Leitfaden für Lehrer: Basiswechselformel

Mit der Basiswechselformel berechnest du Logarithmen zu jeder beliebigen Basis mit der log- oder ln-Taste deines Taschenrechners.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Logarithmen. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Die Basiswechselformel und die Bedingungen an die Basen angeben
Die Formel aus der Definition des Logarithmus und der Potenzregel herleiten
Logarithmen zu jeder Basis mit der log- oder ln-Taste berechnen und auf eine vorgegebene Zahl von Nachkommastellen runden
Exakte Werte wie $\log_4 8$ durch Wahl einer geschickten neuen Basis bestimmen
Die Kehrwertregel $\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}$ anwenden

Voraussetzungen

• Definition des Logarithmus: $\log_b x = y$ bedeutet $b^y = x$
• Dekadischer Logarithmus (Basis 10) und Natürlicher Logarithmus (ln): log und ln auf dem Taschenrechner
• Potenzregel für Logarithmen: $\log(b^y) = y \log b$
• Runden auf eine vorgegebene Zahl von Nachkommastellen

Diskussionsstarter

1. Dein Taschenrechner hat nur log und ln. Wie könntest du trotzdem $\log_7 100$ bestimmen?
2. Warum liefern $\dfrac{\log 50}{\log 3}$ und $\dfrac{\ln 50}{\ln 3}$ wohl genau dieselbe Zahl?
3. Zwischen welchen zwei ganzen Zahlen liegt $\log_2 30$ , noch bevor du rechnest? Woher weißt du das?
4. Wenn $\log_2 5 \approx 2{,}32$ ist, was kannst du ohne Taschenrechner über $\log_5 2$ sagen?

Häufige Missverständnisse

Die Basis kommt in den Zähler des Bruchs

Abhilfe: Immer zuerst schätzen: $\log_3 50$ liegt zwischen 3 und 4, weil $27 < 50 < 81$ . Ein Ergebnis von $0{,}28$ ist dann offensichtlich falsch. Merksatz: Die Basis ist das Fundament, also steht sie unten.

$\dfrac{\log a}{\log b}$ ist dasselbe wie $\log \dfrac{a}{b}$

Abhilfe: Berechne beides für $a = 100$ , $b = 10$ : $\dfrac{\log 100}{\log 10} = \dfrac{2}{1} = 2$ , aber $\log 10 = 1$ . Vergleiche danach mit der Quotientenregel, bei der es um eine Subtraktion geht.

Mit ln kommt etwas anderes heraus als mit log

Abhilfe: Lass die halbe Klasse mit log und die andere Hälfte mit ln dieselbe Aufgabe rechnen und vergleiche. Die einzelnen Logarithmen unterscheiden sich, der Quotient nicht. Der Graph mit beiden Kurven zeigt das für jedes $x$ .

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Beginne mit Werten, die ganzzahlig herauskommen, etwa $\log_2 32 = \dfrac{\log 32}{\log 2} = 5$ , um Vertrauen in die Formel aufzubauen
• Gib eine Schablone vor: $\log_{\square} \triangle = \dfrac{\log \triangle}{\log \square}$
• Übe, den ganzen Quotienten in einem Zug in den Taschenrechner einzutippen

Für Schüler auf Niveau:

• Logarithmen zu den Basen 2, 3, 5, 7 und 1,05 auf 2 und 3 Nachkommastellen berechnen
• Jedes Ergebnis durch eine Abschätzung mit Potenzen überprüfen
• Exakte Werte wie $\log_9 27$ und $\log_8 32$ mit einer geschickten Basis bestimmen

Für fortgeschrittene Schüler:

• $\log_b a \cdot \log_a b = 1$ beweisen und Ketten wie $\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 8$ vereinfachen
• Mit dem Basiswechsel zeigen, dass $\log_{b^n} x^n = \log_b x$ gilt
• Erklären, warum der Graph von $y = \log_b x$ eine Streckung von $y = \ln x$ in y-Richtung mit dem Faktor $\dfrac{1}{\ln b}$ ist

Standardausrichtung

HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
Die Lösung einer Exponentialgleichung als Logarithmus zur Basis 2, 10 oder e angeben und den Logarithmus mit technischen Hilfsmitteln berechnen
HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Den Zusammenhang zwischen Potenzen und Logarithmen als Umkehrung verstehen und zum Lösen von Aufgaben nutzen
HSN-Q.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSN.Q.A.3)
Eine der Messgenauigkeit angemessene Genauigkeit beim Angeben von Größen wählen

