Leitfaden für Lehrer: Natürlicher Logarithmus (ln)

Lerne, was ln x bedeutet, warum ln e = 1 und ln 1 = 0 gilt, wie ln die Funktion e^x rückgängig macht und wie du Gleichungen wie e^x = 20 mit dem Taschenrechner löst.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Logarithmen. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Den natürlichen Logarithmus als Logarithmus zur Basis $e$ definieren
Zwischen $\ln x = y$ und $e^y = x$ umformen
$\ln 1 = 0$ , $\ln e = 1$ , $\ln(e^x) = x$ und $e^{\ln x} = x$ zum Vereinfachen von Termen nutzen
Natürliche Logarithmen mit dem Taschenrechner berechnen und das Ergebnis überprüfen
Einfache Exponentialgleichungen der Form $ae^{kx} = b$ mit $\ln$ lösen

Voraussetzungen

• Die natürliche Basis e: die Zahl $e \approx 2{,}71828$ und die Funktion $e^x$
• Stetiges Wachstum und stetige Abnahme: Modelle der Form $A = Pe^{rt}$
• Definition des Logarithmus: $\log_b y = x$ bedeutet $b^x = y$
• Dekadischer Logarithmus (Basis 10): die Taste LOG auf dem Taschenrechner

Diskussionsstarter

1. Dein Taschenrechner hat zwei Logarithmustasten, LOG und LN. Warum brauchen Mathematiker wohl beide?
2. Zwischen welchen zwei ganzen Zahlen liegt $\ln 10$ , ganz ohne Taschenrechner? Woher weißt du das?
3. Warum ist $\ln x$ negativ, wenn $x$ zwischen 0 und 1 liegt?
4. Wenn $e^x$ und $\ln x$ einander rückgängig machen, wie sollte dann der eine Graph im Vergleich zum anderen aussehen?

Häufige Missverständnisse

$\ln$ ist eine Zahl, die mit $x$ multipliziert wird ( $\ln x$ als $\ln \cdot x$ gelesen)

Abhilfe: Betone, dass $\ln$ eine Funktion ist, wie $\sqrt{\phantom{x}}$ . Lies $\ln x$ immer als Frage: " $e$ hoch was ergibt $x$ ?" Schreibe am Anfang $\ln(x)$ mit Klammern.

$\ln$ einer kleinen Zahl kann nicht negativ sein

Abhilfe: Zeige die Wertetabelle: $\ln 0{,}5 \approx -0{,}693$ , denn $e^{-0{,}693} \approx 0{,}5$ . Negative Hochzahlen ergeben Werte zwischen 0 und 1, deshalb ist ln solcher Zahlen negativ.

$e^x = k$ löst man, indem man $k$ durch $e$ teilt

Abhilfe: Vergleiche mit $x^2 = 9$ : Ein Quadrat machen wir mit der Wurzel rückgängig, nicht durch Teilen durch 2. Genauso machen wir $e^x$ mit $\ln$ rückgängig.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Mit einer Tabelle von Potenzen von $e$ beginnen ( $e^0 = 1$ , $e^1 \approx 2{,}718$ , $e^2 \approx 7{,}389$ ) und ln-Werte rückwärts ablesen
• Zuerst nur die Umkehrregeln $\ln(e^x) = x$ und $e^{\ln x} = x$ üben, noch ohne Taschenrechner
• Eine zweispaltige Tabelle nutzen: Exponentialform und ln-Form

Für Schüler auf Niveau:

• ln-Werte mit dem Taschenrechner berechnen und jeden mit $e^x$ überprüfen
• Gleichungen der Form $ae^{kx} = b$ lösen
• $\ln$ auf Situationen mit stetigem Wachstum und stetiger Abnahme anwenden

Für fortgeschrittene Schüler:

• Die 70er-Regel für die Verdopplungszeit mit $\ln 2 \approx 0{,}693$ begründen
• $\ln x$ und $\log x$ für dieselben Eingaben vergleichen und das konstante Verhältnis finden
• Untersuchen, warum $\ln x$ so langsam wächst: Wie groß muss $x$ sein, damit $\ln x = 10$ gilt?

