Leitfaden für Lehrer: Einseitige Grenzwerte

Lerne, linksseitige und rechtsseitige Grenzwerte aus Graphen und abschnittsweisen Funktionen zu bestimmen und zu entscheiden, wann ein Grenzwert existiert.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Grenzwerte. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

$x \to a^-$ und $x \to a^+$ in konkrete $x$ -Werte auf der richtigen Seite von $a$ übersetzen (etwa $2{,}99$ und $3{,}01$ für $a = 3$ )
Links- und rechtsseitige Grenzwerte an einem Graphen mit offenen Kreisen und ausgefüllten Punkten ablesen
Einseitige Grenzwerte von abschnittsweise definierten Funktionen und Ausdrücken mit Beträgen berechnen
Durch Vergleich der einseitigen Grenzwerte entscheiden, ob ein beidseitiger Grenzwert existiert
Eine Konstante bestimmen, mit der die einseitigen Grenzwerte einer abschnittsweisen Funktion übereinstimmen

Voraussetzungen

• Einführung in Grenzwerte und Grenzwertschreibweise (die Bedeutung von $\lim_{x \to a} f(x)$ )
• Grenzwerte am Graphen ablesen und Grenzwerte mit Wertetabellen bestimmen
• Grenzwerte durch direktes Einsetzen
• Abschnittsweise definierte Funktionen und Betrag

Diskussionsstarter

1. Warum kann eine Funktion bei $x = a$ einen Wert haben, aber dort keinen Grenzwert?
2. Eine Parkgebühr springt zu jeder vollen Stunde. Was sagen der links- und der rechtsseitige Grenzwert einer Autofahrerin?
3. Kannst du einen Graphen zeichnen, bei dem beide einseitigen Grenzwerte bei $x = 2$ gleich $3$ sind, aber $f(2) = 5$ gilt?
4. Warum brauchen wir das Wort "und" in der Regel: Der Grenzwert existiert, wenn beide einseitigen Grenzwerte existieren und gleich sind?

Häufige Missverständnisse

Der Grenzwert ist der $y$ -Wert des ausgefüllten Punktes

Abhilfe: Zeige Beispiel 3: Der Graph nähert sich von beiden Seiten $4$ , während $g(2) = 7$ ist. Lass die Stelle $x = a$ mit dem Finger abdecken und frage, auf welche Höhe jede Seite zuläuft.

$a^-$ bedeutet eine negative Zahl

Abhilfe: Schreibe $3^- \to 2{,}9$ ; $2{,}99$ ; $2{,}999$ und $3^+ \to 3{,}1$ ; $3{,}01$ ; $3{,}001$ an die Tafel. Betone, dass $3^-$ immer noch nahe bei $+3$ liegt.

Wenn beide einseitigen Grenzwerte existieren, existiert der Grenzwert

Abhilfe: Nutze $\frac{|x|}{x}$ : Beide einseitigen Grenzwerte existieren ( $-1$ und $1$ ), und trotzdem gibt es keinen einzelnen Wert. Betone, dass die beiden Zahlen auch gleich sein müssen.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Beginne mit Treppenfunktionen, deren Abschnitte waagerecht sind, damit man jeden einseitigen Grenzwert direkt ablesen kann
• Nutze Wertetabellen mit $x = 0{,}9$ ; $0{,}99$ ; $0{,}999$ und $1{,}1$ ; $1{,}01$ ; $1{,}001$ neben dem Graphen
• Färbe den linken und den rechten Abschnitt in verschiedenen Farben

Für Schüler auf Niveau:

• Einseitige Grenzwerte von abschnittsweisen Funktionen berechnen, die nur als Formeln gegeben sind
• $\frac{|x - a|}{x - a}$ und ähnliche Ausdrücke auf jeder Seite vereinfachen
• In Worten erklären, warum ein Grenzwert existiert oder nicht existiert

Für fortgeschrittene Schüler:

• Konstanten bestimmen, mit denen eine abschnittsweise Funktion an der Nahtstelle einen Grenzwert hat
• Funktionen mit drei Abschnitten und zwei Nahtstellen untersuchen
• Ausblick: $\lim_{x \to 0^-}$ und $\lim_{x \to 0^+}$ von $\frac{|x|}{x}$ mit den Steigungen von $|x|$ auf jeder Seite vergleichen

Standardausrichtung

AP Calculus LIM-1.A (AP.CALC.LIM-1.A)
Grenzwerte in korrekter Schreibweise darstellen, einschließlich einseitiger Grenzwerte
AP Calculus LIM-1.C (AP.CALC.LIM-1.C)
Grenzwerte von Funktionen aus Graphen und Wertetabellen schätzen, einschließlich einseitiger Grenzwerte
HSF-IF.C.7b (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.B)
Abschnittsweise definierte Funktionen grafisch darstellen, einschließlich Treppen- und Betragsfunktionen