Lektionsressourcen

visualZwei identische Kurven
Zeichne $y = \dfrac{\log x}{\log b}$ und $y = \dfrac{\ln x}{\ln b}$ mit einem Schieberegler für $b$ : Die Kurven liegen genau übereinander
activityErst schätzen, dann rechnen
Die Lernenden schließen $\log_b x$ mit Potenzen von $b$ zwischen zwei ganzen Zahlen ein und prüfen dann mit dem Taschenrechner
worksheetVerdopplungszeiten und Halbierungen
Anwendungsaufgaben zu Zinsen, binärer Suche und Wachstum, jeweils auf eine angegebene Zahl von Nachkommastellen gerundet

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Die meisten Taschenrechner haben nur zwei Logarithmustasten: log (Basis 10, der dekadische Logarithmus, manchmal auch

\lg

geschrieben) und ln (Basis

e

). Mit der Basiswechselformel berechnest du einen Logarithmus zu jeder Basis mit einer dieser Tasten:

\log_b x = \frac{\log_c x}{\log_c b}

Dabei gilt

x > 0

b > 0

b \neq 1

, und die neue Basis

c

darf jede positive Zahl außer

1

sein. In der Praxis wählst du

c = 10

oder

c = e

\log_b x = \frac{\log x}{\log b} = \frac{\ln x}{\ln b}

Warum sie gilt: Setze

y = \log_b x

. Dann ist

b^y = x

. Nimm auf beiden Seiten den dekadischen Logarithmus:

\log(b^y) = \log x

. Die Potenzregel macht daraus

y \cdot \log b = \log x

, also

y = \dfrac{\log x}{\log b}

Beispiel:

\log_3 50 = \dfrac{\log 50}{\log 3} \approx \dfrac{1{,}69897}{0{,}47712} \approx 3{,}56

(auf 2 Nachkommastellen gerundet). Probe:

3^{3{,}56} \approx 50

Ein nützlicher Sonderfall: Vertauschst du Basis und Argument, erhältst du den Kehrwert,

\log_b a = \frac{1}{\log_a b}

Runden: Führe die ganze Division im Taschenrechner aus und runde nur das Endergebnis, und zwar auf so viele Nachkommastellen, wie die Aufgabe verlangt.

Lösungsbeispiele

Berechne $\log_3 50$ . Runde auf 2 Nachkommastellen.

Schreibe die Basiswechselformel mit Basis 10 auf

$\log_3 50 = \dfrac{\log 50}{\log 3}$

Bestimme beide dekadischen Logarithmen mit dem Taschenrechner

$\log 50 \approx 1{,}69897$ und $\log 3 \approx 0{,}47712$ → Vorerst alle Stellen behalten

Teile und runde erst am Ende

$1{,}69897 : 0{,}47712 \approx 3{,}56088$ → $\approx 3{,}56$

Mache die Probe mit der Definition

$3^3 = 27$ und $3^4 = 81$ , also muss das Ergebnis zwischen 3 und 4 liegen. Außerdem ist $3^{3{,}56} \approx 50$ → Plausibel

Antwort: $\log_3 50 \approx 3{,}56$

Häufige Fehler

Den Bruch verkehrt herum schreiben: $\log_3 50 = \dfrac{\log 3}{\log 50} \approx 0{,}28$

Warum es falsch ist: Die Basis gehört in den Nenner. Eine schnelle Abschätzung zeigt den Fehler: $3^3 = 27$ und $3^4 = 81$ , also muss $\log_3 50$ zwischen 3 und 4 liegen, nicht unter 1.

Richtig: Argument oben, Basis unten: $\log_3 50 = \dfrac{\log 50}{\log 3} \approx 3{,}56$

Aus dem Quotienten zweier Logarithmen den Logarithmus eines Quotienten machen: $\dfrac{\log 50}{\log 3} = \log\dfrac{50}{3} \approx 1{,}22$

Warum es falsch ist: Die Quotientenregel sagt $\log 50 - \log 3 = \log \dfrac{50}{3}$ . Sie handelt von einer Differenz von Logarithmen, nicht von einer Division.

