Leitfaden für Lehrer: Modelle für Bevölkerungswachstum

Modelliere wachsende Populationen von Bakterien, Städten und Tieren mit Exponentialfunktionen, Verdopplungszeit und der 70er-Regel.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Exponentialfunktionen. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Populationsmodelle der Form $P(t) = P_0 (1 + r)^t$ und $P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}$ aufstellen und auswerten
Verdopplungszeiten mit der 70er-Regel schätzen und erklären, dass es eine Näherung ist
Ein exponentielles Populationsmodell aus zwei Datenpunkten aufstellen
Lineare und exponentielle Prognosen aus denselben Daten vergleichen
Qualitativ erklären, warum echtes Bevölkerungswachstum nahe der Kapazitätsgrenze langsamer wird

Voraussetzungen

• Einführung in Exponentialfunktionen: die Form $f(x) = a \cdot b^x$
• Exponentielles Wachstum: Wachstumsfaktor $1 + r$ und die Formel $A(t) = A_0 (1 + r)^t$
• Umrechnen zwischen Prozent und Dezimalzahlen
• Lineare Funktionen der Form $y = mx + b$

Diskussionsstarter

1. Wenn sich eine Stadt alle 35 Jahre verdoppelt, wie viel größer ist sie nach 140 Jahren? Ist das realistisch?
2. Warum können zwei Wissenschaftler mit denselben Daten ganz unterschiedliche Prognosen für 2050 machen?
3. Was könnte das Wachstum einer Kaninchenpopulation auf einer Insel begrenzen?
4. Wo ist die 70er-Regel im Alltag nützlich, zum Beispiel bei Ersparnissen oder Preisen?

Häufige Missverständnisse

Exponentielles Wachstum kann für immer weitergehen

Abhilfe: Rechne das Modell weit voraus: 1000 Kaninchen, die sich jedes Jahr verdoppeln, wären nach 20 Jahren über eine Milliarde. Sprecht über Futter, Platz und Raubtiere und skizziert dann die S-förmige logistische Kurve, die sich an der Kapazitätsgrenze einpendelt.

Zwei Datenpunkte legen immer genau ein richtiges Modell fest

Abhilfe: Lege eine Gerade und eine Exponentialfunktion durch dieselben zwei Punkte (Beispiel 5). Beide gehen durch die Daten, aber ihre Prognosen laufen auseinander. Man braucht mehr Datenpunkte, um zu entscheiden, welches Muster passt.

Die 70er-Regel liefert die exakte Verdopplungszeit

Abhilfe: Lass die Lernenden $1{,}05^{14}$ mit dem Taschenrechner prüfen: Es ist etwa $1{,}98$ , nicht genau $2$ . Die Regel ist eine Abkürzung, die für kleine Raten nah dran ist.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Mit ganzen Verdopplungen beginnen (t/d ist eine ganze Zahl) und Schritt für Schritt eine Tabelle aufbauen
• Eine Karte geben, die Prozentsätze in Wachstumsfaktoren umrechnet (2% zu 1,02, 5% zu 1,05)
• Mit der Folgen-Visualisierung jede Verdopplung als neuen Balken sehen

Für Schüler auf Niveau:

• Die 70er-Regel anwenden und mit Taschenrechnerwerten von $(1 + r)^d$ vergleichen
• Modelle aus zwei aufeinanderfolgenden Jahreszählungen aufstellen und Vorhersagen machen
• Lineare und exponentielle Prognosen für dieselbe Stadt vergleichen

Für fortgeschrittene Schüler:

• Ein Modell aus Zählungen mit mehreren Jahren Abstand aufstellen, mit Wurzeln wie $\sqrt{1{,}44} = 1{,}2$
• Echte Volkszählungsdaten recherchieren und prüfen, ob sie linear, exponentiell oder logistisch aussehen
• Die in der Finanzwelt genutzte 72er-Regel untersuchen und mit der 70er-Regel vergleichen

Standardausrichtung

HSF-LE.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.1)
Situationen unterscheiden, die mit linearen Funktionen und mit Exponentialfunktionen modelliert werden können
HSF-LE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.2)
Lineare und exponentielle Funktionen aus einem Graphen, einer Beschreibung oder zwei Wertepaaren aufstellen
HSF-LE.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.3)
Erkennen, dass eine exponentiell wachsende Größe eine linear wachsende Größe irgendwann übertrifft
HSF-LE.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.B.5)
Die Parameter einer linearen oder exponentiellen Funktion im Sachzusammenhang deuten

