Modelle für Bevölkerungswachstum

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Eine Gemeinde mit $2000$ Einwohnern wächst um $4\%$ pro Jahr. Welche Funktion beschreibt die Einwohnerzahl nach $t$ Jahren?
1. a) $P(t) = 2000 \cdot 0{,}04^t$
2. b) $P(t) = 2000 \cdot 1{,}04^t$
3. c) $P(t) = 2000 + 1{,}04t$
4. d) $P(t) = 2000 \cdot 4^t$
Lösung: $P(t) = 2000 \cdot 1{,}04^t$
$4\% = 0{,}04$ , also ist der Wachstumsfaktor $1{,}04$ und $P(t) = 2000 \cdot 1{,}04^t$ . Die Basis $0{,}04$ würde die Gemeinde schrumpfen lassen, $4$ würde sie jedes Jahr vervierfachen, und $2000 + 1{,}04t$ ist linear.
2.
Eine Population von $6000$ verdoppelt sich alle $15$ Jahre. Welches Modell gibt die Population nach $t$ Jahren an?
1. a) $P(t) = 6000 \cdot 2^{15t}$
2. b) $P(t) = 6000 \cdot 2^t$
3. c) $P(t) = 6000 \cdot 2^{t/15}$
4. d) $P(t) = 6000 \cdot 15^{t/2}$
Lösung: $P(t) = 6000 \cdot 2^{t/15}$
Das Verdopplungsmodell ist $P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}$ mit $d = 15$ , also $P(t) = 6000 \cdot 2^{t/15}$ . Nach $15$ Jahren ist der Exponent $1$ und die Population beträgt $12000$ .
3.
Die Bevölkerung eines Landes wächst um $2\%$ pro Jahr. Wie lange dauert es nach der 70er-Regel ungefähr, bis sie sich verdoppelt?
1. a)14 Jahre
2. b)35 Jahre
3. c)140 Jahre
4. d)3500 Jahre
Lösung: 35 Jahre
$d \approx \frac{70}{2} = 35$ Jahre. Mit $0{,}02$ geteilt käme $3500$ heraus, viel zu groß. Die genaue Verdopplungszeit beträgt ebenfalls etwa $35$ Jahre.
4.
Eine Kaninchenpopulation auf einer Insel ist einige Jahre exponentiell gewachsen, aber jetzt wird ihr Wachstum langsamer. Was ist der wahrscheinlichste Grund?
1. a)Der Wachstumsfaktor eines exponentiellen Modells fällt nach ein paar Jahren unter 1
2. b)Populationen wechseln immer nach genau 5 Jahren zu linearem Wachstum
3. c)Futter und Platz sind begrenzt, die Population nähert sich also der Kapazitätsgrenze
4. d)Exponentialfunktionen erreichen immer einen größten Wert
Lösung: Futter und Platz sind begrenzt, die Population nähert sich also der Kapazitätsgrenze
Futter und Platz auf der Insel sind begrenzt. Nähert sich die Population der Kapazitätsgrenze, wird das Wachstum langsamer und die Kurve flacht ab (logistisches Wachstum). Exponentialfunktionen mit $b > 1$ haben kein Maximum, die Verlangsamung kommt also von der Umwelt, nicht von der Mathematik.
5.
Stadt A und Stadt B haben heute beide $10000$ Einwohner. Stadt A wächst um $500$ Menschen pro Jahr, Stadt B um $5\%$ pro Jahr. Welche Aussage über die Einwohnerzahlen in 20 Jahren stimmt? (Verwende $1{,}05^{20} \approx 2{,}6533$ .)
1. a)Stadt B ist um etwa 6533 größer
2. b)Beide Städte haben 20000 Einwohner
3. c)Stadt B ist um genau 500 größer
4. d)Stadt A ist um etwa 6533 größer
Lösung: Stadt B ist um etwa 6533 größer
Stadt A: $10000 + 500 \cdot 20 = 20000$ . Stadt B: $10000 \cdot 1{,}05^{20} \approx 26533$ . Im ersten Jahr wachsen beide um $500$ , aber die exponentiell wachsende Stadt zieht um etwa $26533 - 20000 = 6533$ Menschen davon.
6.
Eine Kolonie von $1500$ Kaninchen wächst um $10\%$ pro Jahr. Wie viele Kaninchen sind es nach 1 Jahr?
Lösung: 1650
$P(1) = 1500 \cdot 1{,}1 = 1650$ Kaninchen.
7.
Eine Stadt mit $4000$ Einwohnern verdoppelt sich alle $8$ Jahre. Wie viele Einwohner hat sie nach $24$ Jahren?
Lösung: 32000
$\frac{24}{8} = 3$ Verdopplungen, also $P(24) = 4000 \cdot 2^3 = 4000 \cdot 8 = 32000$ .
8.
Eine Fischpopulation wächst um $7\%$ pro Jahr. Schätze mit der 70er-Regel ihre Verdopplungszeit in Jahren.
Lösung: 10
$d \approx \frac{70}{7} = 10$ Jahre. Das ist eine Schätzung: Die genaue Verdopplungszeit beträgt etwa $10{,}2$ Jahre.
