Leitfaden für Lehrer: Grenzwerte am Graphen ablesen

Lies Grenzwerte direkt am Graphen ab, unterscheide den Grenzwert vom Funktionswert und erkenne, wann ein Grenzwert nicht existiert.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Grenzwerte. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

$\lim_{x \to a} f(x)$ am Graphen ablesen, indem man der Kurve von beiden Seiten folgt
Mit offenen Kreisen und ausgefüllten Punkten den Grenzwert bei $a$ vom Funktionswert $f(a)$ unterscheiden
Erkennen, dass ein Grenzwert existieren kann, wo $f(a)$ nicht definiert oder vom Grenzwert verschieden ist
Am Graphen entscheiden, wann ein Grenzwert nicht existiert, weil die beiden Seiten gegen verschiedene Höhen streben
Mehrere Grenzwerte und Funktionswerte an einem abschnittsweise definierten Graphen ablesen

Voraussetzungen

• Einführung in Grenzwerte: die Idee eines Wertes, dem sich eine Funktion nähert
• Grenzwertschreibweise: $\lim_{x \to a} f(x) = L$ lesen
• Punkte und Höhen in einem Koordinatensystem ablesen
• Einfache abschnittsweise definierte Funktionen und die Bedeutung offener und ausgefüllter Kreise

Diskussionsstarter

1. Wenn du einen einzigen Punkt aus einem Graphen radierst, kann das den Grenzwert dort ändern? Warum oder warum nicht?
2. Wie kann eine Funktion bei $x = a$ einen Wert haben, aber dort keinen Grenzwert?
3. Warum müssen wir beide Seiten von $x = a$ ansehen, bevor wir den Grenzwert nennen?
4. Wo im Alltag springt ein Graph plötzlich? Was würde der Grenzwert an der Sprungstelle bedeuten?

Häufige Missverständnisse

Der Grenzwert bei $a$ ist immer $f(a)$

Abhilfe: Zeige eine Gerade mit einer Lücke bei $(2, 3)$ und einem Punkt bei $(2, 5)$ . Frage, wohin die Gerade strebt, und dann, wo der Punkt liegt. Zwei verschiedene Fragen, zwei verschiedene Antworten.

Eine Lücke bedeutet, dass der Grenzwert nicht existiert

Abhilfe: Lass die Lernenden mit zwei Fingern von beiden Seiten zur Lücke wandern. Sie treffen sich an der Lücke, also existiert der Grenzwert. Nur ein Sprung, bei dem die Finger auf verschiedenen Höhen enden, verhindert den Grenzwert.

Die Antwort auf einen Grenzwert ist die Zahl, gegen die $x$ strebt

Abhilfe: Bestehe darauf, Antworten an der $y$ -Achse abzulesen. Lass die Lernenden erst sagen 'wenn $x$ gegen $2$ strebt, strebt die Höhe gegen ...', bevor sie etwas aufschreiben.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Beginne mit Graphen, die nur eine besondere Stelle und Höhen auf den Gitterlinien haben
• Nutze zwei farbige Stifte, um die linke und die rechte Seite nachzufahren, bevor der Grenzwert genannt wird
• Führe für jede Stelle eine Tabelle mit zwei Spalten: Grenzwert (der Kurve folgen) und Funktionswert (ausgefüllter Punkt)

Für Schüler auf Niveau:

• Grenzwerte und Funktionswerte an mehreren Stellen eines abschnittsweise definierten Graphen ablesen
• Karten mit Graphen sortieren: Grenzwert gleich Funktionswert, Grenzwert verschieden vom Funktionswert, Grenzwert existiert nicht
• Einen Graphen skizzieren, der zu vorgegebenen Grenzwerten und Funktionswerten passt

Für fortgeschrittene Schüler:

• Eine Funktion entwerfen, deren Grenzwert bei $x = 1$ existiert, aber von $f(1)$ abweicht, und ihre abschnittsweise Vorschrift aufschreiben
• Eine Konstante finden, mit der zwei Teilstücke zusammentreffen, sodass der Grenzwert existiert
• Die Schreibweise einseitiger Grenzwerte vorbereiten, indem man die linke und rechte Höhe an einem Sprung beschreibt

Standardausrichtung

HSF-IF.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.B.4)
Wichtige Merkmale von Funktionsgraphen interpretieren und Graphen mit diesen Merkmalen skizzieren
HSF-IF.C.7b (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.B)
Abschnittsweise definierte Funktionen einschließlich Treppenfunktionen zeichnen
AP Calculus LIM-1.C (AP.CALC.LIM-1.C)
Grenzwerte von Funktionen anhand von Graphen abschätzen

