Leitfaden für Lehrer: Die natürliche Basis e

Entdecke, woher die Zahl e kommt, warum sie etwa 2,71828 beträgt und wie sich die natürliche Exponentialfunktion y = e^x verhält.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Exponentialfunktionen. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Erklären, wie die Zahl e als Grenzwert von (1 + 1/n)^n entsteht
Zinseszinsen für verschiedene Verzinsungshäufigkeiten berechnen und die Grenze beschreiben, der sie sich nähern
Ausdrücke mit e mithilfe der Näherung e ≈ 2,71828 auswerten
Den Graphen von y = e^x beschreiben und mit y = 2^x und y = 3^x vergleichen
Erkennen, dass e irrational ist, und Näherungswerte richtig verwenden

Voraussetzungen

• Einführung in Exponentialfunktionen: die Form f(x) = a · b^x, Anfangswert und Basis
• Exponentielles Wachstum: Wachstumsfaktor und die Formel A(t) = A_0(1 + r)^t
• Zinseszinsformel A = P(1 + r/n)^(nt)
• Negative Exponenten und der Exponent null

Diskussionsstarter

1. Wenn Zinsen jede Sekunde gutgeschrieben würden, würdest du dann unendlich reich? Warum oder warum nicht?
2. Warum schrumpft (1 + 1/n)^n wohl nicht einfach auf 1, obwohl 1 + 1/n immer näher an 1 kommt?
3. e und pi sind beide irrationale Konstanten. Welche anderen berühmten Konstanten kennst du, und woher kommen sie?
4. Wie könntest du ohne Taschenrechner zeigen, dass e^x zwischen 2^x und 3^x liegen muss?

Häufige Missverständnisse

Die Folge (1 + 1/n)^n wächst ewig, weil der Exponent ewig wächst

Abhilfe: Lass die Schüler die Werte für n = 10, 100, 1000 und 1000000 berechnen und beobachten, wie wenig jeder neue Wert hinzufügt. Frage, ob eine Summe immer kleinerer Zuwächse unendlich werden muss.

e ist eine Unbekannte, nach der man auflöst, wie x

Abhilfe: Vergleiche e mit pi: Beide sind feste Zahlen, die mit einem Buchstaben benannt werden, weil ihre Nachkommastellen nie enden. Schreibe e^x in einigen Aufgaben als 2,71828^x, um das zu verdeutlichen.

Stetige Verzinsung bringt sehr viel zusätzliches Geld

Abhilfe: Zeige die Tabelle für 12 % auf 1000 €: täglich ergibt 1127,47 €, stetig 1127,50 €. Der Unterschied beträgt nur wenige Cent.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Mit der Tabelle von (1 + 1/n)^n beginnen und nur n = 1 und n = 2 von Hand ausfüllen lassen
• e ≈ 2,71828 sowie e^2 ≈ 7,389 und e^-1 ≈ 0,368 auf einer Merkkarte bereitstellen
• Den Zinsrechner nutzen, um die Verzinsungsperioden zu wechseln, statt Potenzen von Hand zu berechnen

Für Schüler auf Niveau:

• Zinseszinsen für jährliche, vierteljährliche, monatliche und tägliche Verzinsung berechnen und vergleichen
• Ausdrücke wie 3e^2 und e^0,5 mit dem Taschenrechner auswerten
• y = 2^x, y = e^x und y = 3^x aus einer Wertetabelle im selben Koordinatensystem skizzieren

Für fortgeschrittene Schüler:

• Die Reihe e = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + ... untersuchen und vergleichen, wie schnell sie sich e nähert
• (1 + r/n)^n für r = 2 und r = 0,5 untersuchen und den Grenzwert (e^r) vermuten
• Recherchieren, warum 1/e beim Wichtelproblem (Permutationen ohne Fixpunkt) auftaucht

Standardausrichtung

HSF-IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.E)
Exponential- und Logarithmusfunktionen grafisch darstellen und dabei Achsenabschnitte und Verhalten im Unendlichen zeigen
HSF-LE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.2)
Lineare und exponentielle Funktionen aus einem Graphen, einer Beschreibung oder zwei Wertepaaren aufstellen
HSA-SSE.B.3c (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.B.3.C)
Potenzgesetze verwenden, um Terme von Exponentialfunktionen umzuformen

