Leitfaden für Lehrer: Grenzwerte im Unendlichen

Finde heraus, wogegen eine Funktion strebt, wenn x unbeschränkt wächst, vergleiche die Grade gebrochenrationaler Funktionen und verbinde Grenzwerte im Unendlichen mit waagerechten Asymptoten.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Grenzwerte. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Erklären, was $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ und $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$ bedeuten
Mit $\frac{1}{x^n} \to 0$ und $e^{-x} \to 0$ einfache Grenzwerte im Unendlichen berechnen
Grenzwerte gebrochenrationaler Funktionen durch Teilen durch die höchste Potenz von $x$ bestimmen
Den Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion durch Vergleich der Grade von Zähler und Nenner vorhersagen
Einen endlichen Grenzwert im Unendlichen mit einer waagerechten Asymptote des Graphen verbinden

Voraussetzungen

• Einführung in Grenzwerte und Grenzwertschreibweise ( $x \to \infty$ lesen können)
• Grenzwerte durch direktes Einsetzen
• Grad und Leitkoeffizient eines Polynoms
• Brüche vereinfachen und mit Potenzen von $x$ rechnen
• Grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion $e^x$

Diskussionsstarter

1. Warum kommt $\frac{1}{x}$ der $0$ beliebig nahe, erreicht sie aber nie? Wie sieht das am Graphen aus?
2. Wenn Zähler und Nenner beide unbeschränkt wachsen, wie kann der Bruch trotzdem gegen eine feste Zahl streben?
3. Fällt dir eine Größe aus dem Alltag ein, die sich auf lange Sicht auf einen festen Wert einpendelt?
4. Warum darf ein Graph eine waagerechte Asymptote schneiden, eine senkrechte aber nicht?
5. Wie würdest du einer Freundin erklären, warum bei sehr großem $x$ nur die höchsten Terme zählen?

Häufige Missverständnisse

$\frac{\infty}{\infty} = 1$ und $\infty - \infty = 0$

Abhilfe: Zeige drei Brüche, deren Teile alle unbeschränkt wachsen, die aber die Grenzwerte $0$ , $3$ und keinen haben. Erstelle eine Wertetabelle bei $x = 10, 100, 1000$ , damit die Lernenden die unterschiedlichen Wachstumsgeschwindigkeiten sehen.

Der Leitkoeffizient ist die zuerst geschriebene Zahl

Abhilfe: Lass jedes Polynom vor dem Vergleich nach fallenden Potenzen ordnen, zum Beispiel $2 - 8x^3 = -8x^3 + 2$ .

Eine waagerechte Asymptote ist eine Gerade, die der Graph nie berührt

Abhilfe: Zeichne $\frac{3x + 1}{x^2 + 1}$ und zeige, wo der Graph $y = 0$ schneidet. Betone, dass es bei der Asymptote nur um die Enden des Graphen geht.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Beginne mit Wertetabellen bei $x = 10, 100, 1000$ , bevor gerechnet wird
• Verwende zunächst nur Funktionen mit gleichem Grad und positiven Koeffizienten
• Gib eine Karte mit den drei Gradregeln, die neben der Aufgabe liegen darf

Für Schüler auf Niveau:

• Das Teilen durch die höchste Potenz für alle drei Gradfälle üben
• Grenzwerte für $-\infty$ und negative Leitkoeffizienten einbeziehen
• Gebrochenrationale Funktionen anhand ihrer waagerechten Asymptoten den Graphen zuordnen

Für fortgeschrittene Schüler:

• Die schiefe Asymptote bestimmen, wenn der Zählergrad um eins größer ist, mit Polynomdivision
• $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9x^2 + 1}}{x + 2}$ untersuchen und mit $x \to -\infty$ vergleichen
• Eine gebrochenrationale Funktion mit vorgegebener waagerechter Asymptote und vorgegebener Nullstelle konstruieren

Standardausrichtung

HSF-IF.C.7d (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.D)
Gebrochenrationale Funktionen zeichnen, Nullstellen und Asymptoten bestimmen und das Verhalten im Unendlichen zeigen
HSF-IF.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.B.4)
Wichtige Merkmale von Graphen und Wertetabellen einer Funktion deuten, einschließlich des Verhaltens im Unendlichen
AP Calculus LIM-2.D (AP.CALC.LIM-2.D)
Das Verhalten von Funktionen mithilfe von Grenzwerten mit Unendlich deuten

Lektionsressourcen

visualAsymptoten-Schieberegler
Verschiebe den Leitkoeffizienten $a$ in $\frac{ax^2 + 1}{x^2 + 3}$ und beobachte, wie die waagerechte Asymptote $y = a$ mitwandert
activityWettrennen der Grade
Die Lernenden berechnen Zähler und Nenner bei $x = 10, 100, 1000$ und sehen, welcher Teil schneller wächst
worksheetDrei Fälle sortieren
12 gebrochenrationale Funktionen in Grenzwert 0, Quotient der Leitkoeffizienten oder kein endlicher Grenzwert einordnen

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Ein Grenzwert im Unendlichen beschreibt, was mit

f(x)

passiert, wenn

x

unbeschränkt wächst (oder unbeschränkt fällt).