Lektionsressourcen

visualGraph mit Lücke und Punkt
Interaktiver Graph von $y = x + 1$ mit einer Lücke bei $(2, 3)$ und einem ausgefüllten Punkt bei $(2, 5)$ , um den Grenzwert mit $f(2)$ zu vergleichen
visualAbschnittsweise definierter Graph mit Grenzwerten
Interaktiver Graph mit einem Sprung und einer Lücke, der an jeder Bruchstelle beide Seiten und den Funktionswert anzeigt
activityFingerwanderung
Die Lernenden fahren auf ausgedruckten Graphen mit zwei Fingern von beiden Seiten zu jeder markierten Stelle und notieren die erreichten Höhen

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Um einen Grenzwert grafisch zu bestimmen, liest du

\lim_{x \to a} f(x)

direkt am Graphen von

f

ab. Lege auf jeder Seite von

x = a

einen Finger auf die Kurve, fahre in Richtung

x = a

und beobachte, auf welche Höhe (

y

-Wert) die Kurve zusteuert.

Streben beide Seiten gegen dieselbe Höhe $L$ , dann gilt $\lim_{x \to a} f(x) = L$ .
Streben die beiden Seiten gegen verschiedene Höhen, dann existiert der Grenzwert nicht.

Grenzwert und Funktionswert. Das sind zwei verschiedene Fragen:

$\lim_{x \to a} f(x)$ fragt, wohin die Kurve in der Nähe von $x = a$ strebt.
$f(a)$ fragt, wo der ausgefüllte Punkt bei $x = a$ tatsächlich liegt.

Ein offener Kreis (eine Lücke) markiert einen Punkt, der im Graphen fehlt. Ein ausgefüllter Punkt markiert den tatsächlichen Funktionswert. Der Grenzwert ignoriert, was genau bei

x = a

passiert. Eine Lücke oder ein Punkt an einer anderen Stelle ändert den Grenzwert also nicht.

\lim_{x \to a} f(x) = L \quad \text{wenn beide Seiten des Graphen gegen die Höhe } L \text{ streben}

Lösungsbeispiele

Der Graph von $f$ ist die Gerade $y = x + 1$ mit einem offenen Kreis bei $(2, 3)$ und einem ausgefüllten Punkt bei $(2, 5)$ (der erste Graph dieser Lektion). Bestimme $\lim_{x \to 2} f(x)$ und $f(2)$ .

Folge der Kurve von links

Für $x = 1{,}9;\ 1{,}99;\ 1{,}999$ steigt die Gerade zum offenen Kreis hin → Die Höhe strebt gegen $3$

Folge der Kurve von rechts

Für $x = 2{,}1;\ 2{,}01;\ 2{,}001$ fällt die Gerade zum selben offenen Kreis hin → Die Höhe strebt gegen $3$

Vergleiche beide Seiten

Beide Seiten streben gegen dieselbe Höhe → $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$

Suche den ausgefüllten Punkt bei $x = 2$

Der ausgefüllte Punkt liegt bei $(2, 5)$ , abseits der Geraden → $f(2) = 5$

Antwort: $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ , aber $f(2) = 5$ . Der Grenzwert folgt der Kurve, der Funktionswert ist der ausgefüllte Punkt.

Häufige Fehler

Den ausgefüllten Punkt als Grenzwert ablesen: $\lim_{x \to 2} f(x) = 5$ antworten, weil bei $(2, 5)$ ein Punkt liegt

Warum es falsch ist: Der Grenzwert beschreibt, wohin die Kurve in der Nähe von $x = 2$ strebt. Ein einzelner Punkt abseits der Kurve ändert nicht, wohin die Kurve strebt.

Richtig: Folge der Kurve von beiden Seiten: Sie strebt zum offenen Kreis auf Höhe $3$ , also $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ , während $f(2) = 5$ ist.

Sagen, der Grenzwert existiert nicht, weil es eine Lücke gibt

Warum es falsch ist: Eine Lücke bedeutet nur, dass $f(a)$ fehlt. Der Grenzwert schaut nie auf $x = a$ selbst, sondern nur auf die Werte drumherum.

Richtig: Streben beide Seiten gegen die Höhe der Lücke, existiert der Grenzwert und ist gleich dieser Höhe, auch wenn $f(a)$ nicht definiert ist.

Bei einem Sprung die Höhe des ausgefüllten Punktes (oder einer Seite) als Grenzwert angeben

Warum es falsch ist: Für einen beidseitigen Grenzwert müssen beide Seiten übereinstimmen. Bei einem Sprung streben die linke und die rechte Seite gegen verschiedene Höhen.

