Die natürliche Basis e

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welche Zahl ist die beste Näherung für $e$ ?
1. a)2,5
2. b)1,41421
3. c)3,14159
4. d)2,71828
Lösung: 2,71828
$e \approx 2{,}71828$ . Die Zahl $3{,}14159$ ist $\pi$ , $1{,}41421$ ist $\sqrt{2}$ , und $2{,}5$ ist zu klein.
2.
Wenn $f(x) = e^x$ ist, was ist $f(0)$ ?
1. a) $0$
2. b) $1$
3. c) $e$
4. d) $-1$
Lösung: $1$
$f(0) = e^0 = 1$ . Deshalb schneidet der Graph von $y = e^x$ die y-Achse in $(0, 1)$ .
3.
Wo liegt der Graph von $y = e^x$ für $x > 0$ ?
1. a)Über $y = 2^x$ und unter $y = 3^x$
2. b)Genau auf dem Graphen von $y = 3^x$
3. c)Über $y = 2^x$ und über $y = 3^x$
4. d)Unter $y = 2^x$ und unter $y = 3^x$
Lösung: Über $y = 2^x$ und unter $y = 3^x$
Weil $2 < e < 3$ gilt, ist für $x > 0$ immer $2^x < e^x < 3^x$ . Zum Beispiel bei $x = 2$ : $4 < 7{,}389 < 9$ .
4.
Was passiert mit $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ , wenn $n$ immer größer wird?
1. a)Es kommt $1$ immer näher
2. b)Es kommt $e \approx 2{,}71828$ immer näher
3. c)Es kommt $2$ immer näher
4. d)Es wächst unbegrenzt
Lösung: Es kommt $e \approx 2{,}71828$ immer näher
Die Werte sind $2$ , $2{,}25$ , $2{,}613$ , $2{,}7146$ , ... Sie steigen weiter, pendeln sich aber bei $e \approx 2{,}71828$ ein. Sie wachsen also nicht unbegrenzt und gehen nicht zurück auf $1$ oder $2$ .
5.
Welcher Wert liegt mit $e \approx 2{,}71828$ am nächsten an $e^3$ ?
1. a) $27$
2. b) $20{,}09$
3. c) $8{,}15$
4. d) $9$
Lösung: $20{,}09$
$e^3 \approx 2{,}71828^3 \approx 20{,}09$ . Der Wert $8{,}15$ ist $3e$ (ein typischer Fehler), und $9 = 3^2$ sowie $27 = 3^3$ verwenden die falsche Basis. Weil $e < 3$ ist, muss $e^3$ kleiner als $27$ sein.
6.
Berechne $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ für $n = 2$ .
Lösung: 2.25
$\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 1{,}5^2 = 2{,}25$ . Das ist der zweite Wert in der Tabelle, die sich $e$ nähert.
7.
Der Graph von $y = e^x$ schneidet die y-Achse im Punkt $(0, b)$ . Was ist $b$ ?
Lösung: 1
Bei $x = 0$ : $y = e^0 = 1$ , also $b = 1$ . Jede Funktion $y = b^x$ verläuft durch $(0, 1)$ .
8.
Berechne $3e^2$ mit $e^2 \approx 7{,}389$ . Runde auf eine Nachkommastelle.
Lösung: 22.2
$3e^2 \approx 3 \cdot 7{,}389 = 22{,}167$ , gerundet $22{,}2$ .
9.
Berechne $e^{-1} = \frac{1}{e}$ mit $e \approx 2{,}718$ . Runde auf drei Nachkommastellen.
Lösung: 0.368
$e^{-1} = \frac{1}{e} \approx \frac{1}{2{,}718} \approx 0{,}36792$ , gerundet $0{,}368$ .
10.
1000 € liegen auf einem Konto mit 100 % Zinsen pro Jahr, vierteljährlich verzinst ( $n = 4$ ). Wie viel ist nach einem Jahr auf dem Konto? Runde auf den Cent.
Lösung: 2441.41
$1{,}25^4 = 2{,}44140625$ , also $A = 1000 \cdot 2{,}44140625 = 2441{,}40625 \approx 2441{,}41$ €. Das ist mehr als bei jährlicher Verzinsung (2000 €) und weniger als die stetige Grenze $1000e \approx 2718{,}28$ €.
11.
Berechne $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ für $n = 4$ . Runde das Endergebnis auf vier Nachkommastellen.
Lösung: 2.4414
1. Was ist $1 + \frac{1}{4}$ als Dezimalzahl? 1.25
2. Quadriere: $1{,}25^2 = ?$ 1.5625
3. Quadriere noch einmal: $1{,}5625^2$ , auf vier Nachkommastellen gerundet 2.4414
12.
