Grenzwerte im Unendlichen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Bestimme $\lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^3}$ .
1. a)kein endlicher Grenzwert
2. b) $3$
3. c) $7$
4. d) $0$
Lösung: $0$
Wenn $x$ unbeschränkt wächst, wächst auch $x^3$ unbeschränkt, also kommt $\frac{7}{x^3}$ immer näher an $0$ . Der Grenzwert ist $0$ .
2.
Bestimme $\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 3}{x^2 - 4}$ .
Lösung: 5
Beide Teile haben Grad $2$ , also ist der Grenzwert der Quotient der Leitkoeffizienten: $\frac{5}{1} = 5$ .
3.
Bestimme $\lim_{x \to \infty} \left(4 + \frac{1}{x}\right)$ .
Lösung: 4
1. Wie groß ist $\frac{1}{x}$ bei $x = 1000$ ? Schreibe das Ergebnis als Dezimalzahl. 0.001
2. Wogegen strebt $\frac{1}{x}$ für $x \to \infty$ ? 0
3. Wie lautet $\lim_{x \to \infty} \left(4 + \frac{1}{x}\right)$ ? 4
4.
Welche waagerechte Asymptote hat $y = \frac{8x + 1}{2x - 3}$ ?
1. a) $y = 0$
2. b) $y = 4$
3. c) $y = 8$
4. d) $y = -3$
Lösung: $y = 4$
Die Grade sind gleich, also liegt die Asymptote beim Quotienten der Leitkoeffizienten: $y = \frac{8}{2} = 4$ .
5.
Bestimme $\lim_{x \to \infty} \left(6 - 2e^{-x}\right)$ .
Lösung: 6
$e^{-x} \to 0$ , also $2e^{-x} \to 0$ und $6 - 2e^{-x} \to 6 - 0 = 6$ .
6.
Bestimme $\lim_{x \to -\infty} \frac{2x + 1}{x - 5}$ .
Lösung: 2
1. Welchen Grad hat der Zähler? 1
2. Welchen Grad hat der Nenner? 1
3. Die Grade sind gleich. Wie groß ist der Grenzwert $\frac{2}{1}$ ? 2
7.
Bestimme $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - x}{5x^2 + 2}$ . Gib das Ergebnis als Bruch an.
Lösung: 3/5
Teilen durch $x^2$ ergibt $\frac{3 - \frac{1}{x}}{5 + \frac{2}{x^2}} \to \frac{3}{5}$ .
8.
Was ist $\lim_{x \to \infty} \frac{x^4 + 1}{x^3 - 2x}$ ?
1. a) $0$
2. b)kein endlicher Grenzwert, die Werte wachsen unbeschränkt
3. c) $4$
4. d) $1$
Lösung: kein endlicher Grenzwert, die Werte wachsen unbeschränkt
Der Zähler hat Grad $4$ , der Nenner Grad $3$ . Teilen durch $x^3$ ergibt $\frac{x + \frac{1}{x^3}}{1 - \frac{2}{x^2}}$ , das wie $x$ wächst, also gibt es keinen endlichen Grenzwert.
9.
Bestimme $\lim_{x \to \infty} \frac{10x^2 + 3x}{5x^2 - 7}$ , indem du durch die höchste Potenz von $x$ teilst.
Lösung: 2
1. Die höchste Potenz von $x$ im Nenner ist $x^n$ . Wie groß ist $n$ ? 2
2. Nach dem Teilen durch $x^2$ lautet der Zähler $10 + \frac{3}{x}$ . Wogegen strebt er? 10
3. Der Nenner lautet jetzt $5 - \frac{7}{x^2}$ . Wogegen strebt er? 5
4. Wie groß ist der Grenzwert? 2
10.
Bestimme $\lim_{x \to \infty} \frac{4x + 9}{x^2 + 1}$ .
Lösung: 0
Grad $1$ oben, Grad $2$ unten. Teilen durch $x^2$ ergibt $\frac{\frac{4}{x} + \frac{9}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} \to \frac{0}{1} = 0$ .