Richtig: Prüfe beide Seiten. Streben sie gegen verschiedene Höhen, schreibe, dass der Grenzwert nicht existiert, egal was der ausgefüllte Punkt zeigt.

Mit dem $x$ -Wert antworten: $\lim_{x \to 2} f(x) = 2$ schreiben

Warum es falsch ist: Die $2$ unter dem Limes-Zeichen ist die Stelle, gegen die $x$ strebt. Der Grenzwert selbst ist eine Höhe, ein $y$ -Wert.

Richtig: Lies die Antwort an der $y$ -Achse ab: die Höhe, gegen die die Kurve strebt, wenn $x$ sich $2$ nähert.

Warum es wichtig ist

Ein Graph zeigt oft am schnellsten, was eine Funktion in der Nähe einer Stelle macht:

Hier beginnt die Analysis: Die Ableitung (Steigung einer Tangente) ist ein Grenzwert, und du begegnest ihr zuerst als Bild.
Echte Daten haben Lücken und Fehler: Ein Sensorgraph kann einen fehlenden Messwert oder einen falschen Ausreißer haben. Der Grenzwert zeigt den wahren Verlauf um diesen Zeitpunkt.
Preise und Gebühren springen: Versandkosten, Taxitarife und Steuerstufen haben Graphen mit Sprüngen, bei denen der Wert kurz vor und kurz nach einer Grenze verschieden ist.
Die Stetigkeit baut darauf auf: Später nennst du eine Funktion an der Stelle $a$ stetig, wenn der Grenzwert existiert und gleich $f(a)$ ist. Am Graphen kannst du das mit bloßem Auge prüfen.

Grenzwerte am Graphen abzulesen trainiert die wichtigste Gewohnheit der Analysis: Schau, was in der Nähe einer Stelle passiert, nicht nur an der Stelle.

Anwendungen im echten Leben

Versandkosten mit Gewichtsgrenze

Paketdienste rechnen nach Gewichtsklassen ab. Der Graph der Kosten in Abhängigkeit vom Gewicht ist deshalb eine Treppe mit Sprüngen an den Klassengrenzen.

Beispiel:

Ein Paketdienst verlangt 5 € bis 2 kg und 8 € über 2 kg. Knapp unter 2 kg liegt der Graph bei 5, knapp darüber bei 8. Der Grenzwert der Kosten für ein Gewicht gegen 2 kg existiert also nicht.

1Probiere es selbst

Ein Paketdienst verlangt 5 € für Pakete bis 2 kg (2 kg eingeschlossen) und 8 € für Pakete von knapp über 2 kg bis 5 kg. Der Graph der Kosten $C(w)$ hat einen ausgefüllten Punkt bei $(2, 5)$ und einen offenen Kreis bei $(2, 8)$ .

Wie groß ist der Sprung bei $w = 2$ (die Höhe, gegen die die rechte Seite strebt, minus die Höhe, gegen die die linke Seite strebt)?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Höhe rechts minus Höhe links:

Ein Fehler in Sensordaten

Wetterstationen und Fitnesstracker stellen Messwerte über die Zeit dar. Geht ein Messwert verloren oder ist er falsch, bekommt der Graph eine Lücke oder einen verirrten Punkt, und der Grenzwert zeigt den echten Verlauf.

Beispiel:

Ein Pulsgraph, der sich von beiden Seiten eines Zeitpunkts 120 Schlägen pro Minute nähert, mit einem einzigen fehlerhaften Messwert 0 genau zu diesem Zeitpunkt, hat dort trotzdem den Grenzwert 120.

2Probiere es selbst

Eine Wetterstation stellt die Temperatur $T(t)$ in °C dar, $t$ in Stunden. Um $t = 3$ strebt die Kurve von beiden Seiten gegen $18$ °C, aber ein Fehler hat den einzelnen Wert $T(3) = 0$ gespeichert.

Wie groß ist $\lim_{t \to 3} T(t)$ ?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Die Höhe, gegen die beide Seiten streben:

Lücken auf dem Grafikrechner

Grafiksoftware zeichnet $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ als scheinbar gerade Linie, aber beim Nachfahren (Trace) bei $x = 3$ erscheint ein Fehler. Der Graph hat dort eine Lücke, und ihre Höhe ist der Grenzwert.

Beispiel:

Für $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ sieht der Graph aus wie $y = x + 2$ mit einer Lücke bei $(2, 4)$ . Also ist $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$ , während $f(2)$ nicht definiert ist.

3Probiere es selbst

Du zeichnest $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ . Beim Nachfahren erscheint bei $x = 3$ ERROR, und der Graph sieht aus wie die Gerade $y = x + 3$ mit einer Lücke.

