auf Niveau:

• Funktionen mit kombinierten Transformationen zeichnen, etwa $y = -2 \cdot 3^{x-1} + 5$
• Gleichungen sprachlichen Beschreibungen von Graphen zuordnen
• Gleichungen aus zwei Punkten bestimmen, auch mit Punkten, die nicht auf der y-Achse liegen

Für fortgeschrittene Schüler:

• $a$ , $b$ und $k$ bestimmen, wenn die Asymptote und zwei Punkte gegeben sind
• Erklären, warum $2^{x+1}$ dasselbe ist wie $2 \cdot 2^x$ , eine seitliche Verschiebung also einer Streckung in y-Richtung entspricht
• Die Nullstelle von $y = a \cdot b^x + k$ bestimmen, wenn $-k/a$ eine Potenz von $b$ ist

Standardausrichtung

HSF-IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.E)
Exponentialfunktionen zeichnen und dabei Achsenschnittpunkte und Verhalten im Unendlichen zeigen
HSF-BF.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.3)
Die Wirkung auf den Graphen erkennen, wenn f(x) durch f(x) + k, k f(x), f(kx) und f(x + k) ersetzt wird
HSF-LE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.2)
Exponentialfunktionen aus einem Graphen, einer Beschreibung oder zwei Wertepaaren aufstellen

Lektionsressourcen

visualExponentialgraph mit Schiebereglern
Die Kurven $y = 2^x$ und $y = (0{,}5)^x$ mit Wertetabelle sowie Schieberegler für $a$ , $b$ , $h$ und $k$ in $y = a \cdot b^{x-h} + k$ , die Kurve und Asymptote verschieben
activityZuordnungskarten für Graphen
Die Schülerinnen und Schüler ordnen acht Gleichungen acht Skizzen zu und nutzen dabei nur Achsenabschnitt, Asymptote und Richtung
worksheetTabelle der Transformationen
Die Schülerinnen und Schüler tragen für zehn verschobene Funktionen $a$ , $h$ , $k$ , Asymptote, y-Achsenabschnitt und Wertebereich ein

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Um eine Exponentialfunktion

f(x) = a \cdot b^x

(mit

b > 0

und

b \neq 1

) zu zeichnen, legst du eine Wertetabelle an, trägst die Punkte ein und verbindest sie mit einer glatten Kurve, die sich einer waagerechten Asymptote nähert.

Die zwei Grundformen (hier mit

a = 1

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$2^x$	$0{,}25$	$0{,}5$	$1$	$2$	$4$	$8$
$(0{,}5)^x$	$4$	$2$	$1$	$0{,}5$	$0{,}25$	$0{,}125$

Ist $b > 1$ , steigt der Graph von links nach rechts: links fast flach an der x-Achse, rechts immer steiler.
Ist $0 < b < 1$ , fällt der Graph von links nach rechts: links steil, rechts fast flach an der x-Achse.

**Wichtige Eigenschaften von

y = a \cdot b^x

:**

y-Achsenabschnitt: $(0, a)$ , weil $b^0 = 1$
Waagerechte Asymptote: $y = 0$ (die x-Achse); die Kurve kommt ihr immer näher, berührt sie aber nie
Definitionsbereich: alle reellen Zahlen
Wertebereich: $y > 0$ für $a > 0$ und $y < 0$ für $a < 0$

Transformationen:

y = a \cdot b^{x-h} + k

$h$ verschiebt den Graphen um $h$ Einheiten nach rechts (nach links, wenn $h$ negativ ist)
$k$ verschiebt den Graphen um $k$ Einheiten nach oben (nach unten, wenn $k$ negativ ist) und verschiebt die Asymptote nach $y = k$
$a < 0$ spiegelt den Graphen an der x-Achse (vor der Verschiebung), sodass er unterhalb seiner Asymptote liegt
ein Faktor $a$ mit $\lvert a \rvert > 1$ streckt den Graphen in y-Richtung, $0 < \lvert a \rvert < 1$ staucht ihn
Wertebereich des verschobenen Graphen: $y > k$ für $a > 0$ und $y < k$ für $a < 0$

Lösungsbeispiele

Zeichne $y = 3 \cdot 2^x$ für $x = -2$ bis $x = 3$ . Gib den y-Achsenabschnitt, die Asymptote, den Definitionsbereich und den Wertebereich an.