11.
Der Graph von $f(x) = \frac{12x^3 - 5}{4x^3 + x^2}$ hat die waagerechte Asymptote $y = L$ . Bestimme $L$ .
Lösung: 3
1. Welchen Grad hat der Zähler? 3
2. Welchen Grad hat der Nenner? 3
3. Wie lautet der Leitkoeffizient des Zählers? 12
4. Wie lautet der Leitkoeffizient des Nenners? 4
5. Wie groß ist $L$ ? 3
12.
Welche Funktion hat die waagerechte Asymptote $y = 0$ ?
1. a) $y = 5 + e^{-x}$
2. b) $y = \frac{2x^2 + 1}{x^2}$
3. c) $y = \frac{x^3}{x + 1}$
4. d) $y = \frac{x + 4}{x^2 - 9}$
Lösung: $y = \frac{x + 4}{x^2 - 9}$
In $\frac{x + 4}{x^2 - 9}$ hat der Zähler Grad $1$ und der Nenner Grad $2$ , also ist der Grenzwert $0$ . Die anderen streben gegen $2$ , wachsen unbeschränkt oder streben gegen $5$ .
13.
Bestimme $\lim_{x \to -\infty} \frac{3 - 6x^3}{2x^3 + x}$ .
Lösung: -3
1. Wie lautet der Leitkoeffizient des Zählers $3 - 6x^3$ ? -6
2. Wie lautet der Leitkoeffizient des Nenners $2x^3 + x$ ? 2
3. Beide Grade sind 3. Wie groß ist der Grenzwert? -3
14.
Bestimme $\lim_{x \to \infty} \frac{(2x + 3)^2}{x^2 + 1}$ .
Lösung: 4
1. Ausmultipliziert gilt $(2x + 3)^2 = ax^2 + 12x + 9$ . Wie groß ist $a$ ? 4
2. Welchen Grad hat der Zähler? 2
3. Die Grade sind gleich. Wie groß ist der Grenzwert? 4
15.
Was passiert mit $\frac{5x^2 + 1}{3 - 2x}$ für $x \to -\infty$ ?
1. a)fällt unbeschränkt ( $-\infty$ )
2. b) $0$
3. c) $-\frac{5}{2}$
4. d)wächst unbeschränkt ( $+\infty$ )
Lösung: wächst unbeschränkt ( $+\infty$ )
Grad $2$ oben, Grad $1$ unten: kein endlicher Grenzwert. Für stark negative $x$ ist der Zähler positiv und $3 - 2x$ ebenfalls positiv, also wächst der Bruch unbeschränkt: Bei $x = -1000$ ist er etwa $4985$ .
16.
Die Stückkosten eines Unternehmens betragen bei $x$ Stück $C(x) = \frac{2000 + 8x}{x}$ Euro. Wogegen streben die Stückkosten, wenn $x$ unbeschränkt wächst?
Lösung: 8
1. Wie groß ist $C(500)$ ? 12
2. Schreibe $C(x) = \frac{2000}{x} + 8$ . Wogegen strebt $\frac{2000}{x}$ ? 0
3. Wie groß ist der Grenzwert von $C(x)$ ? 8
17.
Für welchen Wert von $k$ hat der Graph von $y = \frac{kx^2 + 1}{4x^2 - 3}$ die waagerechte Asymptote $y = 5$ ?
Lösung: 20
Gleicher Grad, also ist die Asymptote $y = \frac{k}{4}$ . Aus $\frac{k}{4} = 5$ folgt $k = 20$ .
18.
Bestimme $\lim_{x \to \infty} \frac{6 + 2e^{-x}}{3 - e^{-x}}$ .
Lösung: 2
1. Wogegen strebt $e^{-x}$ für $x \to \infty$ ? 0
2. Wogegen strebt der Zähler $6 + 2e^{-x}$ ? 6
3. Wogegen strebt der Nenner $3 - e^{-x}$ ? 3
4. Wie groß ist der Grenzwert? 2