Wie groß ist $\lim_{x \to 3} f(x)$ ?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Die Höhe der Lücke:

Wichtige Erkenntnisse

1Um $\lim_{x \to a} f(x)$ am Graphen abzulesen, folgst du der Kurve von beiden Seiten zu $x = a$ und liest die Höhe ab, gegen die sie strebt
2Der Grenzwert ist ein $y$ -Wert (eine Höhe), nicht die Stelle $a$
3Ein offener Kreis (Lücke) markiert einen fehlenden Punkt, ein ausgefüllter Punkt den tatsächlichen Wert $f(a)$
4Der Grenzwert ignoriert den Punkt bei $x = a$ : Eine Lücke oder ein Punkt an anderer Stelle ändert ihn nicht
5Streben die beiden Seiten gegen verschiedene Höhen (Sprung), existiert der Grenzwert nicht, egal wie groß $f(a)$ ist
6Wo der Graph nicht unterbrochen ist, ist der Grenzwert einfach gleich $f(a)$

Häufig gestellte Fragen

Kann der Grenzwert existieren, wenn $f(a)$ nicht definiert ist?

Ja. Hat der Graph bei

x = a

eine Lücke und streben beide Seiten gegen die Höhe der Lücke, ist der Grenzwert gleich dieser Höhe. Zum Beispiel ist

\frac{x^2 - 4}{x - 2}

bei

x = 2

nicht definiert, aber der Grenzwert dort ist

4

Wenn bei $x = a$ ein ausgefüllter Punkt liegt, existiert dann der Grenzwert?

Nein. Der Punkt liefert nur

f(a)

. Bei einem Sprung hat der Graph einen ausgefüllten Punkt, aber die beiden Seiten streben gegen verschiedene Höhen, also existiert der Grenzwert nicht.

Was schreibe ich, wenn ein Grenzwert nicht existiert?

Schreibe:

\lim_{x \to a} f(x)

existiert nicht, und nenne den Grund, zum Beispiel: Die linke Seite strebt gegen

2

, die rechte gegen

4

Wie genau ist das Ablesen eines Grenzwerts am Graphen?

Nur so genau wie der Graph. Nutze Gitterlinien und beschriftete Punkte. Liegt die Höhe nicht klar auf einer Gitterlinie, bestätige sie mit einer Wertetabelle oder rechnerisch (die nächsten Lektionen).

Glossar

Grenzwert: Die Höhe $L$ , gegen die der Graph von $f$ von beiden Seiten strebt, wenn $x$ gegen $a$ strebt, geschrieben $\lim_{x \to a} f(x) = L$
Funktionswert $f(a)$: Die tatsächliche Höhe des Graphen bei $x = a$ , gezeigt durch einen ausgefüllten Punkt oder durch die Kurve, die durch $x = a$ geht
Offener Kreis (Lücke): Ein als leerer Kreis gezeichneter Punkt: Der Graph kommt ihm beliebig nahe, aber er gehört nicht zum Graphen
Ausgefüllter Punkt: Ein voller Punkt, der zum Graphen gehört und dort den Funktionswert angibt
Sprung (Sprungstelle): Eine Stelle, an der der Graph abbricht und auf einer anderen Höhe weitergeht, sodass die beiden Seiten gegen verschiedene Werte streben
Existiert nicht: Das sagen wir über einen Grenzwert, wenn die beiden Seiten des Graphen nicht gegen dieselbe Höhe streben

Formelkarte

Grenzwert am Graphen ablesen

\lim_{x \to a} f(x) = L

Beide Seiten des Graphen streben gegen die Höhe $L$, wenn $x$ gegen $a$ strebt

Wann der Grenzwert nicht existiert

\text{Höhe links} \neq \text{Höhe rechts} \;\Rightarrow\; \lim_{x \to a} f(x) \text{ existiert nicht}

Streben die beiden Seiten gegen verschiedene Höhen, existiert $\lim_{x \to a} f(x)$ nicht

Grenzwert und Funktionswert

\lim_{x \to a} f(x) \text{ und } f(a) \text{ können verschieden sein}

Der Grenzwert folgt der Kurve in der Nähe von $a$, der Funktionswert ist der ausgefüllte Punkt bei $a$. Sie können verschieden sein

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Leitfaden für Lehrer: Grenzwerte am Graphen ablesen

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Versandkosten mit Gewichtsgrenze

Ein Fehler in Sensordaten

Lücken auf dem Grafikrechner

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Grenzwert am Graphen ablesen

Wann der Grenzwert nicht existiert

Grenzwert und Funktionswert

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Einführung in Grenzwerte

Grenzwertschreibweise

Grenzwerte mit Wertetabellen bestimmen

Grenzwerte durch direktes Einsetzen