Lektionsressourcen

visualVerzinsungshäufigkeit erkunden
1000 € bei 100 % für ein Jahr einstellen und von jährlicher auf tägliche Verzinsung wechseln, um zu sehen, wie sich der Betrag 2718,28 € nähert
activityAuf der Jagd nach e
Gruppen berechnen (1 + 1/n)^n für n = 1, 2, 10, 100, 1000, 1000000 und tragen die Ergebnisse in ein Diagramm ein
worksheete^x auswerten
Ausdrücke mit e auswerten und e^x mit 2^x und 3^x vergleichen

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Die natürliche Basis

e

ist eine besondere Zahl, ungefähr

2{,}71828

. Sie taucht auf, wenn du den Ausdruck

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n

für immer größere Werte von

n

berechnest:

$n$	$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$
$1$	$2$
$2$	$2{,}25$
$12$	$\approx 2{,}61304$
$365$	$\approx 2{,}71457$
$1\,000\,000$	$\approx 2{,}71828$

Die Werte wachsen immer weiter, überschreiten aber nie eine bestimmte Grenze. Diese Grenze ist die Zahl

e

e \approx 2{,}718281828\ldots

Wichtige Fakten:

$e$ ist irrational: Ihre Nachkommastellen enden nie und wiederholen sich nie, deshalb ist $2{,}71828$ nur eine Näherung
$e$ liegt zwischen $2$ und $3$ , deshalb liegt der Graph der natürlichen Exponentialfunktion $y = e^x$ zwischen den Graphen von $y = 2^x$ und $y = 3^x$
Wie jede Funktion $y = b^x$ verläuft sie durch $(0, 1)$ , denn $e^0 = 1$
Die Basis $e$ wird so oft verwendet, dass man $e^x$ häufig einfach die Exponentialfunktion nennt

Lösungsbeispiele

Berechne $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ für $n = 1$ , $n = 2$ und $n = 12$ . Was fällt dir auf?

Setze $n = 1$

$\left(1 + \frac{1}{1}\right)^1 = 2^1 = 2$

Setze $n = 2$

$\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 1{,}5^2 = 2{,}25$

Setze $n = 12$ (mit dem Taschenrechner)

$\left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 1{,}083333^{12} \approx 2{,}61304$

Vergleiche mit größeren $n$

$n = 365$ ergibt $\approx 2{,}71457$ , $n = 1\,000\,000$ ergibt $\approx 2{,}71828$ → Die Werte wachsen immer langsamer

Antwort: Die Ergebnisse $2$ , $2{,}25$ , $2{,}61304$ , ... werden immer größer, pendeln sich aber bei $e \approx 2{,}71828$ ein und überschreiten diesen Wert nie.

Häufige Fehler

Glauben, dass $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ unbegrenzt wächst oder auf $1$ schrumpft

Warum es falsch ist: Zwei Effekte wirken gegeneinander: $1 + \frac{1}{n}$ kommt $1$ immer näher, aber der Exponent $n$ wird größer. Keiner der beiden gewinnt vollständig.

Richtig: Prüfe es mit einer Tabelle: $2$ , $2{,}25$ , $2{,}613$ , $2{,}7146$ , $2{,}71828$ . Die Werte steigen, pendeln sich aber bei $e \approx 2{,}71828$ ein.

$e$ wie eine Variable behandeln, zum Beispiel wie $x$

Warum es falsch ist: Buchstaben stehen in der Algebra meist für Unbekannte, deshalb versuchen Schüler, nach $e$ aufzulösen oder andere Zahlen für $e$ einzusetzen.

Richtig: $e$ ist eine feste Konstante, genau wie $\pi$ . In $y = e^x$ ist $x$ die Variable; $e \approx 2{,}71828$ ändert sich nie.

$e^2$ als $2e \approx 5{,}437$ berechnen

Warum es falsch ist: Ein Exponent bedeutet wiederholtes Multiplizieren, nicht Multiplizieren mit dem Exponenten.

Richtig: $e^2 = e \cdot e \approx 2{,}71828 \cdot 2{,}71828 \approx 7{,}389$ .