Berechne die Werte für negative $x$

$3 \cdot 2^{-2} = 3 \cdot \frac{1}{4} = 0{,}75$ und $3 \cdot 2^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1{,}5$ → Punkte $(-2; 0{,}75)$ und $(-1; 1{,}5)$

Berechne die Werte für $x = 0$ bis $3$

$3 \cdot 2^0 = 3$ , $3 \cdot 2^1 = 6$ , $3 \cdot 2^2 = 12$ , $3 \cdot 2^3 = 24$ → Punkte $(0, 3)$ , $(1, 6)$ , $(2, 12)$ , $(3, 24)$

Trage die Punkte ein und verbinde sie

Jeder Schritt nach rechts verdoppelt $y$ ; jeder Schritt nach links halbiert es → Eine steigende Kurve, links flach und rechts steil

Lies die wichtigen Eigenschaften ab

$a = 3$ liefert den y-Achsenabschnitt; es wird nichts addiert, also $k = 0$ → y-Achsenabschnitt $(0, 3)$ , Asymptote $y = 0$ , Definitionsbereich alle reellen Zahlen, Wertebereich $y > 0$

Antwort: Der Graph geht durch $(-2; 0{,}75)$ , $(-1; 1{,}5)$ , $(0, 3)$ , $(1, 6)$ , $(2, 12)$ , $(3, 24)$ . Er steigt von links nach rechts, schneidet die y-Achse in $(0, 3)$ , nähert sich links der Asymptote $y = 0$ , hat den Definitionsbereich alle reellen Zahlen und den Wertebereich $y > 0$ .

Häufige Fehler

Die Asymptote nach einer Verschiebung nach oben bei $y = 0$ lassen, zum Beispiel bei $y = 2^x + 3$

Warum es falsch ist: Wenn du $k$ addierst, wandert jeder Punkt um $k$ nach oben, auch die Höhe, der sich die Kurve nähert. Der Graph von $y = 2^x + 3$ kommt nie unter 3.

Richtig: Für $y = a \cdot b^{x-h} + k$ ist die Asymptote $y = k$ . Für $y = 2^x + 3$ ist sie $y = 3$ , und der Wertebereich ist $y > 3$ .

In die falsche Richtung verschieben: glauben, dass $y = 2^{x-3}$ den Graphen um 3 nach links verschiebt

Warum es falsch ist: Bei $x - 3$ brauchst du ein größeres $x$ , um denselben Exponenten wie vorher zu erhalten. Der Punkt $(0, 1)$ von $y = 2^x$ liegt jetzt bei $(3, 1)$ .

Richtig: $x - h$ verschiebt um $h$ nach rechts, $x + h$ um $h$ nach links. $y = 2^{x-3}$ wandert 3 nach rechts, $y = 2^{x+3}$ wandert 3 nach links.

Den y-Achsenabschnitt als $a$ (oder $a + k$ ) ablesen, obwohl der Graph auch seitlich verschoben ist

Warum es falsch ist: Der y-Achsenabschnitt ist nur bei $y = a \cdot b^x$ gleich $(0, a)$ . Nach einer seitlichen Verschiebung ist der Exponent bei $x = 0$ nicht mehr 0.

Richtig: Setze immer $x = 0$ ein. Für $y = 2^{x-1} + 3$ : $2^{-1} + 3 = 3{,}5$ , nicht 1 und nicht 4.

$-2^x$ wie $(-2)^x$ behandeln

Warum es falsch ist: Potenzen werden vor dem Minuszeichen berechnet, also gilt $-2^x = -(2^x)$ . Die Basis ist 2, nicht $-2$ , und $(-2)^x$ ist nicht einmal eine Exponentialfunktion.

Richtig: $-2^x$ ist der Graph von $2^x$ , an der x-Achse gespiegelt: Bei $x = 2$ ergibt sich $-4$ , während $(-2)^2 = 4$ ist.