9.
Ein Dorf hatte 2023 $2500$ Einwohner und 2024 $2600$ . Wie groß ist die jährliche Wachstumsrate in Prozent? (Schreib nur die Zahl, zum Beispiel 5.)
Lösung: 4
$\frac{2600}{2500} = 1{,}04$ , also $r = 1{,}04 - 1 = 0{,}04 = 4\%$ pro Jahr.
10.
Eine Kultur von $200$ Bakterien verdoppelt sich alle $25$ Minuten. Nach wie vielen Minuten sind es $12800$ Bakterien?
Lösung: 150
$\frac{12800}{200} = 64 = 2^6$ , es sind also 6 Verdopplungen nötig: $6 \cdot 25 = 150$ Minuten.
11.
Eine Stadt mit $30000$ Einwohnern wächst um $2\%$ pro Jahr. Wie viele Einwohner hat sie nach 2 Jahren?
Lösung: 31212
1. Wie groß ist der Wachstumsfaktor $1 + r$ ? 1.02
2. Wie viel ist $1{,}02^2$ ? 1.0404
3. Multipliziere mit $30000$ . Wie viele Einwohner sind es nach 2 Jahren? 31212
12.
Eine Probe von $50$ Bakterien verdoppelt sich alle $10$ Minuten. Wie viele Bakterien sind es nach 1 Stunde?
Lösung: 3200
1. Wie viele Verdopplungen gibt es in 60 Minuten? 6
2. Wie viel ist $2^6$ ? 64
3. Wie viele Bakterien sind es nach 1 Stunde? 3200
13.
Ein See hatte letztes Jahr $800$ Fische und hat dieses Jahr $880$ . Wie viele Fische gibt es 2 Jahre nach der Zählung von 800, wenn das jährliche prozentuale Wachstum gleich bleibt?
Lösung: 968
1. Wie groß ist der Wachstumsfaktor $\frac{880}{800}$ ? 1.1
2. Wie groß ist die jährliche Wachstumsrate in Prozent? (Schreib nur die Zahl.) 10
3. Berechne $P(2) = 800 \cdot 1{,}1^2$ . 968
14.
Ein Land mit $5$ Millionen Einwohnern wächst um $1{,}4\%$ pro Jahr. Schätze mit der 70er-Regel die Einwohnerzahl in 100 Jahren (in Millionen).
Lösung: 20
1. Schätze die Verdopplungszeit in Jahren mit der 70er-Regel. 50
2. Wie viele Verdopplungen gibt es in 100 Jahren? 2
3. Schätze die Einwohnerzahl in 100 Jahren, in Millionen. 20
15.
Eine Hirschpopulation von $1000$ Tieren verdoppelt sich alle $10$ Jahre. Schätze die Population nach $5$ Jahren. (Runde $2^{0{,}5}$ auf 3 Dezimalstellen.)
Lösung: 1414
1. Wie groß ist der Exponent $\frac{t}{d}$ ? 0.5
2. Wie viel ist $2^{0{,}5}$ , auf 3 Dezimalstellen gerundet? 1.414
3. Schätze die Population nach 5 Jahren. 1414
16.
Eine Stadt hatte 2020 $40000$ Einwohner und 2021 $44000$ . Erstelle für 2023 eine Prognose mit einem linearen und mit einem exponentiellen Modell. Um wie viel ist die exponentielle Prognose größer?
Lösung: 1240
1. Lineares Modell: Wie viele Einwohner kommen pro Jahr dazu? 4000
2. Wie lautet die lineare Prognose für 2023? 52000
3. Exponentielles Modell: Wie groß ist der Wachstumsfaktor? 1.1
4. Wie lautet die exponentielle Prognose für 2023? 53240
5. Um wie viel ist die exponentielle Prognose größer? 1240
17.
Eine Stadt hatte 2018 $5000$ Einwohner und 2020 $7200$ . Sage unter der Annahme gleichen jährlichen prozentualen Wachstums die Einwohnerzahl für 2022 voraus.
Lösung: 10368
1. Wie groß ist der Wachstumsfaktor über 2 Jahre, $\frac{7200}{5000}$ ? 1.44
2. Wie groß ist der jährliche Wachstumsfaktor $b$ ? 1.2
3. Wie groß ist die jährliche Wachstumsrate in Prozent? (Schreib nur die Zahl.) 20
4. Sage die Einwohnerzahl für 2022 voraus. 10368
18.
Eine Population von $10000$ wächst um $5\%$ pro Jahr. Schätze die Verdopplungszeit mit der 70er-Regel und prüfe dann die Schätzung: Wie groß ist die Population nach so vielen Jahren?
Lösung: 19800
1. Schätze die Verdopplungszeit in Jahren mit der 70er-Regel. 14
2. Berechne $1{,}05^{14}$ mit dem Taschenrechner, auf 2 Dezimalstellen gerundet. 1.98
3. Wie groß ist die Population nach 14 Jahren, wenn du $1{,}98$ verwendest? 19800