Lektionsressourcen

visualGraph mit Sprung-Schieberegler
Bewege den Schieberegler $b$ , um den rechten Abschnitt zu verschieben; die Grenzwertanzeige zeigt, wann sich beide Seiten treffen
activityLinks oder rechts?
Die Schülerinnen und Schüler sortieren Karten mit $x$ -Werten wie $2{,}99$ und $3{,}01$ in die Gruppen $x \to 3^-$ und $x \to 3^+$
worksheetÜbungen zu abschnittsweisen Grenzwerten
Links-, rechts- und beidseitige Grenzwerte von abschnittsweisen Funktionen und Betragsfunktionen bestimmen

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Ein einseitiger Grenzwert betrachtet eine Funktion nur von einer Seite einer Stelle aus.

Der linksseitige Grenzwert $\lim_{x \to a^-} f(x) = L$ bedeutet: Wenn sich $x$ über Werte kleiner als $a$ der Stelle $a$ nähert (zum Beispiel $1{,}9$ ; $1{,}99$ ; $1{,}999$ für $a = 2$ ), dann nähert sich $f(x)$ dem Wert $L$ .
Der rechtsseitige Grenzwert $\lim_{x \to a^+} f(x) = M$ bedeutet: Wenn sich $x$ über Werte größer als $a$ der Stelle $a$ nähert (zum Beispiel $2{,}1$ ; $2{,}01$ ; $2{,}001$ ), dann nähert sich $f(x)$ dem Wert $M$ .

Die Schreibweise kennst du aus der Lektion Grenzwertschreibweise: Das kleine Zeichen gibt die Seite an und gehört nicht zur Zahl, also ist

3^-

nicht

-3

. In dieser Lektion berechnest du solche Grenzwerte und entscheidest damit, ob

\lim_{x \to a} f(x)

existiert.

Die zentrale Regel verbindet einseitige und beidseitige Grenzwerte:

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = L \text{ und } \lim_{x \to a^+} f(x) = L

Sind die beiden einseitigen Grenzwerte verschieden, dann existiert der beidseitige Grenzwert nicht. Der Funktionswert

f(a)

selbst spielt für keinen dieser Grenzwerte eine Rolle: Die Funktion darf an der Stelle

a

undefiniert sein oder dort einen ganz anderen Wert haben.

Lösungsbeispiele

Der Graph von $f$ zeigt die Gerade $y = x + 1$ für $x < 1$ (offener Kreis bei $(1, 2)$ ) und die Gerade $y = x + 3$ für $x \ge 1$ (ausgefüllter Punkt bei $(1, 4)$ ). Bestimme $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ , $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ und $\lim_{x \to 1} f(x)$ .

Folge dem Graphen von links

Fahre den linken Teil bis $x = 1$ entlang: Die Höhen nähern sich dem offenen Kreis bei $y = 2$ → $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$

Folge dem Graphen von rechts

Fahre den rechten Teil bis $x = 1$ entlang: Die Höhen nähern sich $y = 4$ → $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$

Vergleiche die beiden Seiten

$2 \neq 4$ , also springt der Graph bei $x = 1$ → Die einseitigen Grenzwerte sind verschieden

Entscheide über den beidseitigen Grenzwert

Verschiedene einseitige Grenzwerte bedeuten, dass kein einzelner Wert angenähert wird. Der ausgefüllte Punkt $f(1) = 4$ ändert daran nichts → $\lim_{x \to 1} f(x)$ existiert nicht

Antwort: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$ , $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$ , also existiert $\lim_{x \to 1} f(x)$ nicht (obwohl $f(1) = 4$ ist).

Häufige Fehler

Den ausgefüllten Punkt $f(a)$ als Grenzwert nehmen

Warum es falsch ist: Ein Grenzwert beschreibt die Höhen, denen sich der Graph in der Nähe von $a$ nähert, nicht die Höhe an der Stelle $a$ . In Beispiel 1 ist $f(1) = 4$ , aber von links nähert sich der Graph dem Wert $2$ .

Richtig: Verfolge jede Seite des Graphen bis $a$ und ignoriere den Punkt bei $x = a$ . Verwende $f(a)$ nur, wenn nach dem Funktionswert gefragt ist.

$x \to 3^-$ als " $x$ strebt gegen $-3$ " lesen

Warum es falsch ist: Das kleine Minuszeichen steht hinter der Zahl, hochgestellt. Es beschreibt die Richtung, nicht das Vorzeichen der Zahl.

