Basiswechselformel

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welcher Term ist gleich $\log_5 20$ ?
1. a) $\log 20 \cdot \log 5$
2. b) $\log \dfrac{20}{5}$
3. c) $\dfrac{\log 20}{\log 5}$
4. d) $\dfrac{\log 5}{\log 20}$
Lösung: $\dfrac{\log 20}{\log 5}$
Nach der Basiswechselformel ist $\log_5 20 = \dfrac{\log 20}{\log 5} \approx 1{,}86$ . Der umgedrehte Bruch ist falsch, und $\log \dfrac{20}{5} = \log 20 - \log 5 = \log 4$ ist eine andere Zahl.
2.
Berechne $\log_2 10$ mit der Basiswechselformel. Runde auf 2 Nachkommastellen.
Lösung: 3.32
$\log_2 10 = \dfrac{\log 10}{\log 2} = \dfrac{1}{0{,}30103} \approx 3{,}32193 \approx 3{,}32$ . Probe: $2^3 = 8$ und $2^4 = 16$ , also liegt das Ergebnis zwischen 3 und 4.
3.
Welcher Logarithmus ist gleich $\dfrac{\ln 7}{\ln 2}$ ?
1. a) $\ln 5$
2. b) $\log_7 2$
3. c) $\log_2 14$
4. d) $\log_2 7$
Lösung: $\log_2 7$
Die Formel rückwärts gelesen: $\dfrac{\ln 7}{\ln 2} = \log_2 7 \approx 2{,}81$ . Die Basis 2 steht im Nenner, das Argument 7 oben. $\log_7 2$ ist die umgedrehte Version, und $\ln 5$ entsteht durch falsches Subtrahieren $7 - 2$ .
4.
Berechne $\log_3 20$ mit der log- oder ln-Taste. Runde auf 2 Nachkommastellen.
Lösung: 2.73
$\log_3 20 = \dfrac{\log 20}{\log 3} \approx \dfrac{1{,}30103}{0{,}47712} \approx 2{,}72683 \approx 2{,}73$ . Mit ln: $\dfrac{2{,}99573}{1{,}09861}$ liefert dasselbe Ergebnis.
5.
Berechne $\log_6 100$ mit dekadischen Logarithmen. Runde auf 2 Nachkommastellen.
Lösung: 2.57
1. Wie groß ist $\log 100$ ? 2
2. Wie groß ist $\log 6$ ? Runde auf 4 Nachkommastellen. 0.7782
3. Teile $\log 100$ durch $\log 6$ . Runde auf 2 Nachkommastellen. 2.57
6.
Berechne $\log_2 30$ mit natürlichen Logarithmen. Runde auf 2 Nachkommastellen.
Lösung: 4.91
1. Wie groß ist $\ln 30$ ? Runde auf 4 Nachkommastellen. 3.4012
2. Wie groß ist $\ln 2$ ? Runde auf 4 Nachkommastellen. 0.6931
3. Teile $\ln 30$ durch $\ln 2$ . Runde auf 2 Nachkommastellen. 4.91
7.
Was ist der exakte Wert von $\log_9 27$ ? (Tipp: Wähle die Basis 3.)
1. a) $\dfrac{3}{2}$
2. b) $\dfrac{1}{3}$
3. c) $\dfrac{2}{3}$
4. d) $3$
Lösung: $\dfrac{3}{2}$
$\log_9 27 = \dfrac{\log_3 27}{\log_3 9} = \dfrac{3}{2}$ . Probe: $9^{3/2} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$ .
8.
Bestimme mit der Basis 2 den exakten Wert von $\log_8 32$ . Schreibe ihn als Bruch, zum Beispiel 7/4.
Lösung: 5/3
$\log_8 32 = \dfrac{\log_2 32}{\log_2 8} = \dfrac{5}{3}$ . Probe: $8^{5/3} = (\sqrt[3]{8})^5 = 2^5 = 32$ .
9.
Gegeben ist $\log_3 7 \approx 1{,}7712$ . Bestimme mit der Kehrwertregel $\log_7 3$ . Runde auf 4 Nachkommastellen.
Lösung: 0.5646
Vertauschen von Basis und Argument ergibt den Kehrwert: $\log_7 3 = \dfrac{1}{1{,}7712} \approx 0{,}56459 \approx 0{,}5646$ . Das passt: $3 < 7$ , also ist $\log_7 3$ kleiner als 1.
10.
Löse $2^x = 50$ . Die Lösung ist $x = \log_2 50$ ; berechne sie mit dekadischen Logarithmen. Runde auf 2 Nachkommastellen.