\lim_{x \to \infty} f(x) = L

bedeutet: Wenn

x

immer größere Werte annimmt (

10, 100, 1000, \ldots

), kommen die Werte

f(x)

beliebig nahe an

L

heran. Genauso betrachtet

\lim_{x \to -\infty} f(x) = L

die Werte

x = -10, -100, -1000, \ldots

Wenn ein solcher endlicher Grenzwert existiert, ist die Gerade

y = L

eine waagerechte Asymptote des Graphen.

Der wichtigste Baustein: Für jede positive Hochzahl

n

gilt

\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^n} = 0

Eine feste Zahl geteilt durch eine riesige Zahl ist winzig. Außerdem gilt

\lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0

, weil

e^{-x} = \frac{1}{e^x}

Gebrochenrationale Funktionen: Vergleiche den Grad des Zählers (

n

) mit dem Grad des Nenners (

m

$n < m$ : Der Grenzwert ist $0$ (Asymptote $y = 0$ )
$n = m$ : Der Grenzwert ist der Quotient der Leitkoeffizienten
$n > m$ : Es gibt keinen endlichen Grenzwert (keine waagerechte Asymptote)

Warum das funktioniert: Teile jeden Term durch die höchste Potenz von

x

im Nenner. Jeder Term der Form

\frac{c}{x^k}

strebt gegen

0

, und nur die höchsten Terme bleiben übrig. Zum Beispiel:

\frac{2x^2 + 1}{x^2 + 3} = \frac{2 + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{3}{x^2}} \to \frac{2}{1} = 2

Lösungsbeispiele

Bestimme $\lim_{x \to \infty} \left(3 + \frac{5}{x^2}\right)$ .

Setze einige große Werte für x ein

$x = 10$ : $3 + \frac{5}{100} = 3{,}05$ ; $x = 100$ : $3 + \frac{5}{10000} = 3{,}0005$ → Die Werte nähern sich $3$

Wende die Grundregel an

$\frac{5}{x^2} = 5 \cdot \frac{1}{x^2}$ und $\frac{1}{x^2} \to 0$ → $\frac{5}{x^2} \to 0$

Addiere die Grenzwerte

$3 + 0$ → $3$

Antwort: $\lim_{x \to \infty} \left(3 + \frac{5}{x^2}\right) = 3$ , also ist $y = 3$ eine waagerechte Asymptote.

Häufige Fehler

Unendlich einsetzen: $\frac{\infty}{\infty} = 1$

Warum es falsch ist: $\infty$ ist keine Zahl, du kannst es weder einsetzen noch kürzen. Zähler und Nenner können sehr unterschiedlich schnell wachsen.

Richtig: Teile zuerst durch die höchste Potenz von $x$ . Für $\frac{6x^2 - 1}{2x^2 + 5}$ ist der Grenzwert $3$ , nicht $1$ .

Den zuerst geschriebenen Koeffizienten statt des Leitkoeffizienten nehmen: $\frac{4x^3 - x}{2 - 8x^3} \to \frac{4}{2} = 2$

Warum es falsch ist: Der Leitkoeffizient gehört zum Term mit der höchsten Potenz, egal wo er im Ausdruck steht.

Richtig: Der höchste Term von $2 - 8x^3$ ist $-8x^3$ , also ist der Grenzwert $\frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}$ .

Die Regeln vertauschen: "Kleinerer Grad im Zähler heißt kein Grenzwert"

Warum es falsch ist: Wenn der Nenner den größeren Grad hat, wächst er viel schneller und drückt den Bruch gegen $0$ .

Richtig: Kleinerer Grad im Zähler: Grenzwert $0$ . Größerer Grad im Zähler: kein endlicher Grenzwert. Gleicher Grad: Quotient der Leitkoeffizienten.

Glauben, ein Graph könne seine waagerechte Asymptote nie schneiden

Warum es falsch ist: Eine waagerechte Asymptote beschreibt nur den Graphen ganz links und ganz rechts. In der Mitte darf die Kurve sie schneiden.

