Stetigkeit

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welche dieser Aussagen ist KEINE der drei Bedingungen dafür, dass $f$ an der Stelle $x = a$ stetig ist?
1. a) $\lim_{x \to a} f(x)$ existiert
2. b) $f(a)$ ist definiert
3. c) $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
4. d) $f(a) = 0$
Lösung: $f(a) = 0$
Die drei Bedingungen sind: $f(a)$ ist definiert, $\lim_{x \to a} f(x)$ existiert, und der Grenzwert ist gleich $f(a)$ . Der Wert $f(a)$ kann jede Zahl sein; er muss nicht $0$ sein.
2.
$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ ist überall stetig. Bestimme $\lim_{x \to 2} f(x)$ .
Lösung: 13
Weil $f$ stetig ist, gilt $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 3 \cdot 4 - 4 + 5 = 13$ .
3.
Wo ist $f(x) = \frac{1}{x - 4}$ NICHT stetig?
1. a) $x = 4$
2. b) $x = -4$
3. c) $x = 0$
4. d)Sie ist überall stetig
Lösung: $x = 4$
Der Nenner $x - 4$ ist bei $x = 4$ gleich $0$ , also ist $f(4)$ dort nicht definiert. Überall sonst ist $f$ stetig.
4.
$g(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ ist bei $x = 1$ nicht definiert. Welchen Wert muss $g(1)$ bekommen, damit $g$ bei $x = 1$ stetig ist?
Lösung: 2
$\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1$ für $x \neq 1$ , also ist der Grenzwert $1 + 1 = 2$ . Mit $g(1) = 2$ sind Grenzwert und Funktionswert gleich.
5.
Prüfe, ob $f(x) = x^2 + 2x$ an der Stelle $x = 3$ stetig ist.
Lösung: $\lim_{x \to 3} f(x) = f(3) = 15$
1. Was ist $f(3)$ ? 15
2. Was ist $\lim_{x \to 3} f(x)$ ? 15
3. Ist $f$ bei $x = 3$ stetig? ja
6.
Ist $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x < 1 \\ 4 - x, & x \geq 1 \end{cases}$ an der Stelle $x = 1$ stetig?
Lösung: $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 3$
1. Linksseitiger Grenzwert $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ ? 3
2. Rechtsseitiger Grenzwert $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ ? 3
3. Funktionswert $f(1)$ ? 3
4. Ist $f$ bei $x = 1$ stetig? ja
7.
Welche Funktion ist für ALLE reellen Zahlen stetig?
1. a) $\frac{1}{x}$
2. b) $e^x + x^3$
3. c) $\sqrt{x}$
4. d) $\ln x$
Lösung: $e^x + x^3$
$\frac{1}{x}$ ist bei $0$ nicht definiert, $\ln x$ existiert nur für $x > 0$ und $\sqrt{x}$ nur für $x \geq 0$ . $e^x + x^3$ ist eine Summe zweier überall stetiger Funktionen und damit überall stetig.
8.
Bestimme $k$ so, dass $f(x) = \begin{cases} x + k, & x < 2 \\ x^2, & x \geq 2 \end{cases}$ bei $x = 2$ stetig ist.
Lösung: 2
Links: $2 + k$ . Rechts und Funktionswert: $2^2 = 4$ . Also $2 + k = 4$ und $k = 2$ .
9.
Bestimme $k$ so, dass $f(x) = \begin{cases} kx - 2, & x \leq 3 \\ x^2 + 1, & x > 3 \end{cases}$ überall stetig ist.
Lösung: 4
1. Rechtsseitiger Grenzwert bei $x = 3$ (mit $x^2 + 1$ )? 10
2. Das linke Stück ergibt $3k - 2$ . Aus $3k - 2 = 10$ : Was ist $3k$ ? 12
3. Wie groß ist $k$ ? 4
10.
Es sei $h(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2}$ für $x \neq 2$ und $h(2) = 3$ . Ist $h$ bei $x = 2$ stetig?
Lösung: $\lim_{x \to 2} h(x) = -1 \neq h(2) = 3$
1. Was ist $h(2)$ ? 3
2. Nach Faktorisieren und Kürzen ist $h(x) = x - 3$ . Was ist $\lim_{x \to 2} h(x)$ ? -1
3. Ist $h$ bei $x = 2$ stetig? nein
11.
Wo ist $f(x) = \frac{x + 3}{x^2 - 9}$ stetig?