Sei $f(x) = e^x$ . Bestimme $f(0)$ , $f(1)$ und $f(2)$ und prüfe dann, wie die Werte wachsen. Verwende $e \approx 2{,}71828$ und $e^2 \approx 7{,}389$ .
Lösung: 2.72
1. Was ist $f(0) = e^0$ ? 1
2. Was ist $f(1) = e^1$ , auf drei Nachkommastellen gerundet? 2.718
3. Was ist $f(2) = e^2$ (verwende den gegebenen Wert)? 7.389
4. Teile $f(2)$ durch $f(1)$ : $\frac{7{,}389}{2{,}718}$ , auf zwei Nachkommastellen gerundet 2.72
13.
Vergleiche $2^2$ , $e^2$ und $3^2$ mit $e^2 \approx 7{,}389$ . Wie weit ist $e^2$ von den beiden anderen Werten entfernt?
Lösung: 1.611
1. Was ist $2^2$ ? 4
2. Was ist $3^2$ ? 9
3. Um wie viel ist $e^2$ größer als $2^2$ ? ( $7{,}389 - 4$ ) 3.389
4. Um wie viel ist $e^2$ kleiner als $3^2$ ? ( $9 - 7{,}389$ ) 1.611
14.
1000 € werden ein Jahr lang zu 10 % pro Jahr angelegt, halbjährlich verzinst ( $n = 2$ ). Vergleiche das Ergebnis mit stetiger Verzinsung und verwende $e^{0{,}1} \approx 1{,}10517$ .
Lösung: 2.67
1. Wie groß ist der Zinssatz pro Halbjahr als Dezimalzahl? 0.05
2. Wie groß ist der Wachstumsfaktor für ein Jahr, $1{,}05^2$ ? 1.1025
3. Wie viel ist bei halbjährlicher Verzinsung auf dem Konto? 1102.5
4. Wie viel ist es bei stetiger Verzinsung? ( $1000 \cdot 1{,}10517$ , auf den Cent gerundet) 1105.17
5. Wie groß ist der Unterschied zwischen den beiden Beträgen? 2.67
15.
Berechne $4e^{0{,}5}$ mit dem Taschenrechner und schreibe $e$ als $2{,}71828$ . Runde das Endergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Lösung: 6.59
1. Was ist $e^{0{,}5} = \sqrt{e}$ , auf vier Nachkommastellen gerundet? (tippe 2.71828^0.5) 1.6487
2. Multipliziere mit $4$ : $4 \cdot 1{,}6487 = ?$ 6.5948
3. Runde $6{,}5948$ auf zwei Nachkommastellen 6.59
16.
1000 € erhalten ein Jahr lang 100 % Zinsen pro Jahr, täglich verzinst ( $n = 365$ ). Wie weit liegt das Ergebnis unter der stetigen Grenze $1000e$ ? Verwende $e \approx 2{,}71828$ , runde beide Beträge auf den Cent und gib den Unterschied in Euro an.
Lösung: 3.71
1. Berechne $\left(1 + \frac{1}{365}\right)^{365}$ , auf vier Nachkommastellen gerundet 2.7146
2. Wie viel ist nach einem Jahr auf dem Konto, auf den Cent gerundet? 2714.57
3. Wie groß ist die stetige Grenze $1000e$ , auf den Cent gerundet? 2718.28
4. Wie groß ist der Unterschied zwischen den beiden Beträgen? 3.71
17.
Zeige, dass der Wert von $e^x$ bei $x = -1$ immer noch zwischen $2^x$ und $3^x$ liegt. Verwende $e \approx 2{,}718$ und runde auf drei Nachkommastellen.
Lösung: 0.368
1. Was ist $2^{-1}$ ? 0.5
2. Was ist $3^{-1}$ , auf drei Nachkommastellen gerundet? 0.333
3. Was ist $e^{-1} = \frac{1}{2{,}718}$ , auf drei Nachkommastellen gerundet? Es sollte zwischen deinen beiden Antworten liegen. 0.368
18.
1000 € werden ein Jahr lang zu 12 % pro Jahr angelegt. Wie viel mehr bekommst du bei stetiger Verzinsung ( $A = Pe^{rt}$ ) als bei jährlicher Verzinsung? Verwende $e^{0{,}12} \approx 1{,}1275$ .
Lösung: 7.5
1. Wie groß ist der Exponent $rt$ ? 0.12
2. Wie groß ist der Betrag bei stetiger Verzinsung? ( $1000 \cdot 1{,}1275$ ) 1127.5
3. Wie groß ist der Betrag bei jährlicher Verzinsung? ( $1000 \cdot 1{,}12$ ) 1120
4. Wie viel mehr bringt die stetige Verzinsung? 7.5