Einseitige Grenzwerte

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Was bedeutet $x \to 3^-$ ?
1. a) $x$ nähert sich $3$ über Werte kleiner als $3$
2. b) $x$ nähert sich $3$ über Werte größer als $3$
3. c) $x$ ist genau $3$
4. d) $x$ nimmt den Wert $-3$ an
Lösung: $x$ nähert sich $3$ über Werte kleiner als $3$
$x \to 3^-$ bedeutet, dass sich $x$ von links der $3$ nähert: $2{,}9$ ; $2{,}99$ ; $2{,}999$ ; ... Diese Werte sind kleiner als $3$ , und $x$ ist nie gleich $3$ .
2.
Es sei $f(x) = x + 1$ für $x < 1$ und $f(x) = x + 3$ für $x \ge 1$ . Bestimme $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ .
Lösung: 2
Für $x < 1$ ist die Funktion $x + 1$ , und das nähert sich $1 + 1 = 2$ . Also ist $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$ .
3.
Es sei $f(x) = x + 1$ für $x < 1$ und $f(x) = x + 3$ für $x \ge 1$ . Bestimme $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ .
Lösung: 4
Für $x > 1$ ist die Funktion $x + 3$ , und das nähert sich $1 + 3 = 4$ . Also ist $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$ .
4.
Bestimme $\lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x}$ .
Lösung: 1
Für positive $x$ ist $\frac{|x|}{x} = \frac{x}{x} = 1$ . Rechts von $0$ ist die Funktion konstant $1$ , also ist der rechtsseitige Grenzwert $1$ .
5.
Es sei $f(x) = x + 1$ für $x < 1$ und $f(x) = x + 3$ für $x \ge 1$ . Was ist $\lim_{x \to 1} f(x)$ ?
1. a)2
2. b)4
3. c)existiert nicht
4. d)6
Lösung: existiert nicht
Der linksseitige Grenzwert ist $2$ , der rechtsseitige ist $4$ . Da $2 \neq 4$ , existiert der Grenzwert nicht. Der Funktionswert $f(1) = 4$ ändert daran nichts.
6.
Es sei $f(x) = 2x$ für $x < 2$ und $f(x) = x + 6$ für $x \ge 2$ . Wie groß ist der Sprung bei $x = 2$ (rechtsseitiger minus linksseitiger Grenzwert)?
Lösung: 4
1. Bestimme $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ 4
2. Bestimme $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ 8
3. Rechtsseitiger minus linksseitiger Grenzwert: 4
7.
Angenommen, $\lim_{x \to 4^-} f(x) = 5$ , $\lim_{x \to 4^+} f(x) = 5$ und $f(4) = 1$ . Welche Aussage ist wahr?
1. a) $\lim_{x \to 4} f(x) = 6$
2. b) $\lim_{x \to 4} f(x)$ existiert nicht
3. c) $\lim_{x \to 4} f(x) = 5$
4. d) $\lim_{x \to 4} f(x) = 1$
Lösung: $\lim_{x \to 4} f(x) = 5$
Beide einseitigen Grenzwerte sind $5$ , also ist $\lim_{x \to 4} f(x) = 5$ . Der Punkt $f(4) = 1$ liegt neben der Kurve und ändert den Grenzwert nicht.
8.
Es sei $g(x) = x^2 + 1$ für $x < 3$ und $g(x) = 2x + 5$ für $x \ge 3$ . Bestimme $\lim_{x \to 3^-} g(x)$ .
Lösung: 10
Für $x < 3$ gilt $g(x) = x^2 + 1 \to 3^2 + 1 = 10$ . (Von rechts gilt $2x + 5 \to 11$ , also existiert der beidseitige Grenzwert nicht.)
9.
Es sei $h(x) = x^2 - 1$ für $x < 3$ , $h(3) = 0$ und $h(x) = 2x + 2$ für $x > 3$ . Bestimme $\lim_{x \to 3} h(x)$ .
Lösung: 8
1. Bestimme $\lim_{x \to 3^-} h(x)$ 8
2. Bestimme $\lim_{x \to 3^+} h(x)$ 8
3. Beide Seiten stimmen überein. Was ist $\lim_{x \to 3} h(x)$ ? 8
10.
Existiert $\lim_{x \to 5} \frac{|x - 5|}{x - 5}$ ?
Lösung: Der Grenzwert existiert nicht: von links $-1$ , von rechts $1$ .
