Definition des Logarithmus

Verstehe, was Logarithmen sind und wie sie als Umkehrung der Potenzierung funktionieren.

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Definition

Ein Logarithmus beantwortet die Frage: "Welchen Exponenten brauche ich?"
Wenn bx=yb^x = y, dann ist log⁡b(y)=x\log_b(y) = x
In Worten: **Der Logarithmus zur Basis bb von yy ist gleich xx bedeutet bb hoch xx ergibt yy**.
log⁡b(y)=x  ⟺  bx=y\log_b(y) = x \iff b^x = y
Wichtige Bestandteile:
  • Basis (bb): Die Zahl, die potenziert wird (muss positiv sein, b≠1b \neq 1)
  • Argument (yy): Das Ergebnis der Potenzierung (muss positiv sein)
  • Logarithmus (xx): Der gesuchte Exponent
Beispiel: log⁡2(8)=3\log_2(8) = 3, weil 23=82^3 = 8

Probier es gleich aus

Was bedeutet log⁡2(8)=3\log_2(8) = 3 in Exponentialform?

Lösungsbeispiele

Schreibe 53=1255^3 = 125 in logarithmischer Form.
1

Identifiziere die Basis

Die Basis ist 55 (die Zahl, die potenziert wird) → Basis: b=5b = 5
2

Identifiziere den Exponenten

Der Exponent ist 33 → Exponent: x=3x = 3
3

Identifiziere das Ergebnis

Das Ergebnis von 535^3 ist 125125 → Argument: y=125y = 125
4

Schreibe in logarithmischer Form

log⁡b(y)=x\log_b(y) = x wird zu log⁡5(125)=3\log_5(125) = 3

Häufige Fehler

Verwechslung von Basis und Argument

Warum es falsch ist: Bei log⁡b(y)=x\log_b(y) = x vertauschen Schüler manchmal bb und yy. Die Basis ist die tiefgestellte Zahl, das Argument steht in Klammern.

Richtig: Merke: log⁡Basis(Argument)=Exponent\log_{\text{Basis}}(\text{Argument}) = \text{Exponent}. Die BASIS ist das, was potenziert wird.

Denken, dass log⁡b(0)\log_b(0) oder log⁡b(−5)\log_b(-5) existiert

Warum es falsch ist: Keine positive Basis, die zu irgendeiner Potenz erhoben wird, kann null oder negativ ergeben.

Richtig: Das Argument eines Logarithmus muss immer positiv sein. log⁡b(y)\log_b(y) existiert nur, wenn y>0y > 0.

Vergessen, dass log⁡\log (ohne geschriebene Basis) Basis 10 bedeutet

Warum es falsch ist: Die Notation kann verwirrend sein. Manche Lehrbücher verwenden lg⁡\lg für Basis 10.

Richtig: log⁡(x)\log(x) ist der dekadische Logarithmus mit Basis 10. ln⁡(x)\ln(x) ist der natürliche Logarithmus mit Basis e≈2,718e \approx 2{,}718.

Schreiben von log⁡1(x)\log_1(x)

Warum es falsch ist: 11 hoch irgendeine Zahl ergibt immer 11, daher kann Basis 11 keine anderen Werte erzeugen.

Richtig: Die Basis eines Logarithmus muss positiv und ungleich 11 sein: b>0b > 0 und b≠1b \neq 1.

Interaktive Visualisierung

Funktionsgraph

051015202530-202468xy(32 | 5)(8 | 3)x = 0

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Tippe auf einen Namen, um den Graphen ein- oder auszublenden.

Asymptote

Wertetabelle

x12481632
log₂(x)012345
2^x2416256655364294970000
10³ = 1000
3

Sieh, wie Potenzen einer Zahl auf dem Zahlenstrahl wachsen. Ändere Basis und Exponent.

Interaktiver Sandkasten

Interaktiver Grapher

-10-50510-10-50510xy

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Probiere diese Beispiele:

y = log2(x)

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

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Übungsaufgaben

16 Aufgaben
Aufgabe 1 von 16
Einfach
Was bedeutet log⁡2(8)=3\log_2(8) = 3 in Exponentialform?

Warum es wichtig ist

Logarithmen sind unverzichtbare Werkzeuge zur Lösung realer Probleme mit exponentiellem Wachstum und großen Zahlen:
  • Erdbeben: Die Richterskala verwendet Logarithmen. Ein Erdbeben der Stärke 7 ist 10-mal stärker als Stärke 6.
  • Schall: Dezibel messen Schallintensität logarithmisch. Alle 10 dB verdoppelt sich die wahrgenommene Lautstärke.
  • pH-Werte: Die Chemie verwendet pH=−log⁡[H+]\text{pH} = -\log[H^+] zur Messung des Säuregehalts.
  • Informatik: Algorithmische Komplexität beinhaltet oft log⁡n\log n (binäre Suche, Sortierung).
  • Finanzen: Die Berechnung der Verdopplungszeit einer Investition nutzt Logarithmen.
Ohne Logarithmen wäre das Lösen von Gleichungen wie 2x=1002^x = 100 nahezu unmöglich!