Richtig: $\dfrac{\log 50}{\log 3}$ ist eine ganz normale Division zweier Zahlen: $1{,}69897 : 0{,}47712 \approx 3{,}56$

Das Wort log kürzen: $\dfrac{\log 50}{\log 3} = \dfrac{50}{3} \approx 16{,}67$

Warum es falsch ist: log ist eine Funktion, kein Faktor. Man kann es nicht wie eine gemeinsame Zahl in einem Bruch kürzen.

Richtig: Berechne zuerst $\log 50$ und $\log 3$ , dann teile: $\approx 3{,}56$

Zu früh runden: $\dfrac{1{,}70}{0{,}48} \approx 3{,}54$

Warum es falsch ist: Wenn du $\log 50$ und $\log 3$ vor dem Teilen rundest, ändert sich die zweite Nachkommastelle des Ergebnisses.

Richtig: Teile mit allen Stellen des Taschenrechners (oder tippe log(50)/log(3) in einem Zug ein) und runde nur das Endergebnis: $3{,}56$

Warum es wichtig ist

Erst die Basiswechselformel macht Logarithmen im Alltag benutzbar:

Jede Basis auf jedem Taschenrechner: $\log_2$ , $\log_3$ oder $\log_{1{,}05}$ werden zu einer einzigen Division mit der log- oder ln-Taste.
Geld und Wachstum: Die Zeit, in der sich ein Guthaben bei 5 % Zinsen pro Jahr verdoppelt, ist $\log_{1{,}05} 2 = \dfrac{\log 2}{\log 1{,}05} \approx 14{,}21$ Jahre.
Informatik: Binäre Suche und Bits arbeiten mit der Basis 2. Die Suche in 1 000 000 sortierten Einträgen braucht etwa $\log_2 1000000 \approx 19{,}93$ , also 20 Halbierungen.
Biologie: Eine Population, die sich jede Stunde verdreifacht, braucht $\log_3 500 \approx 5{,}66$ Stunden, um 500-mal so groß zu werden.
Gleichungen lösen: Jede Exponentialgleichung wie $2^x = 50$ hat die Lösung $x = \log_2 50$ , und die berechnest du mit dieser Formel.

Außerdem erklärt sie, warum

\log

und

\ln

genügen: Jeder andere Logarithmus ist einfach einer von beiden, geteilt durch eine Konstante.

Anwendungen im echten Leben

Wann verdoppelt sich dein Erspartes?

Bei jährlicher Verzinsung mit Zinseszins wird das Geld jedes Jahr mit demselben Wachstumsfaktor multipliziert. Die Verdopplungszeit ist ein Logarithmus mit diesem Faktor als Basis.

Beispiel:

Bei 3 % pro Jahr ist der Faktor $1{,}03$ , das Geld verdoppelt sich also, wenn $1{,}03^t = 2$ ist, das heißt nach $t = \log_{1{,}03} 2$ Jahren.

1Probiere es selbst

Du legst 1000 € auf ein Sparkonto, das 3 % Zinsen pro Jahr zahlt, einmal jährlich gutgeschrieben.

Nach wie vielen Jahren hat sich das Geld verdoppelt?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe $\log_{1{,}03} 2$ als Quotienten zweier dekadischer Logarithmen (tippe den Term in der Form log(a)/log(b) ein, nicht den gerundeten Wert):

Binäre Suche in der Informatik

Die binäre Suche findet einen Eintrag in einer sortierten Liste, indem sie die Liste immer wieder halbiert. Die Zahl der Halbierungen ist ein Logarithmus zur Basis 2, und Computer berechnen ihn mit dem Basiswechsel.

Beispiel:

Eine sortierte Liste mit 1024 Namen braucht $\log_2 1024 = 10$ Halbierungen, denn $2^{10} = 1024$ .

2Probiere es selbst

Eine Datenbank enthält 1 000 000 sortierte Datensätze. Jeder Schritt der binären Suche halbiert die Zahl der verbleibenden Datensätze.

Wie viele Halbierungen sind nötig, bis nur noch ein Datensatz übrig ist?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe $\log_2 1000000$ als Quotienten zweier dekadischer Logarithmen (tippe den Term in der Form log(a)/log(b) ein, nicht den gerundeten Wert):

Bakterien, die sich stündlich verdreifachen

Manche Bakterienkulturen verdreifachen sich jede Stunde. Die Zeit bis zu einer bestimmten Größe ist ein Logarithmus zur Basis 3.