1. Bestimme $\lim_{x \to 5^+} \frac{|x - 5|}{x - 5}$ 1
2. Bestimme $\lim_{x \to 5^-} \frac{|x - 5|}{x - 5}$ -1
3. Existiert der beidseitige Grenzwert? nein
11.
Bei welcher Funktion sind der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle $x = 0$ gleich?
1. a) $f(x) = \frac{|x|}{x}$
2. b) $f(x) = \frac{x}{|x|} + 1$
3. c) $f(x) = \frac{x^2}{|x|}$
4. d) $f(x) = \frac{2|x|}{x}$
Lösung: $f(x) = \frac{x^2}{|x|}$
$\frac{x^2}{|x|} = |x|$ , und das nähert sich von beiden Seiten $0$ . Die anderen springen: $\frac{|x|}{x}$ ergibt $-1$ und $1$ , $\frac{x}{|x|} + 1$ ergibt $0$ und $2$ , $\frac{2|x|}{x}$ ergibt $-2$ und $2$ .
12.
Es sei $p(x) = 4 - x$ für $x \le 2$ und $p(x) = x^2 + 1$ für $x > 2$ . Wie groß ist der Sprung bei $x = 2$ (rechtsseitiger minus linksseitiger Grenzwert)?
Lösung: 3
1. Bestimme $\lim_{x \to 2^-} p(x)$ 2
2. Bestimme $\lim_{x \to 2^+} p(x)$ 5
3. Was ist $p(2)$ ? 2
4. Rechtsseitiger minus linksseitiger Grenzwert: 3
13.
Es sei $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ für $x < 1$ und $f(x) = 3x - 1$ für $x \ge 1$ . Bestimme $\lim_{x \to 1} f(x)$ .
Lösung: 2
1. Für $x < 1$ : $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = x + \square$ . Was gehört in das Kästchen? 1
2. Bestimme $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ 2
3. Bestimme $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ 2
4. Was ist $\lim_{x \to 1} f(x)$ ? 2
14.
Es sei $f(x) = kx + 1$ für $x < 2$ und $f(x) = x^2 + 3$ für $x \ge 2$ . Bestimme $k$ so, dass $\lim_{x \to 2} f(x)$ existiert.
Lösung: 3
1. Bestimme $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ 7
2. Der linksseitige Grenzwert ist $2k + 1$ . Aus $2k + 1 = 7$ : Was ist $2k$ ? 6
3. Was ist $k$ ? 3
15.
Existiert $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{|x - 3|}$ ?
Lösung: Der Grenzwert existiert nicht: von links $-6$ , von rechts $6$ .
1. Bestimme $\lim_{x \to 3^+} \frac{x^2 - 9}{|x - 3|}$ 6
2. Bestimme $\lim_{x \to 3^-} \frac{x^2 - 9}{|x - 3|}$ -6
3. Existiert der beidseitige Grenzwert? nein
16.
Es sei $f(x) = cx$ für $x < 2$ und $f(x) = x^2 + c$ für $x \ge 2$ . Für welchen Wert von $c$ existiert $\lim_{x \to 2} f(x)$ ?
1. a)2
2. b)8
3. c)-4
4. d)4
Lösung: 4
Linksseitiger Grenzwert: $2c$ . Rechtsseitiger Grenzwert: $2^2 + c = 4 + c$ . Aus $2c = 4 + c$ folgt $c = 4$ . Probe: links $8$ , rechts $8$ .
17.
Bestimme $\lim_{x \to 4^-} \frac{x^2 - 16}{|x - 4|}$ .
Lösung: -8
$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$ . Für $x < 4$ gilt $\frac{(x - 4)(x + 4)}{-(x - 4)} = -(x + 4) \to -8$ .
18.
Es sei $f(x) = x^2$ für $x < 1$ , $f(x) = 2x - 1$ für $1 \le x < 3$ und $f(x) = 10 - x$ für $x \ge 3$ . Bestimme $\lim_{x \to 1} f(x)$ und dann den Sprung bei $x = 3$ (rechtsseitiger minus linksseitiger Grenzwert).
Lösung: 2
1. Bestimme $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ 1
2. Bestimme $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ 1
3. Beide Seiten stimmen überein. Was ist $\lim_{x \to 1} f(x)$ ? 1
4. Bestimme $\lim_{x \to 3^-} f(x)$ 5
5. Bestimme $\lim_{x \to 3^+} f(x)$ 7
6. Rechtsseitiger minus linksseitiger Grenzwert bei $x = 3$ : 2