Richtig: $x \to 3^-$ bedeutet $x = 2{,}9$ ; $2{,}99$ ; $2{,}999$ ; ... (Werte unter $3$ ). $x \to 3^+$ bedeutet $x = 3{,}1$ ; $3{,}01$ ; $3{,}001$ ; ...

Den Abschnitt, der $x = a$ enthält, für beide Seiten verwenden

Warum es falsch ist: Bei $f(x) = x + 1$ für $x < 1$ und $f(x) = x + 3$ für $x \ge 1$ beschreibt $x + 3$ nur die rechte Seite. Die linke Seite wird immer vom Abschnitt für $x < 1$ beschrieben.

Richtig: Für $x \to a^-$ nimmst du die Formel für Werte knapp unter $a$ , für $x \to a^+$ die Formel für Werte knapp über $a$ . Das Zeichen $\le$ oder $\ge$ entscheidet nur über $f(a)$ .

Behaupten, der Grenzwert existiert, weil beide einseitigen Grenzwerte existieren

Warum es falsch ist: In Beispiel 1 existieren beide einseitigen Grenzwerte ( $2$ und $4$ ), aber es sind verschiedene Zahlen, also gibt es keinen einzelnen Wert $L$ .

Richtig: Der beidseitige Grenzwert existiert nur, wenn beide einseitigen Grenzwerte existieren und gleich sind.

Warum es wichtig ist

Einseitige Grenzwerte sind das Werkzeug für Funktionen, die an einer Stelle ihre Vorschrift wechseln:

Abschnittsweise definierte Funktionen: Steuerstufen, Handytarife und Versandpreise wechseln an bestimmten Werten die Formel, und du musst jede Seite einzeln betrachten
Sprünge: Eine Parkgebühr, die nach einer Stunde von 3 € auf 5 € springt, hat verschiedene links- und rechtsseitige Grenzwerte
Beträge: Ausdrücke wie $\frac{|x|}{x}$ verhalten sich für negative und positive $x$ unterschiedlich
Stetigkeit: In den Lektionen Stetigkeit und Arten von Unstetigkeitsstellen prüfst du einseitige Grenzwerte, um jede Lücke und jeden Sprung im Graphen einzuordnen
Analysis: Ableitungen von Funktionen wie $|x|$ werden mit links- und rechtsseitigen Grenzwerten untersucht

Wenn ein Graph eine Unterbrechung hat, lautet die erste Frage immer: Was passiert links, und was passiert rechts?

Anwendungen im echten Leben

Parkgebühren

Viele Parkhäuser rechnen pro angefangene Stunde ab, also springt der Preis bei jeder vollen Stunde. Einseitige Grenzwerte beschreiben den Preis kurz vor und kurz nach dem Sprung.

Beispiel:

Ein Parkhaus verlangt $P(t) = 3$ € für $0 < t \le 1$ Stunde und $P(t) = 5$ € für $1 < t \le 2$ Stunden. Kurz vor einer Stunde zahlst du 3 €, kurz danach 5 €.

1Probiere es selbst

Das Parkhaus verwendet $P(t) = 3$ für $0 < t \le 1$ und $P(t) = 5$ für $1 < t \le 2$ ( $t$ in Stunden, Preis in €).

Um wie viel Euro springt der Preis bei $t = 1$ ?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Rechtsseitiger minus linksseitiger Grenzwert bei $t = 1$ :

Eine Rampe ohne Stufe bauen

Wer eine Rampe an eine Plattform anschließt, muss dafür sorgen, dass die Höhen von beiden Seiten zusammenpassen. Sonst entsteht eine Stufe, über die man stolpern kann.

Beispiel:

Eine Rampe hat die Höhe $h(x) = 0{,}2x$ Meter für $0 \le x < 5$ , und bei $x = 5$ beginnt eine Plattform mit der konstanten Höhe $c$ . Rampe und Plattform treffen sich genau dann ohne Stufe, wenn $\lim_{x \to 5^-} h(x) = c$ ist.

2Probiere es selbst

Die Rampe hat die Höhe $h(x) = 0{,}2x$ für $0 \le x < 5$ und die Plattform die Höhe $c$ für $x \ge 5$ (alle Längen in Metern).

Welche Plattformhöhe $c$ ergibt keine Stufe bei $x = 5$ ?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Die Plattformhöhe muss gleich dem linksseitigen Grenzwert bei $x = 5$ sein:

Handytarife mit Datenvolumen

Ein Datentarif hat oft einen festen Preis bis zu einer Grenze und danach einen Aufpreis pro Gigabyte. Einseitige Grenzwerte zeigen, ob der Preis an der Grenze springt.

Beispiel:

Ein Tarif kostet $C(g) = 10$ € für $0 \le g \le 5$ GB und $C(g) = 10 + 2(g - 5)$ € für $g > 5$ . Knapp über 5 GB beginnt der Preis zu steigen, aber er startet bei 10.