Beispiel:

Nach 2 Stunden ist die Kultur $3^2 = 9$ -mal so groß, nach 4 Stunden $3^4 = 81$ -mal so groß.

3Probiere es selbst

Eine Kultur verdreifacht sich jede Stunde. Ein Labor braucht sie 500-mal so groß wie am Anfang.

Wie viele Stunden dauert das?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe $\log_3 500$ als Quotienten zweier dekadischer Logarithmen (tippe den Term in der Form log(a)/log(b) ein, nicht den gerundeten Wert):

Wichtige Erkenntnisse

1Basiswechselformel: $\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}$ für jede neue Basis $c > 0$ , $c \neq 1$
2Auf dem Taschenrechner nimmst du $c = 10$ oder $c = e$ : $\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b} = \dfrac{\ln x}{\ln b}$ , beide liefern dasselbe Ergebnis
3Das Argument kommt nach oben, die Basis nach unten
4Die Formel gilt, weil aus $b^y = x$ mit der Potenzregel $y \log b = \log x$ folgt, also $y = \dfrac{\log x}{\log b}$
5Vertauschen von Basis und Argument ergibt den Kehrwert: $\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}$
6Teile mit allen Stellen und runde nur das Endergebnis, auf die verlangten Nachkommastellen

Häufig gestellte Fragen

Soll ich in der Formel log oder ln verwenden?

Beides geht.

\dfrac{\log 50}{\log 3}

und

\dfrac{\ln 50}{\ln 3}

sind beide

\approx 3{,}56

. Verwende nur oben und unten dieselbe Art von Logarithmus.

Mein Taschenrechner hat eine $\log_b$ -Taste. Brauche ich die Formel trotzdem?

Die Taste liefert dir die Zahl, aber die Formel brauchst du trotzdem für exakte Werte wie

\log_4 8 = \dfrac{3}{2}

, zum Vereinfachen von Termen, zum Lösen von Gleichungen von Hand und in Prüfungen, in denen nur log und ln erlaubt sind. Die Taste selbst rechnet intern mit dem Basiswechsel.

Auf wie viele Nachkommastellen soll ich runden?

Auf so viele, wie die Aufgabe verlangt. Steht nichts dabei, sind 2 bis 4 Nachkommastellen üblich (zum Beispiel

\log_3 50 \approx 3{,}56

oder

3{,}5609

). Runde immer nur einmal, ganz am Ende.

Warum ist $\log_b a \cdot \log_a b = 1$ ?

Mit dem Basiswechsel ist

\log_b a = \dfrac{\log a}{\log b}

und

\log_a b = \dfrac{\log b}{\log a}

. Beim Multiplizieren der beiden Brüche kürzt sich alles weg, und es bleibt

1

. Die beiden Logarithmen sind also Kehrwerte voneinander.

Glossar

Basiswechselformel: Die Regel $\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}$ , die einen Logarithmus mit einer neuen Basis $c$ umschreibt
Basis: Die Zahl $b$ in $\log_b x$ , also die Zahl, die potenziert wird; sie muss positiv und ungleich $1$ sein
Argument (Numerus): Die Zahl $x$ in $\log_b x$ , von der du den Logarithmus nimmst; sie muss positiv sein
Dekadischer Logarithmus: Der Logarithmus zur Basis 10, geschrieben $\log x$ (die log-Taste)
Natürlicher Logarithmus: Der Logarithmus zur Basis $e \approx 2{,}718$ , geschrieben $\ln x$ (die ln-Taste)
Kehrwert: Die Zahl $\dfrac{1}{a}$ zu einer Zahl $a \neq 0$ ; $\log_b a$ und $\log_a b$ sind Kehrwerte voneinander

Formelkarte

Basiswechsel (beliebige Basis)

\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}

Jede neue Basis $c > 0$, $c \neq 1$

Mit dekadischen Logarithmen

\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b}

Mit der log-Taste

Mit natürlichen Logarithmen

\log_b x = \dfrac{\ln x}{\ln b}

Mit der ln-Taste, gleiches Ergebnis

Kehrwertregel

\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}

Vertauschen von Basis und Argument kehrt den Wert um

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Mit dekadischen Logarithmen

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