$e = 2{,}71828$ oder $e = 2{,}72$ schreiben, als wäre der Wert exakt

Warum es falsch ist: $e$ ist irrational, deshalb ist keine endliche Dezimalzahl und kein Bruch genau gleich $e$ .

Richtig: Schreibe $e \approx 2{,}71828$ und runde erst am Ende einer Rechnung, so genau wie die Aufgabe es verlangt.

Warum es wichtig ist

Die Zahl

e

taucht überall dort auf, wo etwas im Verhältnis zu seiner aktuellen Größe wächst oder schrumpft:

Banken: Werden Zinsen immer häufiger gutgeschrieben (monatlich, täglich, jede Sekunde), nähert sich das Ergebnis einer Grenze, die auf $e$ beruht. Das nennt man stetige Verzinsung
Biologie: Bakterien und Zellkulturen, die ohne Pause wachsen, werden mit $e^x$ beschrieben
Physik und Chemie: Radioaktiver Zerfall, Abkühlung und das Laden eines Kondensators verwenden Potenzen von $e$
Wahrscheinlichkeit: Wenn viele Personen beim Wichteln Namen ziehen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass niemand den eigenen Namen zieht, etwa $\frac{1}{e} \approx 0{,}368$
Analysis: $e^x$ ist die einzige Exponentialfunktion, deren Änderungsrate in jedem Punkt gleich ihrem eigenen Wert ist. Deshalb ist sie die natürliche Wahl in den Naturwissenschaften

Darum haben wissenschaftliche Taschenrechner eine

e^x

-Taste, und darum werden spätere Lektionen (stetiges Wachstum, Populationsmodelle) mit der Basis

e

geschrieben.

Anwendungen im echten Leben

Banken und Verzinsungshäufigkeit

Banken nennen einen Jahreszinssatz, schreiben die Zinsen aber eventuell jährlich, monatlich oder täglich gut. Je häufiger das passiert, desto näher kommt das Ergebnis der stetigen Grenze, die auf $e$ beruht.

Beispiel:

Bei 12 % pro Jahr wachsen 1000 € bei jährlicher Verzinsung auf 1120,00 € und bei stetiger Verzinsung auf etwa 1127,50 € ( $1000 \cdot e^{0{,}12}$ ).

1Probiere es selbst

Du legst 1000 € ein Jahr lang zu 12 % pro Jahr an, monatlich verzinst.

Wie viel ist nach einem Jahr auf dem Konto, auf den Cent gerundet?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $1000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}12}{12}\right)^{12}$ :

Wachsende Zellkulturen

Zellen in einer Laborkultur teilen sich ständig, nicht einmal am Tag. Deshalb beschreiben Biologen ihr Wachstum mit der Basis $e$: $N = N_0 e^{kt}$.

Beispiel:

Eine Kultur mit 200 Zellen, beschrieben durch $N = 200e^{t}$ ( $t$ in Stunden), hat nach 1 Stunde $200e^{1} \approx 544$ Zellen.

2Probiere es selbst

Eine Kultur beginnt mit 200 Zellen und wird durch $N = 200e^{t}$ beschrieben, $t$ in Stunden.

Wie viele Zellen sind es ungefähr nach 2 Stunden?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $200 \cdot e^2$ :

Wichteln und 1/e

Beim Wichteln zieht jede Person einen Namen aus einem Hut. Die Wahrscheinlichkeit, dass niemand den eigenen Namen zieht, ist fast genau $\frac{1}{e}$, sobald die Gruppe mehr als ein paar Personen hat.

Beispiel:

In einer Klasse mit 25 Schülern ist die Wahrscheinlichkeit, dass niemand den eigenen Namen zieht, etwa $0{,}368$ . In etwa 63 % der Fälle muss also neu gezogen werden.

3Probiere es selbst

Eine große Gruppe zieht Namen zum Wichteln. Die Wahrscheinlichkeit, dass niemand den eigenen Namen zieht, ist $\frac{1}{e}$ .