3Probiere es selbst

Der Tarif kostet $C(g) = 10$ für $0 \le g \le 5$ und $C(g) = 10 + 2(g - 5)$ für $g > 5$ ( $g$ in GB, Preis in €).

Was ist $\lim_{g \to 5} C(g)$ ?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Bestimme beide einseitigen Grenzwerte bei $g = 5$ und vergleiche sie:

Wichtige Erkenntnisse

1 $\lim_{x \to a^-} f(x)$ ist der linksseitige Grenzwert: $x$ nähert sich $a$ über Werte kleiner als $a$
2 $\lim_{x \to a^+} f(x)$ ist der rechtsseitige Grenzwert: $x$ nähert sich $a$ über Werte größer als $a$
3 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ gilt genau dann, wenn beide einseitigen Grenzwerte existieren und beide gleich $L$ sind
4Sind die einseitigen Grenzwerte verschieden (Sprungstelle), existiert der beidseitige Grenzwert nicht
5Bei einer abschnittsweise definierten Funktion nimmst du links den Abschnitt für Werte knapp unter $a$ und rechts den Abschnitt für Werte knapp über $a$
6Der Funktionswert $f(a)$ (offener Kreis oder ausgefüllter Punkt) ändert nie einen Grenzwert

Häufig gestellte Fragen

Kann ein einseitiger Grenzwert existieren, wenn der beidseitige nicht existiert?

Ja, und das ist der typische Fall an einer Sprungstelle. Bei

\frac{|x|}{x}

an der Stelle

0

existieren beide einseitigen Grenzwerte (

-1

und

1

), aber der beidseitige nicht, weil sie verschieden sind.

Entscheidet der ausgefüllte Punkt oder der offene Kreis über den Grenzwert?

Keines von beiden. Kreise und Punkte zeigen nur den Funktionswert

f(a)

. Die Grenzwerte ergeben sich aus der Kurve auf jeder Seite, während sie sich

x = a

nähert.

Was ist, wenn die Funktion nur auf einer Seite definiert ist?

Dann ist nur ein einseitiger Grenzwert sinnvoll. Bei

\sqrt{x}

an der Stelle

0

gibt es links keine Werte, also verwenden wir

\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0

. Am Rand der Definitionsmenge ist der einseitige Grenzwert die natürliche Frage.

Kann ein einseitiger Grenzwert unendlich sein?

Ja. Zum Beispiel wächst

\frac{1}{x}

für

x \to 0^+

über alle Grenzen. Diese Fälle behandelt die Lektion Uneigentliche Grenzwerte; in dieser Lektion sind alle einseitigen Grenzwerte Zahlen.

Glossar

Einseitiger Grenzwert: Ein Grenzwert, der nur Werte von $x$ auf einer Seite von $a$ verwendet
Linksseitiger Grenzwert: Der Wert, dem sich $f(x)$ für $x \to a^-$ nähert, also über Werte kleiner als $a$
Rechtsseitiger Grenzwert: Der Wert, dem sich $f(x)$ für $x \to a^+$ nähert, also über Werte größer als $a$
Beidseitiger Grenzwert: Der gewöhnliche Grenzwert $\lim_{x \to a} f(x)$ ; er existiert nur, wenn links- und rechtsseitiger Grenzwert gleich sind
Abschnittsweise definierte Funktion: Eine Funktion, die auf verschiedenen Intervallen von $x$ durch verschiedene Formeln gegeben ist
Sprungstelle: Eine Unstetigkeitsstelle, an der beide einseitigen Grenzwerte existieren, aber verschieden sind, sodass der Graph springt

Formelkarte

Linksseitiger Grenzwert

\lim_{x \to a^-} f(x)

$x$ nähert sich $a$ von links (Werte kleiner als $a$)

Rechtsseitiger Grenzwert

\lim_{x \to a^+} f(x)

$x$ nähert sich $a$ von rechts (Werte größer als $a$)

Wann der Grenzwert existiert

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L

Beide einseitigen Grenzwerte müssen existieren und gleich sein

Betrag nach Seiten

|x - a| = x - a

für

x > a

|x - a| = -(x - a)

für

x < a

Damit vereinfachst du Ausdrücke mit Beträgen auf jeder Seite

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Diese Lektion im Unterricht nutzen

Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Parkgebühren

Eine Rampe ohne Stufe bauen

Handytarife mit Datenvolumen

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Linksseitiger Grenzwert

Rechtsseitiger Grenzwert

Wann der Grenzwert existiert

Betrag nach Seiten

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Grenzwertschreibweise

Grenzwerte am Graphen ablesen

Grenzwerte mit Wertetabellen bestimmen