1. a)Alle reellen Zahlen außer $x = -3$
2. b)Alle reellen Zahlen außer $x = 3$ und $x = -3$
3. c)Alle reellen Zahlen
4. d)Alle reellen Zahlen außer $x = 3$
Lösung: Alle reellen Zahlen außer $x = 3$ und $x = -3$
$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ ist bei $x = 3$ und $x = -3$ gleich $0$ , also ist $f$ an beiden Stellen nicht definiert. Bei $x = -3$ hat der Graph eine Lücke, bei $x = 3$ eine Polstelle, in beiden Fällen ist $f$ dort nicht stetig.
12.
An wie vielen Stellen ist $f(x) = \frac{x - 1}{x^3 - 4x}$ nicht stetig?
Lösung: 3
$x^3 - 4x = x(x - 2)(x + 2)$ ist bei $x = 0$ , $x = 2$ und $x = -2$ gleich $0$ . Der Zähler kürzt keinen davon weg, also ist $f$ an genau $3$ Stellen unstetig.
13.
Entscheide mit dem Zwischenwertsatz, ob $f(x) = x^3 - 2x - 5$ eine Nullstelle in $[2, 3]$ hat.
Lösung: $f(2) = -1 < 0 < 16 = f(3)$
1. Was ist $f(2)$ ? -1
2. Was ist $f(3)$ ? 16
3. Garantiert der Zwischenwertsatz eine Nullstelle in $[2, 3]$ ? ja
14.
Bestimme $a$ so, dass $f(x) = \begin{cases} ax + 3, & x < 2 \\ x^2 + a, & x \geq 2 \end{cases}$ überall stetig ist.
Lösung: 1
Links: $2a + 3$ . Rechts und Funktionswert: $4 + a$ . Aus $2a + 3 = 4 + a$ folgt $a = 1$ . Probe: Beide Seiten ergeben $5$ .
15.
Bestimme $a$ und $b$ so, dass $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 1 \\ ax + b, & 1 \leq x < 3 \\ x^2 - 3, & x \geq 3 \end{cases}$ überall stetig ist.
Lösung: a = 2, b = 0
1. Bei $x = 1$ ergibt das linke Stück $1 + 1$ . Also $a + b = ?$ 2
2. Bei $x = 3$ ergibt das rechte Stück $3^2 - 3$ . Also $3a + b = ?$ 6
3. Subtrahiere die erste Gleichung von der zweiten. Wie groß ist $a$ ? 2
4. Wie groß ist $b$ ? 0
16.
$f(x) = \frac{1}{x}$ hat $f(-1) = -1$ und $f(1) = 1$ , aber $f(x) = 0$ hat keine Lösung. Warum lässt sich der Zwischenwertsatz auf $[-1, 1]$ nicht anwenden?
1. a) $f(-1)$ und $f(1)$ haben dasselbe Vorzeichen
2. b)Der Satz gilt nur für Polynome
3. c) $f$ ist auf $[-1, 1]$ nicht stetig: bei $x = 0$ nicht definiert
4. d) $0$ liegt nicht zwischen $-1$ und $1$
Lösung: $f$ ist auf $[-1, 1]$ nicht stetig: bei $x = 0$ nicht definiert
Der Zwischenwertsatz setzt voraus, dass $f$ auf dem ganzen abgeschlossenen Intervall stetig ist. $\frac{1}{x}$ ist bei $x = 0$ nicht definiert, und $0$ liegt in $[-1, 1]$ , also sagt der Satz hier nichts aus.
17.
Es sei $f(x) = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ für $x \neq 4$ und $f(4) = k$ . Bestimme $k$ so, dass $f$ bei $x = 4$ stetig ist.
Lösung: 1/4
1. Setze $x = 4$ in den Zähler $\sqrt{x} - 2$ ein. Was ergibt sich? 0
2. $(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) = x - c$ . Wie groß ist $c$ ? 4
3. Also ist $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}$ . Was ist $\lim_{x \to 4} f(x)$ ? Gib einen Bruch an. 1/4
4. Wie groß muss $k$ sein? 1/4
18.
Wie viele Nullstellen von $f(x) = x^3 - 3x + 1$ in $[0, 2]$ garantiert der Zwischenwertsatz mithilfe der Stellen $x = 0$ , $1$ , $2$ ?
Lösung: 2
1. Was ist $f(0)$ ? 1
2. Was ist $f(1)$ ? -1
3. Was ist $f(2)$ ? 3
4. Wie viele Vorzeichenwechsel und damit garantierte Nullstellen gibt es? 2