Einführung in Logarithmen

Lerne, was Logarithmen sind und wie sie als Umkehroperationen mit Exponenten zusammenhängen.

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Definition

Ein Logarithmus beantwortet die Frage: "Mit welchem Exponenten muss ich potenzieren?"
Wenn bx=yb^x = y, dann ist log⁡b(y)=x\log_b(y) = x
In Worten: **"Der Logarithmus zur Basis bb von yy ist xx" bedeutet "bb hoch xx ergibt yy"**
log⁡b(y)=x  ⟺  bx=y\log_b(y) = x \iff b^x = y
Wichtige Bestandteile:
  • Basis (bb): Die Zahl, die potenziert wird (muss positiv und ungleich 1 sein)
  • Argument (yy): Der Wert, von dem wir den Logarithmus nehmen (muss positiv sein)
  • Exponent (xx): Das Ergebnis des Logarithmus
Besondere Logarithmen:
  • Dekadischer Logarithmus: log⁡(x)\log(x) bedeutet log⁡10(x)\log_{10}(x) (Basis 10)
  • Natürlicher Logarithmus: ln⁡(x)\ln(x) bedeutet log⁡e(x)\log_e(x) (Basis e≈2,718e \approx 2,718)

Probier es gleich aus

Was ist log⁡2(8)\log_2(8)?

Lösungsbeispiele

Schreibe 25=322^5 = 32 in logarithmischer Form.
1

Bestimme die Basis

Die Basis ist 22 (die Zahl, die potenziert wird) → Basis = 22
2

Bestimme den Exponenten

Der Exponent ist 55 → Exponent = 55
3

Bestimme das Ergebnis

Das Ergebnis ist 3232 → Ergebnis = 3232
4

Schreibe in Log-Form: log⁡Basis(Ergebnis)=Exponent\log_{\text{Basis}}(\text{Ergebnis}) = \text{Exponent}

log⁡2(32)=5\log_2(32) = 5

Häufige Fehler

Verwechslung von Basis und Argument

Warum es falsch ist: Bei log⁡b(x)\log_b(x) verwechseln Schüler oft, welche Zahl die Basis und welche das Argument ist.

Richtig: Die Basis ist die kleine tiefgestellte Zahl (bb). Das Argument steht in der Klammer (xx). Merkhilfe: Die Basis steht unten (tiefgestellt).

Denken, dass log⁡(x+y)=log⁡(x)+log⁡(y)\log(x + y) = \log(x) + \log(y)

Warum es falsch ist: Das ist FALSCH! Logarithmen verteilen sich nicht über Addition.

Richtig: Die richtige Regel ist log⁡(x⋅y)=log⁡(x)+log⁡(y)\log(x \cdot y) = \log(x) + \log(y). Nur Multiplikation innerhalb des Logarithmus wird zu Addition außerhalb.

Vergessen, dass log⁡\log ohne Basis gleich Basis 10 bedeutet

Warum es falsch ist: Schüler nehmen manchmal an, keine Basis bedeute Basis ee oder Basis 2.

Richtig: log⁡(x)=log⁡10(x)\log(x) = \log_{10}(x) (dekadischer Log). Für Basis ee schreiben wir ln⁡(x)\ln(x).

Versuch, den Logarithmus einer negativen Zahl oder Null zu berechnen

Warum es falsch ist: Das Argument eines Logarithmus muss positiv sein. log⁡(−5)\log(-5) und log⁡(0)\log(0) sind nicht definiert.

Richtig: Überprüfe immer, ob das Argument positiv ist, bevor du auswertest. log⁡b(x)\log_b(x) erfordert x>0x > 0.

Interaktive Visualisierung

Funktionsgraph

051015202530-4-202468xyx = 0

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Tippe auf einen Namen, um den Graphen ein- oder auszublenden.

Asymptote

Wertetabelle

x0,5124832
log_b(x)-101235
b^x1,4142124162564294970000
2³ = 8
3

Sieh, wie Potenzen einer Zahl auf dem Zahlenstrahl wachsen. Ändere Basis und Exponent.

Interaktiver Sandkasten

Interaktiver Grapher

-10-50510-10-50510xy

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Probiere diese Beispiele:

y = log(x)

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

17 Aufgaben
Aufgabe 1 von 17
Einfach
Was ist log⁡2(8)\log_2(8)?

Warum es wichtig ist

Logarithmen sind unverzichtbare Werkzeuge in Mathematik, Naturwissenschaft und Alltag:
  • Erdbebenmessung: Die Richterskala verwendet Logarithmen. Ein Erdbeben der Stärke 6 ist 10-mal stärker als eines der Stärke 5!
  • Schallintensität: Dezibel messen Lautstärke auf einer logarithmischen Skala
  • pH-Werte: Die Säure einer Lösung wird mit pH=−log⁡[H+]\text{pH} = -\log[H^+] gemessen
  • Bevölkerungswachstum: Wissenschaftler nutzen Logarithmen für exponentielles Wachstum und Zerfall
  • Informatik: Algorithmenkomplexität enthält oft log⁡2(n)\log_2(n)
  • Finanzen: Zinseszins und Investitionswachstum nutzen logarithmische Berechnungen
Ohne Logarithmen könnten wir nicht einfach mit sehr großen Zahlen arbeiten oder Exponentialgleichungen lösen!