Richtig: $y = \frac{3x + 1}{x^2 + 1}$ hat die Asymptote $y = 0$ und schneidet sie trotzdem bei $x = -\frac{1}{3}$ .

Warum es wichtig ist

Grenzwerte im Unendlichen beantworten die Frage "Was passiert auf lange Sicht?":

Naturwissenschaften: Heißer Kaffee kühlt auf Raumtemperatur ab; der Grenzwert seines Temperaturmodells ist genau diese Raumtemperatur
Wirtschaft: Die Stückkosten sinken bei wachsender Produktion gegen die Materialkosten, weil sich die Fixkosten auf immer mehr Stücke verteilen
Medizin und Chemie: Konzentrationen in einem Mischbehälter oder im Blut pendeln sich auf einen festen Wert ein
Graphen zeichnen: Waagerechte Asymptoten zeigen auf einen Blick das Verhalten gebrochenrationaler Funktionen im Unendlichen
Analysis: Uneigentliche Integrale, Reihen und viele Modelle der Physik beruhen auf Grenzwerten im Unendlichen

Diese Lektion baut auf den Lektionen „Einführung in Grenzwerte“ und „Grenzwertschreibweise“ auf: Dort hast du das Symbol

x \to \infty

kennengelernt, hier lernst du, solche Grenzwerte schnell und sicher zu berechnen.

Anwendungen im echten Leben

Abkühlender Kaffee

Nach dem newtonschen Abkühlungsgesetz kühlt ein heißes Getränk auf die Temperatur des Raums ab. Die Temperatur auf lange Sicht ist ein Grenzwert im Unendlichen.

Beispiel:

Eine Tasse Tee folgt $T(t) = 22 + 60e^{-0{,}05t}$ (Grad Celsius, $t$ in Minuten). Da $e^{-0{,}05t} \to 0$ , nähert sich der Tee $22°C$ .

1Probiere es selbst

Frisch gekochter Kaffee hat nach $t$ Minuten die Temperatur $T(t) = 20 + 70e^{-0{,}1t}$ Grad Celsius.

Welcher Temperatur nähert sich der Kaffee auf lange Sicht?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Bestimme $\lim_{t \to \infty} T(t)$ :

Stückkosten in einer Werkstatt

Fixkosten (Miete, Maschinen) werden auf alle hergestellten Stücke verteilt. Je mehr Stücke, desto kleiner der Anteil pro Stück, also nähern sich die Stückkosten den Kosten pro Stück an Material.

Beispiel:

Eine Bäckerei mit 300 € Fixkosten pro Tag und 2 € Zutaten pro Kuchen hat die Stückkosten $\frac{300 + 2x}{x}$ , die sich 2 € pro Kuchen nähern.

2Probiere es selbst

Eine Töpferwerkstatt hat Fixkosten von 5000 €, und jede Tasse kostet 12 € an Ton und Glasur. Die Stückkosten bei $x$ Tassen sind $C(x) = \frac{5000 + 12x}{x}$ Euro.

Wogegen streben die Kosten pro Tasse, wenn die Anzahl der Tassen unbeschränkt wächst?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Bestimme $\lim_{x \to \infty} C(x)$ in Euro:

Salzkonzentration in einem Tank

Verfahrensingenieure modellieren, wie sich eine Mischung mit der Zeit verändert. Wenn ständig Salzwasser in einen Tank fließt, pendelt sich die Konzentration auf einen festen Wert ein.

Beispiel:

Wenn die Salzmenge in einem Tank wie $50t$ Gramm wächst und das Volumen $100 + 2t$ Liter beträgt, strebt die Konzentration $\frac{50t}{100 + 2t}$ gegen $\frac{50}{2} = 25$ Gramm pro Liter.

3Probiere es selbst

Ein Tank enthält 200 Liter reines Wasser. Salzwasser mit 30 Gramm Salz pro Liter fließt mit 4 Litern pro Minute hinein (und nichts fließt ab). Nach $t$ Minuten beträgt die Konzentration $C(t) = \frac{120t}{200 + 4t}$ Gramm pro Liter.