Anwendungen im echten Leben

Messung der Erdbebenstärke

Die Richterskala verwendet Logarithmen zur Messung der Erdbebenintensität. Jede ganze Zahl mehr bedeutet 10-mal mehr Bodenbewegung.

Beispiel:

Ein Erdbeben der Stärke 6 hat Amplitude A6A_6, und Stärke 7 hat Amplitude A7=10×A6A_7 = 10 \times A_6. Die Formel verwendet log⁡10\log_{10}.

1Probiere es selbst

Ein Erdbeben misst Stärke 5 auf der Richterskala. Die Richterformel ist M=log⁡10(A)M = \log_{10}(A), wobei AA die Amplitude ist.

Wie groß ist die Amplitude AA dieses Erdbebens?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Wenn log⁡10(A)=5\log_{10}(A) = 5, wandle in Exponentialform um:

Berechnung des pH-Werts in der Chemie

Die pH-Skala misst, wie sauer oder basisch eine Lösung ist, mit der Formel $\text{pH} = -\log[H^+]$.

Beispiel:

Wenn [H+]=0,001=10−3[H^+] = 0{,}001 = 10^{-3}, dann ist pH=−log⁡(10−3)=−(−3)=3\text{pH} = -\log(10^{-3}) = -(-3) = 3 (sauer, wie Essig).

2Probiere es selbst

Eine Lösung hat die Wasserstoffionenkonzentration [H+]=10−7[H^+] = 10^{-7}.

Was ist der pH-Wert dieser Lösung?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne pH=−log⁡(10−7)\text{pH} = -\log(10^{-7}):

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Ein Logarithmus log⁡b(y)=x\log_b(y) = x bedeutet bx=yb^x = y (Logarithmen sind die Umkehrung von Potenzen)
  • 2Die Basis (bb) muss positiv und ungleich 1 sein
  • 3Das Argument (yy) muss positiv sein
  • 4Dekadischer Logarithmus: log⁡(x)=log⁡10(x)\log(x) = \log_{10}(x) (Basis 10)
  • 5Natürlicher Logarithmus: ln⁡(x)=log⁡e(x)\ln(x) = \log_e(x) (Basis e≈2,718e \approx 2{,}718)
  • 6Wichtige Werte: log⁡b(1)=0\log_b(1) = 0, weil b0=1b^0 = 1, und log⁡b(b)=1\log_b(b) = 1, weil b1=bb^1 = b

Häufig gestellte Fragen

Wäre die Basis negativ, würden gebrochene Potenzen komplexe Zahlen ergeben. Wäre die Basis 1, dann ist 1x=11^x = 1 für alle xx, sodass man niemals andere Werte erhalten könnte. Wir brauchen konsistente, vorhersagbare Ergebnisse.
Wäre die Basis negativ, würden gebrochene Potenzen komplexe Zahlen ergeben. Wäre die Basis 1, dann ist 1x=11^x = 1 für alle xx, sodass man niemals andere Werte erhalten könnte. Wir brauchen konsistente, vorhersagbare Ergebnisse.
log⁡\log (dekadischer Logarithmus) verwendet Basis 10 und ist praktisch für Dezimalrechnungen. ln⁡\ln (natürlicher Logarithmus) verwendet Basis e≈2,718e \approx 2{,}718 und erscheint natürlich in Analysis, Wachstums- und Zerfallsproblemen und stetiger Verzinsung.
Keine positive Zahl, die zu irgendeiner reellen Potenz erhoben wird, ergibt null oder eine negative Zahl. Zum Beispiel ist 2x2^x immer positiv, unabhängig von xx. Daher haben log⁡2(0)\log_2(0) und log⁡2(−5)\log_2(-5) keine reellen Lösungen.

Glossar

Logarithmus
Der Exponent, zu dem eine Basis erhoben werden muss, um eine bestimmte Zahl zu erhalten: log⁡b(y)=x\log_b(y) = x bedeutet bx=yb^x = y
Basis
Die Zahl, die in einem Potenzausdruck potenziert wird; erscheint als Index in der Logarithmusnotation
Argument
Der Eingabewert eines Logarithmus; die Zahl in Klammern bei log⁡b(y)\log_b(y)
Dekadischer Logarithmus
Ein Logarithmus mit Basis 10, geschrieben als log⁡(x)\log(x) oder log⁡10(x)\log_{10}(x)
Natürlicher Logarithmus
Ein Logarithmus mit Basis e≈2,718e \approx 2{,}718, geschrieben als ln⁡(x)\ln(x) oder log⁡e(x)\log_e(x)
Umkehroperation
Eine Operation, die die Wirkung einer anderen umkehrt; Logarithmen und Potenzierung sind Umkehroperationen

Formelkarte

Definition

log⁡b(y)=x  ⟺  bx=y\log_b(y) = x \iff b^x = y

Grundlegende Beziehung

Log von 1

log⁡b(1)=0\log_b(1) = 0

Weil $b^0 = 1$

Log der Basis

log⁡b(b)=1\log_b(b) = 1

Weil $b^1 = b$

Dekadischer Log

log⁡(x)=log⁡10(x)\log(x) = \log_{10}(x)

Notation des dekadischen Logarithmus

Natürlicher Log

ln⁡(x)=log⁡e(x)\ln(x) = \log_e(x)

Notation des natürlichen Logarithmus

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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