Natürlicher Logarithmus (ln)

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welchen Wert hat $\ln 1$ ?
1. a) $0$
2. b) $e$
3. c) $-1$
4. d) $1$
Lösung: $0$
$\ln 1 = 0$ , denn $e^0 = 1$ . Jede Zahl (außer 0) hoch 0 ergibt 1.
2.
Berechne $\ln(e^7)$ ohne Taschenrechner.
Lösung: 7
$\ln(e^7)$ fragt, welche Potenz von $e$ den Wert $e^7$ ergibt. Die Antwort ist die Hochzahl: $\ln(e^7) = 7$ .
3.
Berechne $\ln(e^{-3}) + \ln(e^{8})$ ohne Taschenrechner.
Lösung: 5
1. Wie groß ist $\ln(e^{-3})$ ? -3
2. Wie groß ist $\ln(e^{8})$ ? 8
3. Addiere die beiden Ergebnisse. Wie lautet die Summe? 5
4.
Welcher Ausdruck bedeutet dasselbe wie $\ln x$ ?
1. a) $\log_2 x$
2. b) $\log_e x$
3. c) $\log_{10} x$
4. d) $e^x$
Lösung: $\log_e x$
$\ln x$ ist der Logarithmus zur Basis $e$ , also $\ln x = \log_e x$ . $\log_{10} x$ ist der dekadische Logarithmus und $e^x$ ist die Umkehrfunktion von $\ln x$ .
5.
Vereinfache $e^{\ln 12}$ .
Lösung: 12
$\ln 12$ ist die Hochzahl, mit der $e$ den Wert $12$ ergibt. Potenziert man $e$ genau damit, erhält man wieder $12$ : $e^{\ln 12} = 12$ .
6.
Berechne $4\ln e - 3\ln 1$ .
Lösung: 4
1. Wie groß ist $\ln e$ ? 1
2. Wie groß ist $\ln 1$ ? 0
3. Wie viel ist $4 \cdot 1 - 3 \cdot 0$ ? 4
7.
Löse $\ln x = 2$ . Gib $x$ auf 2 Nachkommastellen gerundet an.
Lösung: 7.39
1. Schreibe in Exponentialform: $x = e^{\square}$ . Welche Zahl gehört in das Kästchen? 2
2. Berechne $e^2$ , auf 2 Nachkommastellen gerundet. 7.39
8.
Welcher dieser Ausdrücke hat keinen reellen Wert?
1. a) $\ln(-4)$
2. b) $\ln(e^{-2})$
3. c) $\ln 1$
4. d) $\ln 0{,}5$
Lösung: $\ln(-4)$
$\ln(-4)$ hat keinen reellen Wert, weil $e^y$ immer positiv ist. Die anderen existieren: $\ln 0{,}5 \approx -0{,}693$ , $\ln 1 = 0$ und $\ln(e^{-2}) = -2$ . Ein negatives ERGEBNIS ist erlaubt, nur das Argument muss positiv sein.
9.
Bestimme $\ln 50$ mit dem Taschenrechner. Runde auf 3 Nachkommastellen.
Lösung: 3.912
$\ln 50 = 3{,}91202...$ , also $\ln 50 \approx 3{,}912$ . Probe: $e^{3{,}912} \approx 50{,}0$ .
10.
Löse $e^x = 15$ . Runde auf 3 Nachkommastellen.
Lösung: 2.708
1. Wende auf beiden Seiten $\ln$ an: $x = \ln \square$ . Welche Zahl gehört in das Kästchen? 15
2. Berechne $\ln 15$ , auf 3 Nachkommastellen gerundet. 2.708
11.
Wie lautet die exakte Lösung von $e^x = 9$ ?
1. a) $x = \ln 9$
2. b) $x = \frac{9}{e}$
3. c) $x = e^9$
4. d) $x = \log 9$
Lösung: $x = \ln 9$
Wende auf beiden Seiten $\ln$ an: $\ln(e^x) = \ln 9$ , also $x = \ln 9 \approx 2{,}197$ . Teilen durch $e$ macht keine Potenz rückgängig, und $\log 9$ hat die Basis 10, nicht $e$ .
12.
Berechne $\ln \sqrt{e}$ . Gib das Ergebnis als Bruch oder Dezimalzahl an.
Lösung: 1/2
$\sqrt{e} = e^{1/2}$ , und $\ln(e^{1/2}) = \frac{1}{2}$ . Also ist $\ln \sqrt{e} = \frac{1}{2} = 0{,}5$ .
13.
Löse $4e^x = 36$ . Runde auf 3 Nachkommastellen.
Lösung: 2.197
1. Teile beide Seiten durch 4. Welchen Wert hat $e^x$ ? 9
2. Wende auf beiden Seiten $\ln$ an. Wie groß ist $x = \ln 9$ , auf 3 Nachkommastellen gerundet? 2.197
3. Probe: Wie groß ist $4e^{2{,}197}$ , auf eine ganze Zahl gerundet? 36
14.
Berechne $e^{\ln 5} \cdot \ln(e^4)$ ohne Taschenrechner.
Lösung: 20
1. Wie groß ist $e^{\ln 5}$ ? 5
2. Wie groß ist $\ln(e^4)$ ? 4
3. Multipliziere die beiden Ergebnisse. Wie lautet das Produkt? 20
15.
Welcher Wert von $x$ löst $e^{2x} = 7$ ?
1. a) $x = 2\ln 7$
2. b) $x = \frac{\ln 7}{2}$
3. c) $x = \frac{7}{2e}$
4. d) $x = \ln \frac{7}{2}$
Lösung: $x = \frac{\ln 7}{2}$
$\ln(e^{2x}) = 2x$ , also $2x = \ln 7$ und $x = \frac{\ln 7}{2} \approx 0{,}973$ . Achtung: $\frac{\ln 7}{2}$ ist nicht dasselbe wie $\ln \frac{7}{2} \approx 1{,}253$ .
16.
Löse $e^x = 0{,}2$ . Runde auf 3 Nachkommastellen.
Lösung: -1.609
Wende auf beiden Seiten $\ln$ an: $x = \ln 0{,}2 = -1{,}60943...$ , also $x \approx -1{,}609$ . Das Ergebnis ist negativ, weil $0{,}2 < 1$ . Probe: $e^{-1{,}609} \approx 0{,}200$ .
17.
Löse $e^{3x} = 50$ . Runde auf 3 Nachkommastellen.
Lösung: 1.304
1. Wende auf beiden Seiten $\ln$ an: $3x = \ln 50$ . Wie groß ist $\ln 50$ , auf 4 Nachkommastellen gerundet? 3.9120
2. Teile durch 3. Wie groß ist $x$ , auf 3 Nachkommastellen gerundet? 1.304
18.
Die Einwohnerzahl einer Stadt wächst nach $P = 2000e^{0{,}03t}$ , wobei $t$ in Jahren gemessen wird. Nach wie vielen Jahren erreicht sie 5000? Runde auf 2 Nachkommastellen.
Lösung: 30.54
1. Teile $5000 = 2000e^{0{,}03t}$ durch 2000. Welchen Wert hat $e^{0{,}03t}$ ? 2.5
2. Wende auf beiden Seiten $\ln$ an: $0{,}03t = \ln 2{,}5$ . Wie groß ist $\ln 2{,}5$ , auf 4 Nachkommastellen gerundet? 0.9163
3. Teile durch 0,03. Wie groß ist $t$ , auf 2 Nachkommastellen gerundet? 30.54