Stetigkeit

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Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welche dieser Aussagen ist KEINE der drei Bedingungen dafür, dass $f$ an der Stelle $x = a$ stetig ist?
1. a) $\lim_{x \to a} f(x)$ existiert
2. b) $f(a)$ ist definiert
3. c) $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
4. d) $f(a) = 0$
2.
$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ ist überall stetig. Bestimme $\lim_{x \to 2} f(x)$ .
3.
Wo ist $f(x) = \frac{1}{x - 4}$ NICHT stetig?
1. a) $x = 4$
2. b) $x = -4$
3. c) $x = 0$
4. d)Sie ist überall stetig
4.
$g(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ ist bei $x = 1$ nicht definiert. Welchen Wert muss $g(1)$ bekommen, damit $g$ bei $x = 1$ stetig ist?
5.
Prüfe, ob $f(x) = x^2 + 2x$ an der Stelle $x = 3$ stetig ist.
6.
Ist $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x < 1 \\ 4 - x, & x \geq 1 \end{cases}$ an der Stelle $x = 1$ stetig?
7.
Welche Funktion ist für ALLE reellen Zahlen stetig?
1. a) $\frac{1}{x}$
2. b) $e^x + x^3$
3. c) $\sqrt{x}$
4. d) $\ln x$
8.
Bestimme $k$ so, dass $f(x) = \begin{cases} x + k, & x < 2 \\ x^2, & x \geq 2 \end{cases}$ bei $x = 2$ stetig ist.
9.
Bestimme $k$ so, dass $f(x) = \begin{cases} kx - 2, & x \leq 3 \\ x^2 + 1, & x > 3 \end{cases}$ überall stetig ist.
10.
Es sei $h(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2}$ für $x \neq 2$ und $h(2) = 3$ . Ist $h$ bei $x = 2$ stetig?
11.
Wo ist $f(x) = \frac{x + 3}{x^2 - 9}$ stetig?
1. a)Alle reellen Zahlen außer $x = -3$
2. b)Alle reellen Zahlen außer $x = 3$ und $x = -3$
3. c)Alle reellen Zahlen
4. d)Alle reellen Zahlen außer $x = 3$
12.
An wie vielen Stellen ist $f(x) = \frac{x - 1}{x^3 - 4x}$ nicht stetig?
13.
Entscheide mit dem Zwischenwertsatz, ob $f(x) = x^3 - 2x - 5$ eine Nullstelle in $[2, 3]$ hat.
14.
Bestimme $a$ so, dass $f(x) = \begin{cases} ax + 3, & x < 2 \\ x^2 + a, & x \geq 2 \end{cases}$ überall stetig ist.
15.
Bestimme $a$ und $b$ so, dass $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 1 \\ ax + b, & 1 \leq x < 3 \\ x^2 - 3, & x \geq 3 \end{cases}$ überall stetig ist.
16.
$f(x) = \frac{1}{x}$ hat $f(-1) = -1$ und $f(1) = 1$ , aber $f(x) = 0$ hat keine Lösung. Warum lässt sich der Zwischenwertsatz auf $[-1, 1]$ nicht anwenden?
1. a) $f(-1)$ und $f(1)$ haben dasselbe Vorzeichen
2. b)Der Satz gilt nur für Polynome
3. c) $f$ ist auf $[-1, 1]$ nicht stetig: bei $x = 0$ nicht definiert
4. d) $0$ liegt nicht zwischen $-1$ und $1$
17.
Es sei $f(x) = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ für $x \neq 4$ und $f(4) = k$ . Bestimme $k$ so, dass $f$ bei $x = 4$ stetig ist.
18.
Wie viele Nullstellen von $f(x) = x^3 - 3x + 1$ in $[0, 2]$ garantiert der Zwischenwertsatz mithilfe der Stellen $x = 0$ , $1$ , $2$ ?