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit in Prozent, dass mindestens eine Person den eigenen Namen zieht?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $1 - \frac{1}{e}$ :

Wichtige Erkenntnisse

1Wenn $n$ wächst, kommt $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ der Zahl $e \approx 2{,}71828$ immer näher
2 $e$ ist irrational: $2{,}71828$ ist eine Näherung, nicht der exakte Wert
3Häufigeres Verzinsen (jährlich, monatlich, täglich) bringt mehr Geld, aber der Betrag nähert sich einer Grenze: der stetigen Verzinsung
4Die natürliche Exponentialfunktion $y = e^x$ verläuft durch $(0, 1)$ und hat die x-Achse als waagerechte Asymptote
5Weil $2 < e < 3$ gilt, liegt der Graph von $y = e^x$ zwischen den Graphen von $y = 2^x$ und $y = 3^x$
6Stetiges Wachstum verwendet $A = Pe^{rt}$ , das du in der Lektion Stetiges Wachstum und stetige Abnahme lernst

Häufig gestellte Fragen

Warum heißt e die natürliche Basis?

Weil sie in Natur und Finanzwelt von selbst auftaucht, wann immer etwas ständig und nicht in Schritten wächst. In der Analysis ist

e^x

die einzige Exponentialfunktion, deren Steigung in jedem Punkt gleich ihrem eigenen Wert ist. Deshalb sind Formeln mit der Basis

e

am einfachsten.

Wer hat e entdeckt?

Jakob Bernoulli fand sie um 1683, als er Zinseszinsen untersuchte, genau wie in dieser Lektion. Leonhard Euler gab ihr später den Namen

e

, bewies viele ihrer Eigenschaften und berechnete viele Nachkommastellen. Deshalb heißt sie Eulersche Zahl.

Ist e dasselbe wie die Euler-Mascheroni-Konstante?

Nein. Die Eulersche Zahl

e \approx 2{,}71828

ist die Basis der natürlichen Exponentialfunktion. Die Euler-Mascheroni-Konstante

\gamma \approx 0{,}5772

ist eine andere Zahl aus der Zahlentheorie. In diesem Thema wird nur

e

verwendet.

Wie verwende ich e auf dem Taschenrechner?

Die meisten wissenschaftlichen Taschenrechner haben eine

e^x

-Taste. Der Rechner in dieser Lektion kennt

e

auch: Tippe e^0.5 für

e^{0{,}5}

ein, was etwa

1{,}6487

ergibt. Ohne

e

-Taste tippst du stattdessen 2.71828 ein, zum Beispiel 2.71828^0.5.

Glossar

Eulersche Zahl e: Die irrationale Konstante $e \approx 2{,}71828$ , der Grenzwert von $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ für wachsendes $n$
Natürliche Exponentialfunktion: Die Funktion $f(x) = e^x$ , eine Exponentialfunktion mit der Basis $e$
Irrationale Zahl: Eine Zahl, die sich nicht als Bruch schreiben lässt; ihre Nachkommastellen enden nie und wiederholen sich nie (Beispiele: $e$ , $\pi$ , $\sqrt{2}$ )
Verzinsungshäufigkeit: Wie oft pro Jahr Zinsen dem Guthaben gutgeschrieben werden, geschrieben $n$ (jährlich $n = 1$ , monatlich $n = 12$ , täglich $n = 365$ )
Stetige Verzinsung: Der Grenzfall, wenn Zinsen immer häufiger gutgeschrieben werden; der Betrag ist $A = Pe^{rt}$

Formelkarte

Definition von e

e = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2{,}71828

Für sehr große $n$ liegt $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ sehr nahe bei $e$.

Natürliche Exponentialfunktion

f(x) = e^x

Verläuft durch $(0, 1)$, ist immer positiv, waagerechte Asymptote $y = 0$, liegt zwischen $2^x$ und $3^x$.

Zinseszins

A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

$P$ = Anfangskapital, $r$ = Jahreszinssatz als Dezimalzahl, $n$ = Verzinsungen pro Jahr, $t$ = Jahre.

Stetige Verzinsung

A = Pe^{rt}

Der Grenzwert des Zinseszinses, wenn $n$ über alle Grenzen wächst.

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Banken und Verzinsungshäufigkeit

Wachsende Zellkulturen

Wichteln und 1/e

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Definition von e

Natürliche Exponentialfunktion

Zinseszins

Stetige Verzinsung

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Exponentielle Abnahme