Standardausrichtung

HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
Die Lösung von Exponentialmodellen als Logarithmus (Basis 2, 10 oder e) ausdrücken und mit Technologie berechnen
HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Die Umkehrbeziehung zwischen Potenzen und Logarithmen verstehen
HSF-BF.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.4)
Umkehrfunktionen bestimmen

Lektionsressourcen

visualSpiegelgraphen
Interaktiver Graph von $y = e^x$ und $y = \ln x$ , gespiegelt an der Geraden $y = x$ , mit zusammengehörigen Punkten
activityKartenspiel Umkehrpaare
Karten wie $\ln(e^4)$ , $e^{\ln 9}$ , $\ln 1$ und $\ln e$ ihren Werten zuordnen
worksheetWann passiert es?
Aufgaben zu stetigem Wachstum und stetiger Abnahme, gelöst mit $\ln$ : Bakterien, Sparen, Medizin

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Der natürliche Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis

e

, wobei

e \approx 2{,}71828

die Eulersche Zahl ist. Statt

\log_e x

schreiben wir

\ln x

(gelesen "Logarithmus naturalis von x" oder kurz "ln von x").

\ln x = \log_e x

Wie jeder Logarithmus beantwortet

\ln x

eine Frage: **"Mit welcher Hochzahl muss ich

e

potenzieren, um

x

zu erhalten?"**

\ln x = y \iff e^y = x

Zwei Werte, die du auswendig kennen solltest:

$\ln 1 = 0$ , denn $e^0 = 1$
$\ln e = 1$ , denn $e^1 = e$

ln macht e^x rückgängig (und umgekehrt): Die Funktion

y = \ln x

ist die Umkehrfunktion von

y = e^x

, also gilt

\ln(e^x) = x \quad \text{und} \quad e^{\ln x} = x \; (x > 0)

Das Argument (der Numerus) muss positiv sein:

\ln x

existiert nur für

x > 0

, weil

e^y

nie null oder negativ ist. Die Definitionsmenge von

y = \ln x

ist also

x > 0

Lösungsbeispiele

Berechne $\ln(e^5)$ ohne Taschenrechner.

Als Frage formulieren

$\ln(e^5)$ fragt: Mit welcher Hochzahl muss ich $e$ potenzieren, um $e^5$ zu erhalten? → $e^{?} = e^5$

Hochzahl ablesen

Die Hochzahl, die aus $e$ den Wert $e^5$ macht, ist $5$ → $? = 5$

Umkehrregel anwenden

$\ln$ macht $e^x$ rückgängig: $\ln(e^x) = x$ → $\ln(e^5) = 5$

Antwort: $\ln(e^5) = 5$

Häufige Fehler

$\ln 1 = 1$ oder $\ln e = 0$ schreiben

Warum es falsch ist: Die beiden wichtigen Werte werden leicht vertauscht. $\ln$ liefert eine Hochzahl, nicht die Zahl selbst.

Richtig: $\ln 1 = 0$ , denn $e^0 = 1$ , und $\ln e = 1$ , denn $e^1 = e$ .

$\ln$ von null oder einer negativen Zahl bilden, etwa $\ln 0$ oder $\ln(-3)$

Warum es falsch ist: $e^y$ ist immer positiv, egal welchen Wert $y$ hat. Keine Potenz von $e$ ergibt $0$ oder eine negative Zahl.

Richtig: $\ln x$ existiert nur für $x > 0$ . Der Taschenrechner zeigt bei $\ln 0$ und $\ln(-3)$ einen Fehler.

Auf dem Taschenrechner LOG statt LN drücken

Warum es falsch ist: LOG ist der dekadische Logarithmus zur Basis 10, LN der natürliche Logarithmus zur Basis $e$ . Sie liefern verschiedene Ergebnisse.

Richtig: $\log 10 = 1$ , aber $\ln 10 \approx 2{,}303$ . Nimm LN, sobald die Basis $e$ ist.