Lektionsressourcen

visualVerdopplungsfolge
Geometrische Folge mit Startwert 300 und Quotient 2: Jeder Balken ist eine Verdopplung einer Bakterienkultur
visualBalkendiagramm einer Population
Eine Population von 10000, die um 10% pro Jahr wächst, mit jedes Jahr größeren Sprüngen
activityPrognose-Duell
Gruppen erhalten zwei Volkszählungen einer echten Stadt, erstellen eine lineare und eine exponentielle Prognose und vergleichen sie mit einer späteren echten Zählung
worksheetÜbungen zur Verdopplungszeit
Schätzungen mit der 70er-Regel, verglichen mit genauen Taschenrechnerwerten für verschiedene Wachstumsraten

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Ein Populationsmodell ist eine Funktion, die vorhersagt, wie viele Individuen (Menschen, Bakterien, Tiere) es nach einer Zeit

t

gibt. Wächst eine Population jedes Jahr um den gleichen Prozentsatz, folgt sie einem exponentiellen Modell:

P(t) = P_0 (1 + r)^t

$P_0$ = Anfangspopulation (bei $t = 0$ )
$r$ = jährliche Wachstumsrate als Dezimalzahl (3% bedeutet $r = 0{,}03$ )
$1 + r$ = Wachstumsfaktor
$t$ = Zeit in Jahren

Kennen wir die Verdopplungszeit

d

(die Zeit, in der sich die Population verdoppelt), können wir dasselbe Modell so schreiben:

P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}

Der Exponent

\frac{t}{d}

zählt, wie viele Verdopplungen stattgefunden haben. Eine schnelle Schätzung verbindet beide Formen, die 70er-Regel:

d \approx \frac{70}{\text{Wachstumsrate in Prozent}}

Sie ist nur eine Näherung, für kleine Raten aber sehr gut.

Das Balkendiagramm zeigt eine Population von

10000

, die um

10\%

pro Jahr wächst:

10000

11000

12100

13310

14641

. Jeder Balken ist

1{,}1

-mal so hoch wie der vorherige, deshalb werden die Sprünge jedes Jahr größer.

Lösungsbeispiele

Eine Stadt hat $50000$ Einwohner und wächst um $2\%$ pro Jahr. Schätze die Einwohnerzahl nach 5 Jahren.

Bestimme $P_0$ , $r$ und $t$

$P_0 = 50000$ , $r = 0{,}02$ , $t = 5$ → Werte bestimmt

Bestimme den Wachstumsfaktor

$1 + r = 1 + 0{,}02 = 1{,}02$ → Wachstumsfaktor $1{,}02$

Stelle das Modell auf

$P(t) = 50000 \cdot 1{,}02^t$ → Modell fertig

Setze $t = 5$ ein

$P(5) = 50000 \cdot 1{,}02^5 \approx 50000 \cdot 1{,}10408 \approx 55204$ → $P(5) \approx 55204$

Antwort: Nach 5 Jahren hat die Stadt etwa 55204 Einwohner.

Häufige Fehler

Den Prozentwert direkt im Wachstumsfaktor verwenden: $50000 \cdot (1 + 2)^t$

Warum es falsch ist: Eine Rate von $2\%$ ist als Dezimalzahl $0{,}02$ . Mit $1 + 2 = 3$ würde sich die Stadt jedes Jahr verdreifachen.

Richtig: Rechne zuerst den Prozentsatz um: $2\% = 0{,}02$ , der Wachstumsfaktor ist also $1{,}02$ und $P(t) = 50000 \cdot 1{,}02^t$ .

Vergessen, durch die Verdopplungszeit zu teilen: $300 \cdot 2^{180}$

Warum es falsch ist: Der Exponent muss Verdopplungen zählen, nicht Minuten. In 180 Minuten gibt es nur $\frac{180}{30} = 6$ Verdopplungen.

Richtig: Verwende $P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}$ : $300 \cdot 2^{180/30} = 300 \cdot 2^6 = 19200$ .

Die Dezimalrate in der 70er-Regel verwenden: $\frac{70}{0{,}035} = 2000$ Jahre

Warum es falsch ist: Die 70er-Regel ist für die Rate als Prozentzahl gedacht. Mit der Dezimalzahl wird das Ergebnis 100-mal zu groß.