Lösung: 5.64
1. Wie groß ist $\log 50$ ? Runde auf 4 Nachkommastellen. 1.6990
2. Wie groß ist $\log 2$ ? Runde auf 4 Nachkommastellen. 0.3010
3. Teile, um $x$ zu bestimmen. Runde auf 2 Nachkommastellen. 5.64
11.
Was ist größer: $\log_2 12$ oder $\log_3 30$ ?
Lösung: $\log_2 12$
1. Berechne $\log_2 12$ . Runde auf 2 Nachkommastellen. 3.58
2. Berechne $\log_3 30$ . Runde auf 2 Nachkommastellen. 3.10
3. Welcher Logarithmus ist größer? $\log_2 12$
12.
Für positive Zahlen $a \neq 1$ und $b \neq 1$ : Was ergibt $\log_b a \cdot \log_a b$ ?
1. a) $1$
2. b) $\log(ab)$
3. c) $0$
4. d) $\dfrac{a}{b}$
Lösung: $1$
$\log_b a \cdot \log_a b = \dfrac{\log a}{\log b} \cdot \dfrac{\log b}{\log a} = 1$ . Die beiden Logarithmen sind Kehrwerte, zum Beispiel $\log_2 8 \cdot \log_8 2 = 3 \cdot \dfrac{1}{3} = 1$ .
13.
Bestimme den exakten Wert von $\log_{25} 125$ durch einen Wechsel zur Basis 5. Gib das Ergebnis als Dezimalzahl an.
Lösung: 1.5
1. Wie groß ist $\log_5 125$ ? 3
2. Wie groß ist $\log_5 25$ ? 2
3. Teile das erste Ergebnis durch das zweite. Was ist $\log_{25} 125$ als Dezimalzahl? 1.5
14.
Welcher Term ist NICHT gleich $\log_2 9$ ?
1. a) $\dfrac{\log 2}{\log 9}$
2. b) $\dfrac{1}{\log_9 2}$
3. c) $\dfrac{\log 9}{\log 2}$
4. d) $\dfrac{\ln 9}{\ln 2}$
Lösung: $\dfrac{\log 2}{\log 9}$
$\dfrac{\log 9}{\log 2}$ und $\dfrac{\ln 9}{\ln 2}$ sind die Basiswechselformel ( $\approx 3{,}17$ ), und $\dfrac{1}{\log_9 2}$ ist die Kehrwertregel. $\dfrac{\log 2}{\log 9} = \log_9 2 \approx 0{,}32$ ist der umgedrehte Bruch.
15.
Berechne $\log_{1{,}5} 10$ . Runde auf 2 Nachkommastellen.
Lösung: 5.68
$\log_{1{,}5} 10 = \dfrac{1}{\log 1{,}5} \approx \dfrac{1}{0{,}17609} \approx 5{,}67887 \approx 5{,}68$ . Eine Basis nahe bei 1 wächst langsam, deshalb braucht es einen großen Exponenten, um 10 zu erreichen: $1{,}5^{5{,}68} \approx 10$ .
16.
Eine Geldanlage wächst um 7 % pro Jahr (jährliche Verzinsung mit Zinseszins). Nach wie vielen ganzen Jahren hat sie sich mindestens verdoppelt?
Lösung: 11
1. Wie groß ist der jährliche Wachstumsfaktor (die Basis des Logarithmus)? 1.07
2. Berechne $\dfrac{\log 2}{\log 1{,}07}$ . Runde auf 2 Nachkommastellen. 10.24
3. Die Zinsen kommen einmal im Jahr dazu. Nach wie vielen ganzen Jahren hat sich die Anlage mindestens verdoppelt? 11
17.
Vereinfache $\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 8$ ohne Taschenrechner.
Lösung: 3
1. Nach dem Kürzen steht im Zähler $\ln$ von welcher Zahl? 8
2. Und im Nenner steht $\ln$ von welcher Zahl? 2
3. Welchen Wert hat das ganze Produkt? 3
18.
Berechne $\log_4 60$ mit natürlichen Logarithmen. Runde auf 3 Nachkommastellen.
Lösung: 2.953
1. Wie groß ist $\ln 60$ ? Runde auf 4 Nachkommastellen. 4.0943
2. Wie groß ist $\ln 4$ ? Runde auf 4 Nachkommastellen. 1.3863
3. Teile $\ln 60$ durch $\ln 4$ . Runde auf 3 Nachkommastellen. 2.953