$e^x = 20$ durch Teilen lösen: $x = \frac{20}{e}$

Warum es falsch ist: $x$ ist eine Hochzahl, kein Faktor. Durch $e$ zu teilen macht das Potenzieren nicht rückgängig.

Richtig: Mache $e^x$ mit $\ln$ rückgängig: $x = \ln 20 \approx 2{,}996$ .

Warum es wichtig ist

Die Zahl

e

taucht überall dort auf, wo etwas stetig wächst oder abnimmt, und

\ln

ist das Werkzeug, das die Zeit oder die Rate wieder aus dem Exponenten holt:

Stetiges Wachstum: Wachsen Bakterien nach $N = 500e^{0{,}4t}$ , sagt dir $\ln$ , wann es 2000 sind.
Geld: Bei stetiger Verzinsung $A = Pe^{rt}$ ist die Verdopplungszeit $t = \frac{\ln 2}{r}$ .
Medizin: Wie lange ein Medikament über einem sicheren Wert im Blut bleibt, berechnet man mit $\ln$ .
Naturwissenschaft und Analysis: $\ln x$ kommt in Physik, Chemie und im Analysisunterricht vor, weil $e^x$ und $\ln x$ die einfachsten Ableitungen haben.

Ohne

\ln

könnte man eine Gleichung wie

e^x = 20

nur durch Probieren lösen. Mit

\ln

braucht es einen Schritt:

x = \ln 20 \approx 2{,}996

Anwendungen im echten Leben

Biologie: Wann erreicht die Kultur ihr Ziel?

Eine Bakterienkultur mit genug Nährstoffen wächst stetig nach $N = N_0 e^{rt}$. Um herauszufinden, WANN sie eine bestimmte Größe erreicht, brauchst du $\ln$, damit $t$ aus dem Exponenten herunterkommt.

Beispiel:

Bei $N = 1000e^{0{,}3t}$ erreicht die Kultur 3000, wenn $e^{0{,}3t} = 3$ ist, also $0{,}3t = \ln 3$ und $t = \frac{\ln 3}{0{,}3} \approx 3{,}66$ Stunden.

1Probiere es selbst

Eine Kultur beginnt mit 500 Bakterien und wächst nach $N = 500e^{0{,}4t}$ , wobei $t$ in Stunden gemessen wird.

Nach wie vielen Stunden sind es 2000 Bakterien? Runde auf 2 Nachkommastellen.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $t = \frac{\ln 4}{0{,}4}$ :

Finanzen: Verdopplungszeit bei stetiger Verzinsung

Banken vergleichen Sparangebote mit stetiger Verzinsung, $A = Pe^{rt}$. Die Zeit, bis sich das Geld verdoppelt, ist $t = \frac{\ln 2}{r}$.

Beispiel:

Bei 7 % stetiger Verzinsung verdoppelt sich Geld nach $\frac{\ln 2}{0{,}07} \approx 9{,}90$ Jahren. Weil $\ln 2 \approx 0{,}693$ ist, nutzen Banker die "70er-Regel": 70 geteilt durch den Zinssatz in Prozent.

2Probiere es selbst

Du legst 1000 € zu 5 % bei stetiger Verzinsung an, also $A = 1000e^{0{,}05t}$ .

Nach wie vielen Jahren hast du 2000 €? Runde auf 2 Nachkommastellen.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $t = \frac{\ln 2}{0{,}05}$ :

Medizin: Wie lange ein Medikament im Blut bleibt

Viele Medikamente werden stetig abgebaut, die Menge im Blut folgt also $C = C_0 e^{-kt}$. Ärztinnen und Ärzte bestimmen mit $\ln$, wann die nächste Dosis fällig ist.

Beispiel:

Ein Medikament mit $k = 0{,}25$ pro Stunde hat eine Halbwertszeit von $\frac{\ln 2}{0{,}25} \approx 2{,}77$ Stunden: Danach ist noch die Hälfte übrig.

3Probiere es selbst

Eine Patientin nimmt 100 mg eines Medikaments. Nach $t$ Stunden ist noch $C = 100e^{-0{,}25t}$ übrig.