Warum es wichtig ist

Ein Graph zeigt auf einen Blick, was eine Formel versteckt. Wenn du einen exponentiellen Graphen skizzieren kannst, kannst du:

Exponentielle Daten erkennen: Wenn ein Diagramm von Followern, Zellen oder Ersparnissen immer schneller nach oben biegt, zeigt dir eine Wertetabelle, ob wirklich bei jedem Schritt mit demselben Faktor multipliziert wird.
Startwert und Untergrenze ablesen: Der y-Achsenabschnitt ist der Startwert, und die Asymptote $y = k$ ist die Höhe, der sich die Größe nähert, die sie aber nie überschreitet, zum Beispiel ein Grundwert, der immer vorhanden ist.
Ein Modell schnell prüfen: Eine Skizze zeigt sofort, ob eine Formel steigt oder fällt, wo sie die Achsen schneidet und welche Werte unmöglich sind (außerhalb des Wertebereichs).
Ein Modell aus Daten aufstellen: Zwei Punkte wie $(0, 3)$ und $(1, 6)$ reichen, um $a$ und $b$ zu bestimmen und die nächsten Werte vorherzusagen.

Diese Fähigkeiten brauchst du später in diesem Thema wieder: bei exponentieller Abnahme, Halbwertszeit, stetigem Wachstum und Exponentialgleichungen, und danach bei Logarithmen.

Anwendungen im echten Leben

Labordaten im Graphen ablesen

Biologen tragen Zellzahlen gegen die Zeit auf. Liegen die Punkte auf einer exponentiellen Kurve, reichen zwei Messungen, um das Modell aufzustellen und spätere Zahlen vorherzusagen.

Beispiel:

Eine Kultur mit 100 Zellen am Anfang und 200 Zellen eine Stunde später folgt $y = 100 \cdot 2^x$ , also liegt die Kurve nach 4 Stunden bei $100 \cdot 16 = 1600$ Zellen.

1Probiere es selbst

Eine Zellkultur hat 200 Zellen bei $x = 0$ Stunden und 600 Zellen bei $x = 1$ Stunde, und der Graph ist exponentiell: $y = a \cdot b^x$ .

Wie viele Zellen sagt das Modell bei $x = 3$ Stunden voraus?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Bestimme $a$ und $b$ und berechne dann $a \cdot b^3$ :

Videoaufrufe mit Grundwert

Manche Größen haben einen exponentiell wachsenden Anteil auf einem konstanten Anteil. Der konstante Anteil ist die Verschiebung $k$ nach oben, und im Graphen ist er die Asymptote.

Beispiel:

Ein Video bekommt jeden Tag gleichbleibend 100 Aufrufe über die Suche und dazu einen geteilten Anteil, der sich täglich verdoppelt: $V(t) = 25 \cdot 2^t + 100$ . Geht man in der Zeit zurück, schrumpft der geteilte Anteil gegen 0, also nähert sich der Graph $V = 100$ .

2Probiere es selbst

Die täglichen Aufrufe folgen $V(t) = 25 \cdot 2^t + 100$ , wobei $t$ die Anzahl der Tage seit dem Teilen des Videos ist.

Wie viele Aufrufe hat das Video am Tag $t = 4$ ?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $25 \cdot 2^4 + 100$ :

Papier falten

Jedes Falten verdoppelt die Dicke eines Blattes, also ist die Dicke nach $n$ Faltungen eine Exponentialfunktion, deren Graph immer schneller ansteigt.

Beispiel:

Ein 0,1 mm dickes Blatt hat die Dicke $T(n) = 0{,}1 \cdot 2^n$ mm. Nach 7 Faltungen sind das $0{,}1 \cdot 128 = 12{,}8$ mm.

3Probiere es selbst

Ein Blatt Papier ist 0,1 mm dick, und seine Dicke nach $n$ Faltungen ist $T(n) = 0{,}1 \cdot 2^n$ mm.

Nach wie vielen Faltungen ist der Stapel zum ersten Mal dicker als 1 mm?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Lege eine Wertetabelle für $0{,}1 \cdot 2^n$ an und suche den ersten Wert über 1:

Wichtige Erkenntnisse

1Um $y = a \cdot b^x$ zu zeichnen, legst du eine Wertetabelle an (zum Beispiel $x = -2$ bis $3$ ), trägst die Punkte ein und verbindest sie mit einer glatten Kurve
2Für $b > 1$ steigt der Graph von links nach rechts, für $0 < b < 1$ fällt er; $y = b^x$ und $y = (1/b)^x$ sind Spiegelbilder an der y-Achse
3Für $y = a \cdot b^x$ gilt: y-Achsenabschnitt $(0, a)$ , Asymptote $y = 0$ , Definitionsbereich alle reellen Zahlen, Wertebereich $y > 0$ für $a > 0$
4Bei $y = a \cdot b^{x-h} + k$ verschiebt $h$ nach rechts, $k$ nach oben und legt die Asymptote auf $y = k$ , und $a < 0$ legt den Graphen unter die Asymptote
5Nach einer Verschiebung findest du den y-Achsenabschnitt, indem du $x = 0$ einsetzt; der Wertebereich ist $y > k$ oder $y < k$
6Zwei Punkte liefern die Gleichung: $a$ ist der Wert bei $x = 0$ , und der Quotient der y-Werte ergibt eine Potenz von $b$

Häufig gestellte Fragen

Berührt ein exponentieller Graph jemals seine Asymptote?

Nein. Bei

y = a \cdot b^x + k

ist der Term

a \cdot b^x

nie 0, also ist

y

nie gleich

k

. Die Kurve kommt beliebig nahe heran, deshalb ist der Wertebereich

y > k

oder

y < k

und enthält

k

nie.

Wie viele Punkte brauche ich für eine Skizze?

Vier oder fünf genügen: der y-Achsenabschnitt, ein oder zwei Punkte auf jeder Seite und die Asymptote. Eine Wertetabelle von

x = -2

bis

x = 3

zeigt sowohl die flache als auch die steile Seite.

Warum sehen $y = 2^x$ und $y = (0{,}5)^x$ wie Spiegelbilder aus?

Weil

(0{,}5)^x = 2^{-x}

ist. Der Wert von

(0{,}5)^x

bei

x = 3

ist gleich dem Wert von

2^x

bei

x = -3

, also hat jeder Punkt

(x, y)

des einen Graphen den Partner

(-x, y)

auf dem anderen.

Ändert eine Verschiebung nach links oder rechts die Asymptote?

Nein. Eine seitliche Verschiebung schiebt die Kurve an der Asymptote entlang, die also bei

y = k

bleibt. Nur die Verschiebung

k

nach oben oder unten bewegt die Asymptote. Den y-Achsenabschnitt verändert eine seitliche Verschiebung allerdings schon.

Glossar

Wertetabelle: Eine Liste gewählter $x$ -Werte mit den zugehörigen $y$ -Werten, mit der man Punkte eines Graphen einträgt
Waagerechte Asymptote: Eine waagerechte Gerade $y = k$ , der sich der Graph immer weiter nähert, die er aber nie erreicht
y-Achsenabschnitt: Der Punkt, in dem der Graph die y-Achse schneidet; man findet ihn, indem man $x = 0$ einsetzt
Definitionsbereich: Alle $x$ -Werte, für die eine Funktion definiert ist; bei jeder Exponentialfunktion sind das alle reellen Zahlen
Wertebereich: Alle $y$ -Werte, die die Funktion erreicht; für $y = a \cdot b^x + k$ ist das $y > k$ (für $a > 0$ ) oder $y < k$ (für $a < 0$ )
Transformation: Eine Verschiebung, Spiegelung oder Streckung, die einen Graphen bewegt oder umformt, beschrieben durch $h$ , $k$ und $a$ in $y = a \cdot b^{x-h} + k$

Formelkarte

Exponentialfunktion

y = a \cdot b^x

y-Achsenabschnitt $(0, a)$, Asymptote $y = 0$, steigend für $b > 1$, fallend für $0 < b < 1$

Verschobene Form

y = a \cdot b^{x-h} + k

Um $h$ nach rechts, um $k$ nach oben; Asymptote $y = k$; Wertebereich $y > k$ für $a > 0$, $y < k$ für $a < 0$

Spiegelbild

(1/b)^x = b^{-x}

Die Graphen von $b^x$ und $(1/b)^x$ sind zueinander an der y-Achse gespiegelt

Basis aus zwei Punkten

b^{x_2 - x_1} = \frac{y_2}{y_1}

Teile die y-Werte zweier Punkte von $y = a \cdot b^x$, um eine Potenz von $b$ zu erhalten

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Labordaten im Graphen ablesen

Videoaufrufe mit Grundwert

Papier falten

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Exponentialfunktion

Verschobene Form

Spiegelbild

Basis aus zwei Punkten

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Exponentielles Wachstum

Exponentielle Abnahme

Die natürliche Basis e