Anwendungen im echten Leben

Erdbebenstärke (Richterskala)

Die Richterskala misst die Intensität von Erdbeben mit Logarithmen. Jede ganze Zahl mehr bedeutet eine 10-fache Zunahme der Amplitude.

Beispiel:

Ein Erdbeben der Stärke 7 ist 107−5=10010^{7-5} = 100 mal stärker als eines der Stärke 5.

1Probiere es selbst

Ein Erdbeben misst 6,0 auf der Richterskala. Ein anderes misst 4,0.

Wie viel mal stärker ist das erste Erdbeben?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne 106−410^{6-4}:

Schallintensität (Dezibel)

Schallintensität wird in Dezibel (dB) gemessen, was eine logarithmische Skala nutzt. Die Formel ist $dB = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$.

Beispiel:

Ein Geräusch, das 1000-mal intensiver als das Referenzniveau ist, hat 10log⁡(1000)=10×3=3010 \log(1000) = 10 \times 3 = 30 dB.

2Probiere es selbst

Ein Rasenmäher erzeugt 90 dB Schall. Ein Flüstern ist 30 dB.

Wie viel mal intensiver ist der Rasenmäherschall?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne 10(90−30)/1010^{(90-30)/10}:

Algorithmenkomplexität in der Informatik

Viele effiziente Algorithmen haben logarithmische Zeitkomplexität, geschrieben als $O(\log n)$. Deshalb ist die binäre Suche so schnell!

Beispiel:

Um ein Wort in einem Wörterbuch mit 1024 Seiten per binärer Suche zu finden, braucht man höchstens log⁡2(1024)=10\log_2(1024) = 10 Schritte.

3Probiere es selbst

Eine sortierte Datenbank hat 1.000.000 Datensätze. Du nutzt binäre Suche.

Ungefähr wie viele Vergleiche sind nötig, um einen Datensatz zu finden?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne log⁡2(1000000)\log_2(1000000):

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Ein Logarithmus beantwortet: "Mit welchem Exponenten erhalte ich dieses Ergebnis?" Wenn bx=yb^x = y, dann log⁡b(y)=x\log_b(y) = x
  • 2log⁡(x)\log(x) bedeutet log⁡10(x)\log_{10}(x) (dekadischer Log); ln⁡(x)\ln(x) bedeutet log⁡e(x)\log_e(x) (natürlicher Log)
  • 3Die Basis muss positiv und ungleich 1 sein; das Argument muss positiv sein
  • 4log⁡b(1)=0\log_b(1) = 0 für jede gültige Basis bb (weil b0=1b^0 = 1)
  • 5log⁡b(b)=1\log_b(b) = 1 für jede gültige Basis bb (weil b1=bb^1 = b)
  • 6Logarithmen und Exponenten sind Umkehroperationen

Häufig gestellte Fragen

Weil kein reeller Exponent eine positive Basis gleich Null oder negativ macht. Zum Beispiel gibt es kein xx, für das 10x=010^x = 0 oder 10x=−510^x = -5 gilt.
Weil kein reeller Exponent eine positive Basis gleich Null oder negativ macht. Zum Beispiel gibt es kein xx, für das 10x=010^x = 0 oder 10x=−510^x = -5 gilt.
log⁡\log bedeutet typischerweise log⁡10\log_{10} (Basis 10), verwendet in Naturwissenschaft und Technik. ln⁡\ln bedeutet log⁡e\log_e (Basis e≈2,718e \approx 2,718), verwendet in Analysis und bei natürlichem Wachstum/Zerfall.
Weil jede Zahl hoch 0 gleich 1 ist. Also bedeutet b0=1b^0 = 1, dass log⁡b(1)=0\log_b(1) = 0 für jede gültige Basis bb.

Glossar

Logarithmus
Der Exponent, mit dem eine Basis potenziert werden muss, um eine gegebene Zahl zu erhalten: log⁡b(y)=x\log_b(y) = x bedeutet bx=yb^x = y
Basis
Die Zahl, die in einem Logarithmus potenziert wird; als Index geschrieben in log⁡b\log_b
Argument
Die Zahl innerhalb des Logarithmus; der Wert, von dem wir den Log nehmen
Dekadischer Logarithmus
Logarithmus zur Basis 10, geschrieben als log⁡(x)\log(x) oder log⁡10(x)\log_{10}(x)
Natürlicher Logarithmus
Logarithmus zur Basis e≈2,718e \approx 2,718, geschrieben als ln⁡(x)\ln(x) oder log⁡e(x)\log_e(x)
Umkehroperationen
Operationen, die sich gegenseitig aufheben; Logarithmen und Potenzieren sind Umkehroperationen
Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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