Nach wie vielen Stunden sind noch 40 mg übrig? Runde auf 2 Nachkommastellen.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $t = \frac{\ln 0{,}4}{-0{,}25}$ :

Wichtige Erkenntnisse

1Der natürliche Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis $e \approx 2{,}71828$ : $\ln x = \log_e x$
2 $\ln x = y$ bedeutet $e^y = x$ : ln liefert die Hochzahl von $e$ , die $x$ ergibt
3Wichtige Werte: $\ln 1 = 0$ und $\ln e = 1$
4 $\ln$ und $e^x$ sind Umkehrfunktionen: $\ln(e^x) = x$ und $e^{\ln x} = x$ für $x > 0$
5 $\ln x$ existiert nur für $x > 0$ ; für $0 < x < 1$ ist es negativ, für $x > 1$ positiv
6Um $e^x = k$ (mit $k > 0$ ) zu lösen, wende auf beiden Seiten ln an: $x = \ln k$

Häufig gestellte Fragen

Warum heißt er natürlicher Logarithmus?

Weil seine Basis

e

ganz natürlich auftaucht: bei stetigem Wachstum, bei stetiger Verzinsung und in der Analysis, wo

e^x

und

\ln x

die einfachsten Änderungsraten haben. Das "n" in

\ln

steht für das lateinische "logarithmus naturalis".

Ist ln dasselbe wie log?

Nein.

\log x

(dekadischer Logarithmus, auch

\lg x

geschrieben) hat die Basis 10,

\ln x

hat die Basis

e

. Zum Beispiel ist

\log 100 = 2

, aber

\ln 100 \approx 4{,}605

. Beide beantworten dieselbe Art von Frage, nur die Basis ist eine andere.

Warum zeigt mein Taschenrechner bei ln(0) einen Fehler?

Weil

e^y

immer positiv ist: Es gibt keine Potenz von

e

, die

0

oder eine negative Zahl ergibt. Der Graph von

y = \ln x

liegt nur rechts der

y

-Achse, die eine senkrechte Asymptote ist.

Wie hängen die Graphen von $y = e^x$ und $y = \ln x$ zusammen?

Sie sind Spiegelbilder voneinander an der Geraden

y = x

, weil sie Umkehrfunktionen sind. Der Punkt

(0, 1)

auf

y = e^x

gehört zum Punkt

(1, 0)

auf

y = \ln x

, und

(1, e)

gehört zu

(e, 1)

Glossar

Natürlicher Logarithmus: Der Logarithmus zur Basis $e$ , geschrieben $\ln x$ ; $\ln x = y$ bedeutet $e^y = x$
Eulersche Zahl $e$: Die irrationale Zahl $e \approx 2{,}71828$ , die Basis des stetigen Wachstums
Umkehrfunktion: Eine Funktion, die eine andere rückgängig macht; $\ln x$ und $e^x$ sind Umkehrfunktionen voneinander
Argument (Numerus): Die Zahl, deren Logarithmus man bildet, das $x$ in $\ln x$ ; sie muss positiv sein
Definitionsmenge: Alle erlaubten Eingabewerte einer Funktion; für $y = \ln x$ ist das $x > 0$
Exponentialgleichung: Eine Gleichung mit der Unbekannten im Exponenten, zum Beispiel $e^x = 20$

Formelkarte

Definition

\ln x = \log_e x

Logarithmus zur Basis $e \approx 2{,}71828$

Exponentialform

\ln x = y \iff e^y = x

Zwischen beiden Formen wechseln

Wichtige Werte

\ln 1 = 0, \quad \ln e = 1

Denn $e^0 = 1$ und $e^1 = e$

Umkehrregeln

\ln(e^x) = x, \quad e^{\ln x} = x

Die zweite gilt für $x > 0$

$e^x = k$ lösen

x = \ln k

Nur für $k > 0$

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

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Definition

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Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Biologie: Wann erreicht die Kultur ihr Ziel?

Finanzen: Verdopplungszeit bei stetiger Verzinsung

Medizin: Wie lange ein Medikament im Blut bleibt

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Definition

Exponentialform

Wichtige Werte

Umkehrregeln

$e^x = k$ lösen

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