Welcher Konzentration nähert sich der Tank auf lange Sicht?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Bestimme $\lim_{t \to \infty} C(t)$ in Gramm pro Liter:

Wichtige Erkenntnisse

1 $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ bedeutet, dass $f(x)$ beliebig nahe an $L$ herankommt, wenn $x$ unbeschränkt wächst; $x \to -\infty$ funktioniert genauso nach links
2Grundtatsachen: $\frac{1}{x^n} \to 0$ für jedes positive $n$ bei $x \to \pm\infty$ , und $e^{-x} \to 0$ für $x \to \infty$
3Für den Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion teilst du jeden Term durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner
4Kleinerer Grad im Zähler: Grenzwert $0$ . Gleicher Grad: Quotient der Leitkoeffizienten. Größerer Grad im Zähler: kein endlicher Grenzwert
5Ein endlicher Grenzwert $L$ im Unendlichen bedeutet, dass $y = L$ eine waagerechte Asymptote ist; in der Mitte darf der Graph sie trotzdem schneiden
6Setze niemals $\infty$ ein: Ausdrücke wie $\frac{\infty}{\infty}$ haben keinen festen Wert

Häufig gestellte Fragen

Kann ich statt den Grenzwert zu berechnen einfach eine sehr große Zahl einsetzen?

Eine große Zahl wie

x = 1000

ist eine gute Probe und zeigt oft den Trend, aber sie ist kein Beweis. Die Rechnung (Teilen durch die höchste Potenz) liefert den exakten Wert, zum Beispiel genau

3

statt

2{,}9992

Sind die Grenzwerte für $\infty$ und $-\infty$ immer gleich?

Bei gebrochenrationalen Funktionen mit endlichem Grenzwert ja: Beide Enden liefern dieselbe waagerechte Asymptote. Andere Funktionen können sich unterscheiden. Zum Beispiel strebt

e^{-x} \to 0

für

x \to \infty

, aber

e^{-x}

wächst für

x \to -\infty

unbeschränkt.

Kann ein Graph seine waagerechte Asymptote schneiden?

Ja. Die Asymptote beschreibt nur das Verhalten ganz links oder ganz rechts. Der Graph von

\frac{3x + 1}{x^2 + 1}

schneidet

y = 0

bei

x = -\frac{1}{3}

und nähert sich der Geraden danach wieder an.

Was passiert, wenn der Grad des Zählers genau um eins größer ist als der des Nenners?

Das ist ein Ausblick über diese Lektion hinaus. Es gibt dann keine waagerechte Asymptote, aber der Graph nähert sich einer schrägen Geraden (einer schiefen Asymptote). Für

\frac{x^3}{x^2 + 1}

ist das die Gerade

y = x

. Du findest sie mit der Polynomdivision.

Glossar

Grenzwert im Unendlichen: Der Wert $L$ , gegen den $f(x)$ für $x \to \infty$ oder $x \to -\infty$ strebt, geschrieben $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$
Waagerechte Asymptote: Eine waagerechte Gerade $y = L$ , der sich der Graph ganz links oder ganz rechts nähert, wobei $L$ ein Grenzwert im Unendlichen ist
Grad: Die höchste Potenz von $x$ in einem Polynom, zum Beispiel $3$ in $4x^3 - x$
Höchster Term: Der Term mit der höchsten Potenz von $x$ ; seine Zahl ist der Leitkoeffizient (bei $2 - 8x^3$ ist der höchste Term $-8x^3$ )
Verhalten im Unendlichen: Wie sich die Funktionswerte verhalten, wenn $x$ in eine der beiden Richtungen unbeschränkt wächst

Formelkarte

Kehrwerte von Potenzen

\lim_{x \to \pm\infty} \frac{c}{x^n} = 0 \quad (n > 0)

Eine feste Zahl geteilt durch eine immer größere Potenz schrumpft gegen null

Exponentieller Zerfall

\lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0

Denn $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$ und $e^x$ wächst unbeschränkt

Kleinerer Grad im Zähler

n < m: \ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{a_n x^n + \cdots}{b_m x^m + \cdots} = 0

Waagerechte Asymptote $y = 0$

Gleicher Grad

n = m: \ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{a_n x^n + \cdots}{b_m x^m + \cdots} = \frac{a_n}{b_m}

Waagerechte Asymptote beim Quotienten der Leitkoeffizienten

Größerer Grad im Zähler

n > m: \ \text{kein endlicher Grenzwert}

Die Werte wachsen betragsmäßig unbeschränkt, keine waagerechte Asymptote

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Leitfaden für Lehrer: Grenzwerte im Unendlichen

Diese Lektion im Unterricht nutzen

Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Abkühlender Kaffee

Stückkosten in einer Werkstatt

Salzkonzentration in einem Tank

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Kehrwerte von Potenzen

Exponentieller Zerfall

Kleinerer Grad im Zähler

Gleicher Grad

Größerer Grad im Zähler

Mehr zu diesem Thema

Einführung in Grenzwerte

Grenzwertschreibweise

Grenzwerte am Graphen ablesen

Grenzwerte mit Wertetabellen bestimmen