Richtig: Teile 70 durch die Prozentzahl: $\frac{70}{3{,}5} = 20$ Jahre, und denk daran, dass es eine Schätzung ist.

Beim Bestimmen der Rate durch die spätere Zählung teilen: $\frac{120}{1320} \approx 9{,}1\%$

Warum es falsch ist: Die Wachstumsrate bezieht sich auf den Ausgangswert der Population, nicht auf den Endwert.

Richtig: Teile die neue Zählung durch die alte: $\frac{1320}{1200} = 1{,}1$ , also $r = 10\%$ .

Warum es wichtig ist

Populationsmodelle helfen beim Planen:

Städte nutzen Wachstumsprognosen, um zu entscheiden, wie viele Schulen, Wohnungen und Busse sie in 10 oder 20 Jahren brauchen
Biologen und Ärzte sagen voraus, wie schnell sich Bakterien in einer Probe oder bei einer Infektion vermehren
Wildtiermanager beobachten bedrohte Arten und invasive Tiere, um zu sehen, ob sich eine Population erholt oder explodiert
Regierungen vergleichen lineare und exponentielle Prognosen, um Wasser, Energie und Nahrung zu planen

Der Unterschied zwischen einer Geraden und einer Kurve, die sich immer wieder verdoppelt, kann einen Plan komplett verändern: Eine exponentielle Prognose kann schon nach wenigen Jahrzehnten um Tausende Menschen höher liegen. Echte Populationen können nicht für immer exponentiell wachsen, deshalb muss ein guter Prognostiker auch wissen, wann das Modell nicht mehr funktioniert.

Anwendungen im echten Leben

Stadtplanung

Stadtplaner sagen voraus, wie viele Einwohner eine Stadt haben wird, damit rechtzeitig genug Schulen, Wohnungen und öffentliche Verkehrsmittel gebaut werden.

Beispiel:

Eine Stadt mit $250000$ Einwohnern, die um $1\%$ pro Jahr wächst, hätte nach 10 Jahren etwa $250000 \cdot 1{,}01^{10} \approx 276156$ Einwohner.

1Probiere es selbst

Eine schnell wachsende Stadt hat $80000$ Einwohner und wächst um $5\%$ pro Jahr.

Wie viele Einwohner hat sie nach 3 Jahren?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $80000 \cdot 1{,}05^3$ :

Bakterien im Labor

Mikrobiologen nutzen Verdopplungszeiten, um vorherzusagen, wann eine Kultur groß genug für eine Untersuchung ist oder wie schnell sich eine Infektion vor der Behandlung ausbreiten kann.

Beispiel:

Manche Bakterien verdoppeln sich unter idealen Bedingungen etwa alle 20 Minuten, das sind 3 Verdopplungen, also ein Faktor $2^3 = 8$ , pro Stunde.

2Probiere es selbst

Eine Kultur beginnt mit $1000$ Bakterien, die sich alle $20$ Minuten verdoppeln.

Wie viele Bakterien sind es nach 1 Stunde und 40 Minuten?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $1000 \cdot 2^{100/20}$ :

Erholung von Wildtierbeständen

Naturschutzteams zählen Tiere jedes Jahr, stellen aus den Zählungen ein Wachstumsmodell auf und prüfen, ob sich eine geschützte Art erholt. Sie wissen auch, dass ein Schutzgebiet nur eine begrenzte Zahl von Tieren ernähren kann, seine Kapazitätsgrenze, und das Wachstum deshalb später langsamer wird.

Beispiel:

Wächst eine Herde in einem Jahr von $500$ auf $540$ Tiere, ist der Wachstumsfaktor $\frac{540}{500} = 1{,}08$ , die Herde wächst also um $8\%$ pro Jahr, solange genug Futter da ist.

3Probiere es selbst

Ein Wolfsrudel in einem Schutzgebiet ist in einem Jahr von $64$ auf $80$ Wölfe gewachsen.

Wie viele Wölfe gibt es 2 Jahre nach der Zählung von 80, wenn der gleiche jährliche Prozentsatz bleibt?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $80 \cdot (80/64)^2$ :

Wichtige Erkenntnisse

1Eine Population, die jedes Jahr um den gleichen Prozentsatz wächst, folgt $P(t) = P_0 (1 + r)^t$ , mit $r$ als Dezimalzahl
2Mit einer Verdopplungszeit $d$ lautet das Modell $P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}$ , wobei $\frac{t}{d}$ die Verdopplungen zählt
3Die 70er-Regel schätzt die Verdopplungszeit: $d \approx \frac{70}{\text{Prozentrate}}$ ; sie ist eine Näherung, keine exakte Formel
4Aus zwei jährlichen Zählungen ist der Wachstumsfaktor $\frac{P_1}{P_0}$ und die Rate $r = \frac{P_1}{P_0} - 1$
5Lineare Prognosen addieren jedes Jahr die gleiche Zahl; exponentielle Prognosen multiplizieren und ziehen deshalb mit der Zeit davon
6Echte Populationen wachsen langsamer, wenn sie sich der Kapazitätsgrenze ihrer Umgebung nähern, exponentielle Modelle passen also am besten zu frühem Wachstum

Häufig gestellte Fragen

Warum funktioniert die 70er-Regel?

Die genaue Verdopplungszeit ist

d = \frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}

, und für kleine Raten liegt

\ln(1 + r)

sehr nah an

r

. Da

\ln 2 \approx 0{,}693

ist, beträgt die Verdopplungszeit etwa

\frac{0{,}693}{r} = \frac{69{,}3}{\text{Prozent}}

, gerundet 70. Logarithmen lernst du in einer späteren Lektion kennen; nutze die Regel bis dahin als schnelle Schätzung.

Wie genau ist die 70er-Regel?

Für Raten bis etwa

10\%

liegt sie meist weniger als ein Jahr daneben. Bei

2\%

ergibt sie

35

Jahre, der genaue Wert ist etwa

35{,}0

Jahre. Bei

7\%

ergibt sie

10

Jahre, der genaue Wert ist etwa

10{,}2

Jahre. Bei großen Raten wird der Fehler größer.

Was ist die Kapazitätsgrenze?

Die Kapazitätsgrenze ist die größte Population, die eine Umgebung mit ihrer Nahrung, ihrem Wasser und ihrem Platz versorgen kann. Nähert sich eine Population dieser Grenze, wird das Wachstum langsamer und die Kurve flacht zu einer S-Form ab. Das nennt man logistisches Wachstum; in dieser Lektion beschreiben wir es nur, ohne Formel.

Soll ich ein lineares oder ein exponentielles Modell verwenden?

Schau dir die Daten an. Wächst die Population jedes Jahr um etwa die gleiche Anzahl, nimm ein lineares Modell. Wächst sie jedes Jahr um etwa den gleichen Prozentsatz (die Quotienten

\frac{P_1}{P_0}

\frac{P_2}{P_1}

sind etwa gleich), nimm ein exponentielles Modell.

Glossar

Populationsmodell: Eine Funktion $P(t)$ , die die Größe einer Population nach der Zeit $t$ vorhersagt
Anfangspopulation: Die Population $P_0$ zu Beginn, also bei $t = 0$
Wachstumsrate: Der Prozentsatz, um den die Population pro Zeitabschnitt wächst, in der Formel als Dezimalzahl $r$ geschrieben
Verdopplungszeit: Die Zeit $d$ , in der sich eine Population verdoppelt
70er-Regel: Die Schätzung $d \approx \frac{70}{\text{Prozentrate}}$ für die Verdopplungszeit
Kapazitätsgrenze: Die größte Population, die eine Umgebung auf Dauer versorgen kann

Formelkarte

Populationsmodell mit jährlicher Rate

P(t) = P_0 (1 + r)^t

$P_0$ = Anfangspopulation, $r$ = jährliche Wachstumsrate als Dezimalzahl, $t$ = Jahre.

Modell mit Verdopplungszeit

P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}

$d$ = Verdopplungszeit, in derselben Einheit wie $t$. Der Exponent $\frac{t}{d}$ ist die Anzahl der Verdopplungen.

70er-Regel (Schätzung)

d \approx \frac{70}{\text{Prozentrate}}

Ungefähre Verdopplungszeit. Verwende die Rate als Prozentzahl, zum Beispiel $\frac{70}{2} = 35$ Jahre bei $2\%$.

Wachstumsfaktor aus zwei Zählungen

1 + r = \frac{P_1}{P_0}

$P_0$ und $P_1$ sind Zählungen im Abstand von einem Zeitabschnitt.

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70er-Regel (Schätzung)

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